安徽合肥市肥东县第一中学大数据联考2026届高三毕业班第二轮质量检测数学试题

**基本信息** 融合二维码科技、《莱因德纸草书》文化与星形线应用，梯度设计突出数学眼光、思维与语言，适配高三二轮能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数模、集合运算、抛物线开口|以二维码二进制编码计算考查指数运算，体现数学应用| |多选|3/18|圆锥体积、双曲线离心率|结合三棱锥外接球表面积考查空间观念，发展几何直观| |填空|3/15|切线方程、数列求和|二分法检索次数问题，培养逻辑推理与创新意识| |解答|5/77|解三角形、立体几何、星形线|星形线最值证明综合导数与对称性质，强化数学思维与表达|

肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填 贴条形码区 写清楚，并认真检查条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答 题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用 铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 此栏考生禁填 卷上答题无效。 缺考标记 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5.正确填涂：■。 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小 题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的 1 [A][B][C][D]4 [A][B][C][D]7 [A][B][C][D] 2[A][B][C]D]5A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 3[A[B][C][D]6[A][B][C[D] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小 题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9[A][B][C][D]10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. (5分) 13. (5分) 14 (5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 【数学答题卡第1页共2页】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D A B ! p B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 【数学答题卡第2页共2页】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 坦编帮高考培优系列 舒坦坦 【数学(A)答题卡第3页 跟紧坦编，舒 共1页】绝密★启用前 肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.命审单位：肥东一中坦编帮数学部. ※祝大家学习生活愉快※ 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 务必擦净后再选涂其它答案标号.作答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；答案必须 写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.写 在本试题卷上的答案无效。不按以上要求作答的答案无效， 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的. 1.已知复数=ii2+..+2026,其中i为虚数单位，则复数z的模为 A.2 B.v2 C.1 D.0 2.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B-{1,3,5},则(CA)∩B A.{4 B.{5 C.{2,4,5} D.{1,3,4,5} 3.在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为 A.x2-y B.x2=2y C.x2=3y D.x2=4y 4.若函数)-am(ox)(o>0)的最小正周期为2m,则曲线))的对称中心的坐标为 .(m+写0)e刀 c.(m+若)ke刀 D.(t+)）0 5.二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来 记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式.某 二维码生成器可以生成25×25（即625个点）大小的二维码，若黑点表示1，“白点”表示0，根据0 和1的二进制编码，一共有2625种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为3×1011 秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（已知：1g2≈0.3,1g3≈0.5） A.172万年 B.260万年 C.10172万年 D.10260万年 TBEDC·IF022 【数学试卷第1页共4页】 6.《莱因德纸草书》(hind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目： 现将100个面包以某种方式分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使面包个数较大的三 份之和的与使面包个数较小的两份之和相等. 则面包个数最小的一份为 A.3 C.6 5 11 D. 7.下列四个命题中，正确的是 ①若a/b、b元，则l/c; ②若a⊥方，则a+b=a-b: ③若2，b=4,且a+-25,则d与方的夹角为150： ④已知向量a,b不共线，AB-2a+3b,BC-a+2b,CD=5a+4b,则A,B,D三点共线. A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 8.己知定义在区间D上的函数)，gx),若对x1,2∈D(x1x2),存在一个正实数M,满足 x)一x)Mg1)(x2川，则称gx)是x)的M-陪伴函数”，则下列说法正确的是 A.已知D=[0,1],函数g(x)-3x+1为函数x)=x2+3x的1-陪伴函数” B.已知D=[0,1],函数gx)=3x+1为函数x)=x2+3x的M-陪伴函数”，则M的最小值为2 C.任何一给定闭区间[，m上的函数g(x)=x+r(0)一定是函数fx)=ax2+bx+c(a0)的M一陪伴函数” D.任何一给定闭区间[，刊上的函数g(x)=kr+(0)可能是函数x)-ax2+bx+c(a0)的M一陪伴函数” 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.某圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周上，则 A.该圆锥的体积为元 B.三棱锥P-ABC的外接球表面积为16元 C.△PAC的面积的最大值为V3 D.三棱锥P-ABC的体积的最大值为I 10.己知点41,1)在双曲线c: 京京1(a0,b>0)的渐近线上，F1,F,分别是C的左、右焦点，P是 x2 12 C的左支上的一动点，则 A.C的离心率为V万 B.存在，点P,使得△PFF,为等腰直角三角形 C.点P到两条渐近线的距离之积为 D.IPF2I<(3+2V2)IPFl 1.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,aM十tanBtanc-4S 11.1a2+b2+c2 (其中S 为三角形面积)，且2+b2+c2=4ab,则 a b A.cosC= +--2 b a B.3C C.cs(-B)C+2csC+2 cosC+2 am方ar8amn乙的取值范围为Q,4) 3 D. 【数学试卷第2页共4页】 TBEDC·HIF022 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数)=e，则曲线)在点(00)处的切线方程为 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足41=2,3Sm=2a+1-3,则满足Sm>30的最小整数n为 14.二分法”是一种常用的检索方法.n为正整数且数x∈{1,2,3，，n,为了寻找x,我们可以把x 与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到x.检索的过程分为取数和比较两个步骤. ①取究：关4y3中的整数，若41为钙数，取网二，若1为奇数，取m- 2 ②比较：比较x与m,的大小关系.若，x,则停止检索；若，>x,则+14，y+1=,一1，继续检索； 若，<x,则4+1，+1，V+1Y,继续检索，下一次检索区间范围更新为{x4+1≤y+1,其中0=1，vo. 对于正整数，从集合{1,2,3，，}中任取一个数x,按上述检索过程找到数x经历的比较次数 为Yn,记a,=E(Yn),则as= (结果可保留幂形式). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinc-b-c=0. (I)求A的值： (Ⅻ)若△4BC的周长为6，内切圆半径为 ,求2b+c-a的值. 3 16.(本小题15分) 已知数列{an}满足a1=2,4+1 2a,n为奇数 设{an},{a2m的前n项和分别为S,Tm. 4+2,n为偶数 (I)试求2，a的值并探究S2n与Tn的关系； 1 P=0.3 (Ⅱ)当心2时，试求a2m-1的通项公式： 3 4 P-0.7 (Ⅲ)试求S2026的值 P-0.4 P=0.6 F10 17.(本小题15分) 示例表 在独立性检验中，-A,B B -，其中A,为列联表中第i行j列的实际频数，B,为假定独立情况下 由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数.取p92时，则有B1.10.3×0.4×10=1.2,B12=1.8, 层128,1=42.因此：0-122-18丰6244255 n(ad be)2 1.2 1.8 2.8 4.263 a+ba+ob+dmc+等价. (I)请完成该2×3列联表； (I)求该2×3列联表的2最小值， 5x(x∈N*) 30 30 25 45 5.x+30 4 3-8 1=200 200 23列联表 TBEDC·HIF022 【数学试卷第3页共4页】 18.(本小题17分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面BCC1B1内且满足 BP=λBC+uBB1,1∈[0,1]，u∈[0,1]： D B D B 第18题图 (I)当F时，求四面体OPBC的体积： (I)试判断是否存在点P,使PQ/平面BAD1,若存在，试求出PQ长度的最小值；若不存在，请说明 理由： Ⅲ)若+=1，试求AP件PQ的最小值. 19.(本小题17分) 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲 2.2 线.图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为x3+3=1. 图1 图2 (I)在E上任取一点P,试求OP的最小值： (Ⅱ)在E上任取一点A,点B与点A关于直线y=x对称，点C与点B关于y轴对称，则△AOC是等腰 直角三角形： (Ⅲ)证明：若E上三点P,(cos30,sn30,)(=1,2,3)满足cos81+cos02+cos83sin01+sin02+sin030,则 cos301+cos302+cos3033cos(01+02+03) 【数学试卷第4页共4页】 TBEDC·HIF022坦编帮高考培优系列 跟紧坦编，舒舒坦坦 肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数学 答题卡 ( 姓 名： __________________________________________ ) ( 准考证号 ： ) ( 贴条形码区 ) ( 注意事项 ) ( 1 . 答题前，考生先将自己的姓名 、 准考证号填写清楚，并认真检查条形码。 2 . 选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 . 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 . 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 . 正确填涂 ： 。 ) ( 此栏考生禁填 缺考标记 ) ( 一、选择题 ： 本大题共8小题 ， 每小题5分 ， 共计40分. 每小题给出的四个选项中 ， 只有一个选项是正确的. 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题 ： 本大题共3小题 ， 每小题6分 ， 共计18分. 每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对得6分 ， 选对但不全的得部分分 ， 有选错的得0分 . 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、 填空题 ： 本题共3 小题 ，每小题5分，共15分. 1 2 . ___________________ (5分) 1 3. ___________________(5分) 1 4 . ___________________(5分) 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17 . （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四、解答题 ： 本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 5 . ( 1 3 分 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16. (15分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17. (15分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. (17分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19. (17分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 【数学答题卡 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 【数学(A)答题卡 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D B C A A B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD ACD ABD y=3x+1 4 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数 ，其中为虚数单位，则复数z的模为 A．2 B． C．1 D． 1．B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数的乘方 【详解】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则，由于，故，所以． 2. 若全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合补集交集运算即可． 【详解】因为，所以，又，所以． 3. 在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为 A． B． C． D． 3．D 【难度】0.9 【知识点】比较抛物线的开口大小 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为． 4. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为 A． B． C． D． 4．B 【难度】0.85 【知识点】求正切(型)函数的周期、求正切(型)函数的对称中心 【分析】根据正切函数周期性求解，再结合“整体法”求解对称中心． 【详解】，，令，得， 所以曲线的对称中心的坐标为． 5. 二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成(即625个点)大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用(已知：，) A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 5．C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据给定条件，列出表达式并利用对数运算求解． 【详解】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年， ， 因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年． 6. 《莱因德纸草书》()是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目： 现将个面包以某种方式分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使面包个数较大的三份之和的与使面包个数较小的两份之和相等． 则面包个数最小的一份为 A． B． C． D． 6．A 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列的简单应用 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可． 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差． 因为份总和为，由等差数列前项和公式，化简得 ①， 较大的三份为后三项，较小的两份为前两项，由题意， 代入通项公式展开得，化简得②， 把②代入①得，即，解得，因此最小的一份为． 7. 下列四个命题中，正确的是 ①若、，则； ②若，则； ③若，，且，则与的夹角为； ④已知向量，不共线，，，，则三点共线． A． B． C． D． 7．A 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、平面向量共线定理证明点共线问题、已知数量积求模 【分析】利用平面向量线性运算法则和共线定理逐一分析判断选项． 【详解】命题①： 当时，零向量与任意向量平行，此时、，但与不一定平行，①错误； 命题②： 对等式两边平方： ，， 若，则，因此，即，②正确； 命题③：两边同时平方得：， 代入，得，计算得,又，故，③错误； 命题④：， 即，又二者有公共点，故三点共线，④正确． 8. 已知定义在区间上的函数，，若对，，存在一个正实数，满足，则称是的“—陪伴函数”，则下列说法正确的是 A．已知，函数为函数的“-陪伴函数” B．已知，函数为函数的“-陪伴函数”，则M的最小值为2 C．任何一给定闭区间上的函数一定是函数的“—陪伴函数” D．任何一给定闭区间上的函数可能是函数的“—陪伴函数” 8．B 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】对于A、B项，根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值；对于C、D项，通过放缩得，再记继续证明即可． 【详解】对于A，B项，假设是的“—陪伴函数”，则， 即，则． 因为且，所以，则， 因此，因此是的“－陪伴函数”，且的最小值是． 所以，函数不是函数的“-陪伴函数”，故A、B项均错误． 对于C，D项，已知， ，． 记，则． 记，取，因为，故M为正实数，则， 即成立，因此一定是的“M—陪伴函数”， 即在同一给定闭区间上的函数一定是函数的“M—陪伴函数”，故C项正确，D项错误． 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，则 A．该圆锥的体积为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．的面积的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为1 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】圆锥的结构特征辨析、锥体体积的有关计算、三角形面积公式及其应用、球的表面积 【分析】由题意，求出圆锥高，底面圆半径，利用体积公式计算判断A，求出圆锥外接球的半径，根据球的表面积公式计算判断B，利用三角形面积公式判断C，根据棱锥的体积公式判断D． 【详解】如图，作出符合题意的图形，因为，所以， 在Rt△中，可得，所以V=，故A正确； 延长交球面于点，连接，如图， 作出符合题意的图形， 则球心在PQ上，且为球的直径，所以，所以，即， 所以三棱锥的外接球表面积为，故B正确； 设，由题意可知，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 设到的距离为，因为C在底面圆周上，所以, 所以， 当时，即时等号成立，故D正确．故选：ABD． 10. 已知点在双曲线 的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则 A．的离心率为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．点到两条渐近线的距离之积为 D． 10．ACD 【难度】0.55 【知识点】双曲线中的定值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】A，由题可知点在渐近线上，则．所以，则离心率为，故A正确． B，若为等腰直角三角形，由双曲线对称性可知不可能是直角． 而在的左支上，则只可能是为直角，且此时． 当为直角时，，则，而，即与双曲线定义矛盾，故B错误． C，设双曲线上的点，则有，则点到两条渐近线和的距离分别为， ，所以距离之积，故C正确． D，因为，所以，而， 所以，故D正确． 11. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(其中S为三角形面积)，且，则 A． B． C． D．的取值范围为 11．【难度】0.25 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积 【分析】对于A、B项，根据锐角三角形，结合余弦定理，通过对勾函数性质求解即可；对于C项，通过余弦定理、正弦定理即可；对于D项，设，，以及化简求解即可． 【详解】对于A项，因为△是锐角三角形，故，解得，解得且，，故A项正确； 对于B项，由于对勾函数在单调递减，在单调递增，当或时，，，当且仅当时，取等号，故当时，，故，由于，故，故B项正确； 对于C项，由正弦定理可得，， 即，， 由和差化积可得，， 以及 代入可得，，整理可得， 因为，所以两侧同时除以，可得，故C项错误； 对于D项，设，，，则，令， 由在三角形中，， 所以，所以， 即，则，且，化简可得，， 因为，所以，所以 所以，可得，由可得，所以，故D项正确． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 12． 【难度】0.88 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 13. 已知数列的前项和为，且满足，，则满足的最小整数为______． 13．4 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【详解】①当时，代入得，由，得，解得． ②当时，，两式作差得，即，整理得． 故时，，因为,所以， 所以数列从第二项起为公比的等比数列，即 当时，，化简得，令，即， 时，时，． 故满足的最小整数． 14. “二分法”是一种常用的检索方法．为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到．检索的过程分为取数和比较两个步骤． ①取数：是中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取． ②比较：比较与的大小关系．若，则停止检索；若，则，，继续检索；若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，． 对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记，则a15=______(结果可保留幂形式)． 14． 【难度】0.30 【知识点】求离散型随机变量的均值、二分法求方程近似解的过程、错位相减法求和 【分析】考虑随机变量的可能取值，研究对应值的概率，结合期望算法即可求出； 【详解】可取，当时，所有可能取到的数的个数记为， 则，，所以，因此， 于是 令，， 上述两个等式作差得， 整理可得，所以，所以． 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 已知在中，角的对边分别为，且． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若的周长为6，内切圆半径为，求2b+c-a的值． 15．(Ⅰ) ；(Ⅱ) 2． 【难度】0.70 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形的面积公式、余弦定理解三角形 【分析】(Ⅰ) 根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出；(Ⅱ) 利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理求解判断BCD． 【详解】(Ⅰ) 在中，由及正弦定理得， 则，整理得， 即，由，得，则， 两边平方得，由，得，解得，故； (Ⅱ) 由的周长为6，内切圆半径为，得， 解得，由余弦定理得，即， 整理得，解得，，又，解得，因此2b+c-a=2． 16. (本小题15分) 已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (Ⅰ) 试求，的值并探究的关系； (Ⅱ) 当时，试求的通项公式； (Ⅲ) 试求的值． 16．(Ⅰ) ；；；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ． 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【详解】(Ⅰ) 由条件可知，由，，为奇数时，， ，故； (Ⅱ) 当时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以； (Ⅲ) 时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以， 所以前2026项中偶数项的和为 ，所以． 17. (本小题15分) 1 2 P=0.3 3 4 P=0.7 P=0.4 P=0.6 n=10 示例表 在独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数．取时，则有．因此：与等价． (Ⅰ) 请完成该列联表； (Ⅱ) 求该列联表的最小值． 17．(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 【难度】0.55 【知识点】卡方的计算、对勾函数求最值、完善列联表 【分析】(Ⅰ) 由已知，补全列联表；(Ⅱ) 并分别计算出每行、每列的实际频数，然后带入公式列出关系式，借助 (x∈N*)的关系即可完成最值得求解． 【详解】(Ⅰ) 由已知，可将上述列联表补充完整， 5x (x∈N*) 30 30 25 45 列联表 (Ⅱ) 因为，所以，，， ，，，， ，① 由，设，，所以， 带入①式得： 令，设函数，则该函数在区间单调递减，在区间单调递增， 而因为，所以当时最接近最小值， 故时，时，①式取得最小值，则最小值为． 18. (本小题17分) 如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，． 第18题图 (Ⅰ) 当时，求四面体的体积； (Ⅱ) 试判断是否存在点P，使平面，若存在，试求出长度的最小值；若不存在，请说明理由； (Ⅲ) 若，试求的最小值． 18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) 存在；；(Ⅲ) 【难度】0.35 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】(Ⅰ) 根据三棱锥体积公式计算；(Ⅱ) 应用线面平行及边长计算；(Ⅲ) 结合余弦定理计算． 【详解】(Ⅰ) 当时，P是线段的中点， 此时点Q到平面的距离为2，所以； (Ⅱ) 取线段的中点R，线段的中点S，当点P位于线段上时，， 平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 平面，平面，此时有，，， ，所以为直角三角形，当P位于点S时，长度的最小值是． (Ⅲ) 当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面， 当点Q，P，A三点共线时，取最小值， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又为等边三角形，所以在中，，所以， 所以，所以． 19. (本小题17分) 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘(如图1)是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为． (Ⅰ) 在E上任取一点P，试求的最小值； (Ⅱ) 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形； (Ⅲ) 证明：若E上三点满足，则． 19．(Ⅰ) ；(Ⅱ) 答案见解析；(Ⅲ) 答案见解析 【难度】0.25 【知识点】已知函数最值求参数、由方程研究曲线的性质、向量在几何中的其他应用 【分析】(Ⅰ) 由两点间的距离公式及基本不等式，求得的最小值；(Ⅱ) 根据关于直线对称和关于y轴对称的点的特征，利用向量的模及夹角的坐标表示判断的形状；(Ⅲ) 由单位圆及正三角形的性质，得的关系． 【详解】(Ⅰ) 设，则，由对称性，只需要考虑的情形， 此时， 当且仅当时取等号，则的最小值为； (Ⅱ) 设，则，，向量，， 显然，所以，且，所以是等腰直角三角形； (Ⅲ) 在单位圆上取三点， 则的外接圆即为该单位圆，点为外接圆圆心． 的重心为，即， 故的外心与重心重合，是正三角形，． 不妨取，，则． 【数学试卷 第1页 共3页】TBEDC·HF022 【数学试卷 第1页 共3页】TBEDC·HF022 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．命审单位：肥东一中坦编帮数学部． ※ 祝大家学习生活愉快 ※ 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上． 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．作答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．写在本试题卷上的答案无效。不按以上要求作答的答案无效． 3. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 4. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数 ，其中为虚数单位，则复数z的模为 A．2 B． C．1 D． 2. 若全集，集合，，则 A． B． C． D． 3. 在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为 A． B． C． D． 4. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为 A． B． C． D． 5. 二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成(即625个点)大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用(已知：，) A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 6. 《莱因德纸草书》()是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目： 现将个面包以某种方式分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使面包个数较大的三份之和的与使面包个数较小的两份之和相等． 则面包个数最小的一份为 A． B． C． D． 7. 下列四个命题中，正确的是 ①若、，则； ②若，则； ③若，，且，则与的夹角为； ④已知向量，不共线，，，，则三点共线． A． B． C． D． 8. 已知定义在区间上的函数，，若对，，存在一个正实数，满足，则称是的“—陪伴函数”，则下列说法正确的是 A．已知，函数为函数的“-陪伴函数” B．已知，函数为函数的“-陪伴函数”，则M的最小值为2 C．任何一给定闭区间上的函数一定是函数的“—陪伴函数” D．任何一给定闭区间上的函数可能是函数的“—陪伴函数” 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，则 A．该圆锥的体积为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．的面积的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为1 10. 已知点在双曲线 的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则 A．的离心率为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．点到两条渐近线的距离之积为 D． 11. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(其中S为三角形面积)，且，则 A． B． C． D．的取值范围为 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知数列的前项和为，且满足，，则满足的最小整数为______． 14. “二分法”是一种常用的检索方法．为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到．检索的过程分为取数和比较两个步骤． ①取数：是中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取． ②比较：比较与的大小关系．若，则停止检索；若，则，，继续检索；若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，． 对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记，则a15=______(结果可保留幂形式)． 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 已知在中，角的对边分别为，且． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若的周长为6，内切圆半径为，求2b+c-a的值． 16. (本小题15分) 已知数列满足，，设，的前项和分别为，． 1 2 P=0.3 3 4 P=0.7 P=0.4 P=0.6 n=10 示例表 (Ⅰ) 试求，的值并探究的关系； (Ⅱ) 当时，试求的通项公式； (Ⅲ) 试求的值． 17. (本小题15分) 在独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数．取时，则有．因此：与等价． (Ⅰ) 请完成该列联表； (Ⅱ) 求该列联表的最小值． 5x (x∈N*) y 30 ▲ 30 25 45 ▲ ▲ 列联表 18. (本小题17分) 如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，． 第18题图 (Ⅰ) 当时，求四面体的体积； (Ⅱ) 试判断是否存在点P，使平面，若存在，试求出长度的最小值；若不存在，请说明理由； (Ⅲ) 若，试求的最小值． 19. (本小题17分) 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘(如图1)是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为． (Ⅰ) 在E上任取一点P，试求的最小值； (Ⅱ) 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形； (Ⅲ) 证明：若E上三点满足，则． 【数学试卷 第1页 共3页】TBEDC·HF022 【数学试卷 第1页 共3页】TBEDC·HF022 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 肥东一中大数据联考·2026届高三毕业班第二轮质量检测 数学参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 窖案 B B D B c A B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 7×216+1 ABD ACD ABD Jy=3.+1 215-1 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的： 1.已知复数。i1i2+..+i2026,其中i为虚数单位，则复数z的模为 A.2 B.V2 C.1 D.0 1.B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数的乘方 【详解】由于i4n=1,4+1气i,i4+2=-1,4+3-i,故每四个连续的项之和为0,2026÷4=506.2，则 2可1+hi2+.+i2026=506×0+i2025hi2026,由于12025与i,i2026_-1,故2=-1+i,所以zV2. 2.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B-={1,3,5},则(C4)nB= A.{4 B.{5} C.{2,4,5} D.{1,3,4,5} 2.B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合补集交集运算即可. 【详解】因为U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},所以C4={4,5,又B-{1,3,5},所以(C4)∩B-{5}. 3.在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为 A.x2=y B.x2-2y C.x2=3y D.x2=4y 3.D 【难度】0.9 【知识点】比较抛物线的开口大小 【详解】由抛物线的性质，得抛物线x2-2p(p>0)中，p越大，抛物线开口越大， 所以抛物线x2y,x2=2y,x2=3y,x2=4y中，开口最大的为x2=4y. TBEDC-HF022 【数学试卷第1页共11页】 4.若函数)an(or习(@0)的最小正周期为2，则曲线)儿)的对称中心的坐标为 a.(佟+o)ce B.(（m*号0）∈刀 c.(mg）ae刀 .(2x0）ae刃 4.B 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】根据正切函数周期性求解ω，再结合‘整体法”求解对称中心 【详解】7心令的g7ce0.得号E刀. 所以曲线)的对称中心的坐标为(+30)∈). 5.二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来 记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式.某 二维码生成器可以生成25×25（即625个点）大小的二维码，若“黑点表示1，“白点表示0，根据0 和1的二进制编码，一共有225种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为3×101 秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（已知：1g2≈0.3,1g3≈0.5） A.172万年 B.260万年 C.10172万年 D.10260万年 5.c 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据给定条件，列出表达式并利用对数运算求解， 2625 【详解】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以 104×3×10m万年， 2625 1810×3×10g225-4Hg3-11=6251g2-1g3-15=625x0.3-0.5-15=172, 2625 因此103×1010，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用1012万年。 6. 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目： 现将100个面包以某种方式分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使面包个数较大的三 份之和的二与使面包个数较小的两份之和相等. 7 则面包个数最小的一份为 5 11 A. 3 B.10 c.a D. 3 6 【数学试卷第2页共11页】 TBEDC·HF022 6.A 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前项和的基本量计算、利用等差数列的性质计 算、等差数列的简单应用 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设5人所得面包数为递增等差数列{a},首项a1(即最小的一份)为所求，公差心0. 5×4 因为5份总和为100，由等差数列前n项和公式s,5a+25a+10100,化简得a+2d20①， 较大的三份为后三项a,4,5,较小的两份为前两项a1,2,由题意(a+a4+a5)-a1+2, 代入通项公式展开得[(a+20+(a+3+(a+4d]-a+(a+d),化简得11a-2d②， 把2代入①得4-11a,20,即12a20,解得a了因此最小的-份为 7.下列四个命题中，正确的是 ①若aMb、bc,则a/c; ②若a1i,则+=a-: ③若2，b-4,且+b-2V5,则d与6的夹角为150： ④已知向量a,b不共线，AB-2a+3b,BC-a+2b,CD=5a+4b,则A,B,D三点共线. A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 7.A 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、平面向量共线定理证明点共线问题、已知数量积求模 【分析】利用平面向量线性运算法则和共线定理逐一分析判断选项， 【详解】命题①：当b=0时，零向量与任意向量平行，此时ab、b1c,但与c不一定平行，①错误； 命题②：对等式两边平方：++2众+，后2a, 若a1方，则后6-0，因此后+-a-,即a+-a,②正确： 命题③：a+-2两边同时平方得：a++2co0时b-12, 代入l2,b=4得4+2×2×4xc0s016=12,计算得c0s0=-2又6∈[0°，1801，故G120+150,®错误； 命题④：BD=BC+CD-a+2b+5a+4b=4a+6b=2(2+3b)=-2AB, 即BD∥AB,又二者有公共点B,故A,B,D三点共线，④正确. TBEDC·HF022 【数学试卷第3页共11页】 8.已知定义在区间D上的函数)，g(x),若对V:1,2∈D(x1≠x2,存在一个正实数M,满足 x)一x2)MIg(x1)一gx2)川，则称g(x)是x)的M一陪伴函数”，则下列说法正确的是 A.已知D=[0,1],函数g(x)=3x+1为函数fx=x2+3x的“1-陪伴函数” B.已知D-[0,1],函数g)3x+1为函数x)=x2+3x的M-陪伴函数”，则M的最小值为2 C.任何一给定闭区间[m,川上的函数gx)r+(0)一定是函数x)ax2+b+c(a0)的M-陪伴函数” D.任何一给定闭区间[m,川上的函数g(x)=kr+(0)可能是函数x)戶ax2+br+c(a0)的M一陪伴函数” 8.B 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性、求二次函数 的值域或最值 【分析】对汗A、B项。根据陪件画数定义计算得3() 则M则确定M的最小值；对 于C、D项，通过放缩得】bKk.hk.D+b1,再记x{m,继续证明即可。 1gx1)-gx2) 【详解】对于A,B项，假设gx)是x)的M-陪伴函数”，则Vx1x2∈[0,1]，lfx1)-fx2)Mg(x1)一g(x2)川， 即片+3(x)3Mxl,则，∈0,1()，3到 3 因为x∈0川且x,所以=+3∈g5,则e() 5 因此M企3，因此gy是)的M一陪伴函数”，且M的最小值是 所以，函数gx)=3x+1不是函数)=x2+3x的1-陪伴函数”，故A、B项均错误. 对于C,D项，已知gx)=k+0),x∈[m,1fx)=ax2+bx+c(a时0)，x∈[m,n, Vx)-fx2)Ila(x)+b(x1-x2)|la(xi+x2)+bl lallxi+x2l+lbl lal(xil+lx2l)+lbl V3∈[w川，1g6)广g2I x一x2 1%l 定m.则 记C- ,取MC41,因为c0,故M为正实数，则) 2sa+b 风 eGstscsz 即x)-fx2)上Mg(x1)-g(x2)川成立，因此g(x一定是x)的M一陪伴函数， 即在同一给定闭区间[，n上的函数g(x)=k+(0)一定是函数x)2+bx+c(a0)的M一陪伴函数”，故C 项正确，D项错误. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.某圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周上，则 A.该圆锥的体积为元 B.三棱锥PABC的外接球表面积为16π C.△PAC的面积的最大值为V3 D.三棱锥P-ABC的体积的最大值为1 【数学试卷第4页共11页】 TBEDC·HIF022 9.ABD 【难度】0.65 【知识点】圆锥的结构特征辨析、锥体体积的有关计算、三角形面积公式及其应用、球的表面积 【分析】由题意，求出圆锥高，底面圆半径，利用体积公式计算判断A,求出圆锥外接球的半径，根据 球的表面积公式计算判断B,利用三角形面积公式判断C,根据棱锥的体积公式判断D. 【详解】如图，作出符合题意的图形，因为∠APB=120°，PA=2,所以∠APO-60°， 在Rt△APO中，可得POl,A0√5，所以×(V同)'xx1=元，故A正确； 延长PO交球面于点Q,连接AQ,如图，作出符合题意的图形， 则球心在P9上，且P2为球的直径，所以PA⊥AQ,所以PA2=POPO-2R,即R=2, 所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S4πR=16元，故B正确； 设∠APC-6,由题意可知0°<120°，S△PA-PC-sin6-2sin2, 当且仅当0-90°时，等号成立，故C错误； 设C到AB的距离为h,因为C在底面圆周上，所以ABAO√5， 所以4eeP0写1*581cg2V551, 当OCLAB时，即V3时等号成立，故D正确.故选：ABD, 10.已知点A(1,1)在双曲线C 2y2 下京1(a0,b0)的渐近线上，乃，，分别是C的左、右焦点，P是 C的左支上的一动点，则 A.C的离心率为V∑ B.存在点P,使得△PF1F2为等腰直角三角形 C.点P到两条渐近线的距离之积为 D.IPF2Is(3+2W②)1PF 10.ACD 【难度】0.55 【知识点】双曲线中的定值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】，由腿可知点4在浙近线y会上，则。气.所以后三，则离心率为N,故A正确 B,若△PF1F2为等腰直角三角形，由双曲线对称性可知∠F1PF,不可能是直角. 而P在C的左支上，则只可能是∠PFF2为直角，且此时PF曰FF2=2c. b2 b2 当∠PFB为直角时，IPF上a,则2=2c,而b,即2c与双曲线定义矛盾， 故B错误， C,设双曲线C上的点P(xoyo),则有x,则点P(xoo)到两条渐近线yx和=-x的距离分别为 风所以矩之 22 ,故C正确， 因为H网1a所编品 2a 而|PFlc-=V2-a, 所以P3 2a 2a =1+ (W-1)a =3+2√2，故D正确. TBEDC·HIF022 【数学试卷第5页共11页】 11.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 111-2++c其中s tanA tanB tanc 4S 为三角形面积)，且a2+b2+c2=4ab,则 a b 元 A.cosC=. +--2 B. <C< b a 3 C.cos(AB)-CoC+2c0sC+2 D cosC+2 taantc的取值范围为2,4) 11.【难度】0.25 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积 【分析】对于A、B项，根据锐角三角形，结合余弦定理，通过对勾函数性质求解即可；对于C项，通 过余弦定理、正弦定理即可；对于D项，设F☑)厂aB 1 1 amnC以及1化简求解即可. 1 (a2+b2>c2 (a2+b2>4ab-a2-b2 【详解】对于A项，因为△4BC是锐角三角形，故C2+元，解得4b-d2-b2+b2c,解得石2且 1 a a2+c2>b2 a2+4ab-a2-b2>b2 1,c0sC a 2+b2-c2a2+b2-(4ab-a2-b2)a,b -2,故A项正确； 2ab 2ab 对于B项，由于对勾西数在6）单调递减，在02单调递地，当减口时，4一+宁之， 当且收当1时，取等号，做当（传）u时，片引故c名2(》由于 CE(0,故C,故B项正确； 对于C项，由正弦定理可得，(2 RsinA)2+(2 RsinB)2+(2 RsinC)2=4(2R)2 sinA sinB, 1 sin'Atsin BisinC-4sinAsinB,sin'A+sincos24+c0s2 由和差化积可得，124a2124242）1e0c, 以及4sin4smB=4*（)[eos(4+-cos(4-B=一2-cosC-cs(4-B-2csC-2cos61-B) 代入可得，1+cosCcos(A-B)=2[cos(A-B)十cosC]-1+cos2C,整理可得(cosC-2)cos(A-B)=cos2C+2cosC-2, 因为C2,所以两侧同时隆以C2,可得co4aC2C2,放C项错误， 1 1 1 aC,则x+叶e a2+b2+c2 4ab 2 2 对于D项，设- tanB, 令= 4S 2absinc sinG, ing, tanB+tanC 由在三角形中anA=-tan(B+C)= 1-tanBtanC tanA4(tanBtanC-1)-tanB+tanC, 所以an4+amB+tanC-tantaC,所以a4 tantatanctanC tan4 1 1 11 =1, 即y+z+z=1,则S=x2+y2+3z2,且x2+y2=(x+)2-2=(K-z)2-2(1-z(k-),化简可得，S=2+2z2-2, 因为仁2 cosC V-4 所以= 可得 由<C可得since 所以S∈(2,4)，故D项正确. sinC 【数学试卷第6页共11页】 TBEDC·HIF022 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数)=ex，则曲线=孔x)在点(0,0)处的切线方程为 12.=3x+1 【难度】088 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】f0)=e=1,又fx)=3e3“,则f0)-=3e-3, 所以曲线=x)在点(0,0)处的切线方程为y1=3(x0),即y=3+1 13.已知数列{a}的前n项和为S,且满足a=2,3Sm=2a+1-3,则满足Sm>30的最小整数n为 13.4 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 9 【详解】①当11时，代入3S,2a+13得3S,=243,由S,-a=2,得3×2=2a3,解得 ②当22时，3Sr1-2a,-3,两式作差得3S,-3S-1=2a+12a,即3a,2a+1-2a,整理得2aH1-=5a 放心时，之-了因为a2购专所哈号 9 2,=1 所以数列{a从第二项起为公比g的等比数列，即a.= 2-2 ,(02) 9 当22时，Sn=a1+a2+a3+..+am=2 化简得,(⑤) -1,令≥30，即3)-1>30, 1一 目10，时， 625103，时， -12 =15.625>10.33, 故满足Sm>30的最小整数-4. 14.二分法”是一种常用的检索方法.n为正整数且数x∈{1,2,3，，n,为了寻找x,我们可以把x 与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到x.检索的过程分为取数和比较两个步骤. ①取数：x是4≤y}中的整数，若4+1为偶数，取m-: )；若y,24,+1为奇数，取，=22. ②比较：比较x与，的大小关系.若，x,则停止检索；若，>x,则w+14,V+1=,-1,继续检索； 若，<x,则4+1l,+1,y+1Y,继续检索，下一次检索区间范围更新为{x4+1≤心y+,其中40=1，o1. 对于正整数n,从集合{1,2,3，，中任取一个数x,按上述检索过程找到数x经历的比较次数 为Yn,记a,=E(Y),则as= (结果可保留幂形式). 7x216+1 14. 215-1 【难度】0.30 【知识点】求离散型随机变量的均值、二分法求方程近似解的过程、错位相减法求和 【分析】考虑随机变量y的可能取值，研究对应值的概率，结合期望算法即可求出a-1; 【详解】y2-1可取1,2,3，，飞，当Y2k1(1≤)时，所有可能取到的数的个数记为bm, 2m-1 则bm12b,b11,所以bm2w1,，因此P(Y-1=m2 202+3×+..+kx☒ 2120+2×21+..+kx2-1 于是a1×22x 2k-1 2-1 2-1 令S-1×20+2×21+..+kx2-1,2S-21+2×22+.+(k-1)×2-1+kx2, 上述两个等式作差得-012222号2191， (k1)2+1 7×216+1 整理可得SD2+1,所以a,21，所以45 TBEDC·F022 【数学试卷第7页共11页】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinc-b-c=0. (I)求A的值； (Ⅻ)若△4BC的周长为6，内切圆半径为Y5, ,求2b+c-a的值. 3 15.(I)A=3(0)2. 【难度】0.70 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形的面积公式、余弦定理解三角形 【分析】(I)根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出A;(Ⅱ)利用三 角形面积公式、正弦定理、余弦定理求解判断BCD. 【详解】(I)在△ABC中，由acosC+√3 asinC-b-c-0及正弦定理得sinAcosC+V3 sinAsinC-sinB-sinC-, sinAcosC+V3sinAsinC-sin(+C)-sinC-0,sinAcosC+V3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinc sinC-0, 即W3sin4sinC-cosAsinC-sinC-0,由0<C<元，得sinC>0,则V3sin4=cosA+1, 1 两边平方得(1+co34)2=3sim2A=3(1-cos2A),由0<4<元，得-1<c0s4K1,解得cos4-2,故A-3 π1V3 8C的周长为6，内切圆半径为：得S△ -×6× 3， 解得bc-4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcos,即r-(62-2bc-2bcos7 整理得a2-36-12a什a2-12,解得-2，b+c=4,又bc-4,解得b-c-2,因此2b+c--2. 16.(本小题15分) 已知数列{an}满足412，a+1= 24,n为奇数 ，设{a,{a2}的前n项和分别为S,n a+2,n为偶数 (I)试求a2,a的值并探究S2m与Tnm的关系； (Ⅱ)当心2时，试求a2m-1的通项公式： )试求S2026的值. L02 16.(I)al;as3;537:(I)a14(（月；画S0266072+3×( 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前项和、求等比数列前n项和 1 【详解】(I)由条件可知，由a+1 ,”为奇数得454,4s2*23,n为奇数时，a,2aD an+2,n为偶数 S2na41++a43+…+am-(2a)ta2+(2a4)+a4++(2an)十a2m-3(a2+a4++an3Tn,故S2m-3Tn; ()当22时，因为a-10-2t22m-3+2,所以a-142(a-4), 所以a14到是以a42为首项、公比为的等比数列.则42（兮，所以ae14(台； 四e2时，因为a,r1=(a-2t2),所以a2m2=(a2r-22), 所以列是以a21为首项，公比为的等比数列.021台，所以之白， 1013 所以前2026项中偶数项的和为T1013 自]-台门os 1 1012 1012 1012 2026-2 =2024+ ,所以S2026=3T1013=6072+3×月 【数学试卷第8页共11页】 TBEDC·HF022 17.(本小题15分) 在独立性检验中，-48》 B ，其中A为列联表中第i行方列的实际频 2 P-0.3 数，B,为假定独立情况下由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数.取 3 4 P-0.7 pq2时，则有B1,1=0.3×0.4×10=1.2,B1,2=1.8,B2,1=2.8,B2.2=4.2.因此： P-0.4 P-0.6 =10 nad-be)2 -1.22-1.+⊙+H,=与2=件byatoch+oic+等 1.2 等价 1.8 2.8 示例表 (I)请完成该2×3列联表； (Ⅱ)求该2×3列联表的x最小值. 376 17.(1)见解析；()7 【难度】0.55 【知识点】卡方的计算、对勾函数求最值、完善列联表 【分析】(I)由已知，补全2×3列联表；（Ⅱ）并分别计算出每行、每列的实际频数，然后带入公式列 出关系式，借助5x+=70(x∈N*)的关系即可完成最值得求解： 【详解】(I)由已知，可将上述2×3列联表补充完整， 5x(x∈N) 30 1 1 30 25 45 2 5x+30 y+25 3 8 -200 200 200 2×3列联表 15x+30 (I)因为5++30=100，所以5+=706∈N*),B112200 5x+30 ·200= 1+25 ， B1.22200 200+25 2 175 15.x+30 1y+25 175 75 B1,3220 20-75 B212200 200-5+30 2， B2,22200 20025 2, B2.32200 200= 2 (5x 5xr+30 75 5x+30 2 ,307R302只 25- 叶 2)2(45 75 )2 十 一十 5r+30 +25 75 5x+30 +25 75 2 (r30 5x-30、 3(5x302y25 5x+30 +25 25x+30 叶25 2 2 5+30+H25+3,① 2 2 2 由5.x+y=70(x∈N*),设5x+30m(m∈N*),y+25=n∈N*),所以什=125(，n∈N*), 带入①式得：-3600,250 12=3600,2500 3600+25000rtm +3=3+mn 6100+(36002+2500m =3 n n m n 125 125 设函数0-3600+250，则该函数在区间0，单调递减，在区间(+ n 而因为m,n∈N*,所以当=70，=55时最接近最小值， 1002,52 故70,55时，8,30时，@式取得最小值，则X最小值为70+55376 77 TBEDC·HF022 【数学试卷第9页共11页】 18.(本小题17分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面BCC1B1内且满足 BP=λBC+uBB1,1∈[0,1]，u∈[0,1]. D O D B 第18题图 (I)当时， 求四面体QPBC的体积： (Ⅱ)试判断是否存在点P,使PO/平面BAD1,若存在，试求出PQ长度的最小值；若不存在，请说明 理由； 若+=1，试求AP4PQ的最小值. 18.(1)3;(Ⅲ)存在；V6;(V11+65 【难度】0.35 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】(I)根据三棱锥体积公式计算；（Ⅱ）应用线面平行及边长计算；皿)结合余弦定理计算， 【详解】(I)当F时，P是线段BC的中点， 1 2 此时点Q到平面BCCB的距离为2，所以Ve8c3×2×2×2×1= (I)取线段BB1的中点R,线段B1C1的中点S,当点P位于线段RS上时，QR/B1D1, D B1D1C平面B1AD1,QR4平面B1AD1,所以QR/∥平面B1AD1, 又RSAD1,AD1C平面B1AD1,RS对平面B1AD1,所以RS/平面B1AD1, 又RSOOR-R,RS,QRC平面QRS,所以平面QRSY/平面B1AD1, -r R P2C平面QRS,PO/平面B1AD1,此时有QR=2V2,QS-V6,RSV2, B QR2=OS2+RS2,所以△QRS为直角三角形，当P位于点S时，P0长度的最小值是V6 ()当+1时，点P位于线段CB1上，把平面ACB1翻折展开至平面OCB1, B Q 当点Q,P,A三点共线时，A叶PQ取最小值， 在△QB1C中，QB1=3,QC-V5,BC1=2W2, 由余效定理得合-9所秋0C A 又△MBC为等边三角形，所以在入1Q中，∠AAC于行所以o∠AACV6 4； 所以QA2=B1Q2+B142-2×B1Q×B1A× 2-V =11+6W3,所以QA=√11+6V5. 4 【数学试卷第10页共11页】 TBEDC·HF022 19.(本小题17分) 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲 线.图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为x3+3=1. 图1 图2 (I)在E上任取一点P,试求OP的最小值： (Ⅱ)在E上任取一点A,点B与点A关于直线=x对称，点C与点B关于y轴对称，则△AOC是等腰 直角三角形： Ⅲ)证明：若E上三点P,(cos30,sin30,)(=1,2,3)满足cos01+cos02+cos03sin01+sin02+sin030,则 c0s301+cos302+cos303=3cos(01+02+03) 19.(I);(I)答案见解析；四答案见解析 【难度】0.25 【知识点】已知函数最值求参数、由方程研究曲线的性质、向量在几何中的其他应用 【分析】(I)由两点间的距离公式及基本不等式，求得引OP的最小值；（Ⅱ）根据关于直线y一x对称和关 于y轴对称的点的特征，利用向量的模及夹角的坐标表示判断△AOC的形状；Ⅲ由单位圆及正三角形 的性质，得01,02，日3的关系 【详解】(I)设P(x,),则|OP=√x2+严，由对称性，只需要考虑xy>0的情形， 同(j-啡同(j护 当且仅当门时取等号，则OP的最小值为： (I)设A(x0,o),则B00,),C(0,x0),向量OA-(0o),OC-(0x), 显然OA,OC-xaVo+yoxo0-0,所以OA⊥OC,且|OA=OCl,所以△A0C是等腰直角三角形4 Ⅲ)在单位圆上取三点Q,(cos0,sin6)(=1,2,3), 9 则△Q1Q2Q3的外接圆即为该单位圆，点O为外接圆圆心 △9192Q3的重心为G /cos01+cos02+cos03 sin01+sine2+sin03 3 3 即(0,0)， 故△0，Q,Q,的外心与重心重合，△CC0,是正三角形，∠POP2∠B0P∠P,0P=3 π 不妨取0201+ 8,8则cos30,+og30os30,3os30,3cos(a+8+8）. TBEDC-HF022 【数学试卷第11页共11页】