精品解析：吉林长春市第八十七中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8个题，每小题3分，共24分） 1. 在0.03，7，，，中，无理数有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先明确无理数的定义，再逐个化简题目给出的数，根据定义判断每个数的类型，统计无理数个数即可得到答案． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，整数和分数（包括有限小数、无限循环小数）都是有理数． ∵是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，故是开方开不尽的无限不循环小数，因此是无理数； ，是整数，属于有理数； ∴无理数共有个． 2. 要使成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意数 【答案】D 【解析】 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 3. 估计在哪两个相邻整数之间（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找出与15相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的单调性确定范围． 找出小于15和大于15的最接近的完全平方数，分别求出它们的算术平方根，即可确定所在的相邻整数区间． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 故选：C． 4. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误，不符合题意； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握三角形全等的判定有、、、、，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等． 5. 如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 8. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 10. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 11. 已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在中，，、分别平分外角，内角．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是_____（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出，结合已知得出，进而证明，即可判断①，根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可判断②，由推出，进而得到，推出，由得到，推出，可判断③④． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平分， ， ，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，即不平分，故③错误； ，， ，故④正确， 故答案为：①②④． 三．解答题（共10小题） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 计算或求值： （1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ． 17. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求这个正数； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的性质可得，解之，即可求得的值，进而可求得该正数的一个平方根，于是可求得该正数； （2）已知的值，于是可求出的值，进而可求出的立方根． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 解得：， ， 这个正数是； 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，已知一个数的平方根求这个数，求一个数的立方根等知识点，根据平方根的性质求出的值是解题的关键． 18. 已知，是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值. （2）若，且，求的值. 【答案】（1）6 （2）343 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算即可； （2）利用幂的乘方计算，之后再整体代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，掌握运算性质是解题的关键． 19. 如图，点，在上，，，，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先说明，再利用“边角边”证明和全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键． 20. 如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，求的度数． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线得出，求出，相减即可求出答案． 【详解】解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，三角形全等的判定，勾股定理和网格问题，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． （）根据勾股定理，三角形全等的判定方法作图即可； （）根据勾股定理，三角形全等的判定方法作图即可； （）根据网格线的特点及平移的性质作图即可； 【小问1详解】 解：即为所求，如图所示： ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：即为所求，如图所示： ∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：即为所求，如图所示： ∵，，， ∴． 22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连结AE并延长交BC的延长线于F，连结BE． （1）求证：AD＝CF； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过AAS证明△ADE和△FCE全等，可得到AD＝CF； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论. 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE． ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE． 在△ADE和△FCE中 ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AD． （2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD， ∴AB＝BF， ∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF， ∴BE⊥AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 23. 如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD、CE． （1）如图②，可以根据三角形全等判定定理_________证得． （A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边． （2）如图③，求证：． （3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为________度． 【答案】（1）B；（2）证明见解析；（3）60或120． 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （3）分点D、E、C在同一条直线上，且点E在C、D的中间和点D、E、C在同一条直线上，且点D在C、E的中间两种情况，再分别根据三角形全等的性质、等边三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）、均为等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， 故选：B； （2）、均为等边三角形， ， ，即， 在和中，， ； （3）由题意，分以下两种情况： ①如图3-1，点D、E、C在同一条直线上，且点E在C、D的中间， 是等边三角形， ， ， 同（1）可证：， ， ； ②如图3-2，点D、E、C在同一条直线上，且点D在C、E的中间， 是等边三角形， ， 同（2）可证：， ， ； 综上，的大小为或， 故答案为：60或120． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 24. 如图，中，，，，．若动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒．设出发的时间为秒． （1）当点在线段上时，______．（用含的代数式表示） （2）当点在线段上时． ①若为直角三角形，则的取值范围是____． ②若点到的两边距离相等时，求的值． （3）另有一动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时．另一点也停止运动，请直接写出为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】（1） （2）①；② （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据求出的长即可； （2）①当在上运动时，为直角三角形，可得； ②过点P作于点D，连接，由题意，，，利用三角形的等面积求得x值即可解答； （3）分三种情况讨论：当点在上，在上；当点在上，在上，当当点在上，在上，分别求得的值即可． 【小问1详解】 解：动点从点开始以每秒的速度运动， 出发4秒后，则， 此时点P在线段上，即点处， 故当点P在线段上时，， ∴ ； 【小问2详解】 解：①当在上运动时，为直角三角形， ； ②如图，过点P作于点D，连接， 由题意，． 设， 由得， ∵，，， ∴， 解得， 则（秒）； 【小问3详解】 解：的周长为， 当点在上，在上，如图， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 当点在上，在上，如图， 则,， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒），此时，不符合题意，舍去； 当点在上，在上，如图， 则 ， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 综上所述，当或5秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8个题，每小题3分，共24分） 1. 在0.03，7，，，中，无理数有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 要使成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意数 3. 估计在哪两个相邻整数之间（　　） A. B. C. D. 4. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 5. 如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 10. 填空：的平方根是___________． 11. 已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 12. 计算：________． 13. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 14. 如图，在中，，、分别平分外角，内角．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是_____（填序号）． 三．解答题（共10小题） 15. 计算： （1） （2） 16. 计算或求值： （1）计算：； （2）求的值：． 17. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求这个正数； （2）求的立方根． 18. 已知，是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值. （2）若，且，求的值. 19. 如图，点，在上，，，，与交于点．求证：． 20. 如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，求的度数． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连结AE并延长交BC的延长线于F，连结BE． （1）求证：AD＝CF； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 23. 如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD、CE． （1）如图②，可以根据三角形全等判定定理_________证得． （A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边． （2）如图③，求证：． （3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为________度． 24. 如图，中，，，，．若动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒．设出发的时间为秒． （1）当点在线段上时，______．（用含的代数式表示） （2）当点在线段上时． ①若为直角三角形，则的取值范围是____． ②若点到的两边距离相等时，求的值． （3）另有一动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时．另一点也停止运动，请直接写出为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $