精品解析：江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中第一次诊断考试数学试题

南京师大附中2027届高二下数学期中第一次诊断考试 一、单选题（40分） 1. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以 2. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 3. 定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点 的个数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角不等式可得出当时，、、，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】因为、、，则， 由三角不等式可得，当且仅当时，即当 时，等号成立， 同理可得，，当且仅当、时，等号成立， 又因为， 即，可得、、， 又因为、、都是整数，则、、， 故满足条件的点 的个数为个. 故选：C. 4. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌 次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 5. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件 为“抽奖者甲中奖”，事件 为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余 个盲盒中有 个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余 个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 6. 某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为（ ）. A. 240 B. 270 C. 480 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】先安排好A，B，再分类讨论安排C的组合方式及放法，由计数原理得解. 【详解】先把A分成两份放入两个仓库，再把B分成两份放入剩余两个仓库，共有种方法， 再把C分成两份，从剩余的D、E、F中取出一种分成两份与C组成一组，放入两个仓库，剩余的两种组合放入另外两个仓库，共有种放法， 也可从剩余的D、E、F中取出两种，与C组合成两份，则剩余的两种组合成两份，共有四种不同的组合，分别放入四个仓库，共有种种放法， 由分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得， 共有种不同的方法， 故选：D 7. 设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得到或，分别求出两种情况下的排列个数，相加即可. 【详解】对一切恒成立， 即， 或， 对于第一类：3必须居下面，7必须居上面， 分别取6，7时，分别取3，4，5，有种排列方法， 分别取5，7时，若，则，此时与3，4可全排列， 若，则，此时与3，4可全排列，共有种排列方法， 综上，第一类共有种排列方法， 同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列. 故选：A. 8. 二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取 ，可以得到．类比此方法，可以求得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取，分别赋值，，作差后化简即可得解. 【详解】由题意可得， 令，得， 令，得， 两式作差，可得， 因此，． 故选：B． 二、多选题（18分） 9. 在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为 ，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使 增加且只增加的是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意设相应量，根据递归思想可得，按此规律对原表格进行数字填充，结合题意分析判断即可. 【详解】由递归思想，假设到达某一个格子只能从的三个方向进入，分别记为， 记为从起点到格子最多可以除去的雷数， 表示数中最大的数， 表示格子中的地雷数， 则可以写出递推式：， 按此规律对原表格进行数字填充： 由分析可知，最多可以除掉7个雷. 再从终点规划路线，每一次都挑选反方向3个中数字最大的走就可以找到除掉7个雷需要经过的所有格子， 在这些格子同一线路上，选择1个埋入地雷， 再在另一条线路或未经过的格子上埋入1个地雷，就可以得到满足题意的答案（也可以在选项上仿照前面的思想画图），对比得：BD正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：根据递归思想可得，按此规律对原表格进行数字填充，结合数据分析判断. 10. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 满足的排列有80个 C. 的概率为 D. 的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D可以列一列再研究. 【详解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确； B，若，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有种不同的方法， 再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，所以B错误； CD，因为，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 共有10种不同的情况，则的概率为，所以C正确； 的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（15分） 12. 考虑一个指标 ，这指标初始为0，另一个指标初始为1，接下来投掷若干次质地均匀的硬币，每次投掷结束后，都依据投掷的结果做接下来的操作： ①掷出反面：把的值变为，例如当时，掷出反面后的值变为； ②掷出正面：把 的值变为，例如当 ，时，掷出正面后 的值变为2； 已知投掷199次硬币后， 的值最终变为0，且这199次投掷中，恰好掷出了次正面的概率最大，则的值为______. 【答案】98或100 【解析】 【分析】由题意次反面把 与分别分成了组，每一组分别有个+1与个，并且，故只需要研究有多少正整数解，结合二项式系数的增减性即可得解. 【详解】显然掷出正面的次数是偶数，不妨设掷出了次正面，也就是掷出了次反面，是奇数，则每次投掷结束后，X的变化无非是下面这样： 可知：这次反面把 与分别分成了组，每一组分别有个 与个，并且， 只要确定了，就相当于整个投掷过程都确定了， 另一方面，我们知道， 其中，要搞清楚这方程有多少正整数解，就相当于要用块隔板把100个小球隔开， 也就是说，共有种情况，可知在时，概率取得最大值，即或100. 故答案为：98或100. 13. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记 为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到 的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得 的分布列，从而求得 ； 【详解】依题意， 的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为 ， 其中 ：五次抽取同一球，选择球的编号有3种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现4次，选取出现1次的球有3种方式，选取出现4次的球有2种方式； 其中选取出现一次球的位置有5种可能，此时事件 的可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现3次，选取出现2次的球有3种方式，选取出现3次的球有2种方式； 其中选取出现2次球的位置有种可能，此时事件 的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 情况一：一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现3次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现1次的球有2种方式，第三种出现3次的球有1种方式， 其中选取出现3次球的位置有5种可能，两种各出现1次的球的位置有种可能， 此时事件 的可能情况有种， 情况二：一种球出现1次、另一种球出现2次、第三种球出现2次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现2次的球有2种方式，第三种出现2次的球有1种方式， 其中选取出现一次球的位置有5种可能，两种各出现2次的球的位置有种可能，第三种出现2次的球的位置只有1种方式， 此时事件 的可能情况有种， 故， 所以 . 故答案为：. 14. 将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，其中 ，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的号球放入的盒子所对应编号都小于号球放入的盒子所对应编号，则号球放入编号为______________的盒子的概率最大. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的放法数，判断单调性可得最大值. 【详解】将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，要求每个盒子至多放一个小球， 看作是从 2n 个盒子中选出n个并按球的编号顺序排列，因此总的放法数为. 设事件：第号球放入盒子，满足，设时概率最大， 前 个球要从编号 1,2,…, 中选 个盒子并排序，方法数为； 第个球要从编号中选 1 个盒子，方法数为； 因此，对固定k，满足的放法数为. 要使概率最大，只需求的最大值， 令，得，整理得， 即，当 时， 因为 k 为整数，且，所以取最接近的整数，可得. 故答案为： 四、解答题（77分） 15. 如图所示数阵，第 行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第 个数为.规定： . （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列 ，设数列 的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n， 恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 【答案】（1）相等， 第1行最后两数 ，第2行的最后两数 . 第m（）行的第m个数为，第个数为， 猜测：， 即证：， 法一：因为， 只要证明，该式显然成立， 所以， 所以每行最后两个数相等. 法二： 因为 ； 又因为 . 即：. 所以每一行的最后两个数相等. （2）证明：第1行所有数之和为 ，第2行的最后一个数为 ， 此时结论成立. 因为， 第m（）行的个数之和为： . 而第行倒数第二个数为， 由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. （3）存在，3 【解析】 【分析】（1）首先写出第1行和第2行的最后两个数，根据结论预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明； （2）首先写出第m（）行的个数之和，并利用组合数公式和性质进行化简，再根据（1）的结果，即可证明； （3）首先根据特殊值判断的最大值，再利用放缩法求数列的前项和的不等式，即可证明不等式. 【小问1详解】 相等，证明略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当 ， 时， ， ，当 时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k，使得 恒成立，k的最大值为3. 下证：当时， 恒成立. 由（1）知，，则， 因为 . 又 ，当时，. 当时，，所以 . 综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得 恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，第3问的关键是利用迭代的方法证明 . 16. 某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在1号手中放入红卡，取出黑卡满足题意，再求解对于概率即可； （2）先根据全概率公式，建立递推关系，求得对任意号学生抽取卡片后手中有两张红卡和一张黑卡的概率为，，再求号手中红卡个数 的取值及对应概率，并求解期望即可. （3）由题可知，一轮游戏后至少还有个学生未被淘汰”，其中，进而结合（2）得一轮后单个学生不淘汰的概率为，根据未被淘汰的人数二项分布求得，二轮结束后人中剩1人未被淘汰的概率为：，最后结合组合恒等式，全概率公式求得即可. 【小问1详解】 解：记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； 【小问2详解】 解：记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”， “从号手中取出的卡为红卡”， 所以，， ，， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为 ，可能取值为， ， ， ， 所以. 【小问3详解】 解：由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布， 所以，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： 因为， 因为， 所以 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率 17. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若，用 表示 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 的均值； （2）记 团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 【答案】（1）； （2）7. 【解析】 【分析】（1）求出 的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望. （2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意， 的所有可能取值为， ，， 所以 的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问2详解】 令，若前位玩家都没有通过第一关测试， 其概率为， 若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试， 但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为， 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， 因此第位成员闯过第二关的概率， 由，得，解得，则，所以. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 18. 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. （1）求， （2）已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算得出结论； （2）（i），因此，即可证明结论； （ii）利用全概率公式可得结论. 【小问1详解】 由题意，前2 次移动向雷达发送信息，则需要连续向左移动2次，则， 若机器人经过，则必不经过3，包括： 前两次都向左移动1个单位； 先向左移动1个单位，再向右移1个单位，再向左移动2个单位； 先向右移动1个单位，再向左移动3个单位， 则其概率， 若机器人经过3，则必不经过，包括：前3次连续向右移动，则其概率， 故； 【小问2详解】 （i），因此， ， ， 对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的n都有，， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为 （ii）设事件机器人从出发，运动至3首次发送信息， 根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即 设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到 易知事件与事件相互独立，故 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0， 第一次移动后的位置为1 或，故， 故，① 若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为0，故， 即，② 解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3的概率为 【点睛】关键点点睛：本题第二问有可得，利用不等式放缩可知，进而再放缩可得进而可得. 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和 个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 【答案】（1） （2） （i）因为甲社区中男生和女生都认识，因此. 当时，，， 所以， ， ， 因为， 两边 同乘以，得. （ii） 【解析】 【分析】（1）现根据古典概率公式求出甲乙社区的参赛选手都是男生或女生的概率，再根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式求解； （2）（i）根据题意结合排列数和组合数公式求出，观察公式的结构特征，证明；（ii）先求得的递推关系式，得到和有相同的递推关系和初始值，利用古典概率公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是女生”， 事件表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是男生”， 则，，， 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即， 因为 ，所以，即事件与互斥， 又事件与互相独立，事件与互相独立， 所以所求事件的概率. 【小问2详解】 （i）略 （ii）先考虑的递推关系式. 当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余 队共有种不同的选法， 可在余下个男生中任选一人，有种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从中选出个女生，从中选出个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当时，由前述分析可得， 由（i）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值， 所以对任意和，均有. 所以， 设乙社区中各选个男生和个女生，男、女组成个队，共有种情况，且， 因此，满足组队要求的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2027届高二下数学期中第一次诊断考试 一、单选题（40分） 1. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 2. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 5. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 6. 某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为（ ）. A. 240 B. 270 C. 480 D. 540 7. 设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 36 8. 二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取 ，可以得到．类比此方法，可以求得（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使增加且只增加的是：（ ）. A. B. C. D. 10. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 满足的排列有80个 C. 的概率为 D. 的概率为 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 三、填空题（15分） 12. 考虑一个指标，这指标初始为0，另一个指标初始为1，接下来投掷若干次质地均匀的硬币，每次投掷结束后，都依据投掷的结果做接下来的操作： ①掷出反面：把的值变为，例如当时，掷出反面后的值变为； ②掷出正面：把的值变为，例如当 ，时，掷出正面后的值变为2； 已知投掷199次硬币后，的值最终变为0，且这199次投掷中，恰好掷出了次正面的概率最大，则的值为______. 13. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________． 14. 将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，其中 ，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的号球放入的盒子所对应编号都小于号球放入的盒子所对应编号，则号球放入编号为______________的盒子的概率最大. 四、解答题（77分） 15. 如图所示数阵，第 行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第 个数为.规定： . （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列 ，设数列 的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n， 恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 16. 某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 17. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若 ，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 18. 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. （1）求， （2）已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数 ，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和 个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若 ，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $