精品解析：广西南宁市2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷

2026年4月高中毕业班教学质量调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 3. 已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 26 【答案】B 【解析】 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上， 所以，，于是. 因为，且， 所以. 4. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题，，则命题p的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图象列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 8. 已知曲线C的方程是．设过点的直线的倾斜角为，若直线与曲线C恰有3个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合圆和双曲线方程的特点，利用数形结合思想、导数的几何意义、分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，它表示双曲线的一部分； 当时，，它表示圆的一部分； 当时，，显然不成立，不表示任何曲线； 当时，，它表示双曲线的一部分， 所以曲线C的图象如下图所示： 两条双曲线的渐近线方程为， 当直线与平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点， 要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需， 当时，， 设切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为，把的坐标代入， 得， 切线的斜率为， 当直线与该切线平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点， 要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需， 综上所述：的取值范围是. 二、选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法，特殊值法，以及基本不等式判断选项. 【详解】A.，则，故A正确； B.若，则，不满足，故B错误； C.若，则，故C错误； D.因为，所以，所以， 即，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据奇偶性求出解；选项B，利用导数法求出单调性，利用单调性得到极大值；选项C，利用导数法求出单调性，利用单调性求出极值，结合极限得到值域；选项D，构造函数利用函数的最大值，单调性求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，有， 由题意可得， 因此，所以A错误. 当时，， 求导得， 因为，所以的符号由决定： 当时， ，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 因此在处取得极大值，所以B正确； 下面判断值域，由上面的单调性可知， 当时，， 所以时，函数值范围为， 当时，，求导得 所以是极小值点，且又 因此时，函数值范围为， 结合，函数的值域为不是，所以C错误. 最后判断D,令 函数的零点等价于方程的实根， 当时，时，的最大值，所以在上没有解， 在上，在区间单调递增，且函数值从增大到 因此对任意，方程在内恰有一个实根， 所以函数有个零点，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积是 C. 动点F的轨迹是一条线段 D. 若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 所以，平面平面 又平面平面, 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆心坐标为,根据、两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值.从而算出圆的圆心和半径，可得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为,点和在圆上， ，即，解之得，可得圆心为. 半径,圆的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，建立方程，属于基础题. 13. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为，则由可得， 故该圆锥的侧面积为. 14. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中，科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值（单位：相对能量单位，以基态能量为零点），存在实数a，b（），使得函数对应量子比特的能量损耗规律．已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点（对应量子比特的两个稳定工作状态）关于直线对称，且两个极值的和（对应两种稳定状态下的总能量损耗）为整数4，则a的值为______，b的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用极值点的定义可得，利用两个极值点关于直线对称可求得，将代入得，的定义域为，则根据方程有两个根且均大于可求得，利用韦达定理化简得，构造函数，利用导数即可求得a的值. 【详解】， 令，则， 设和是的两个极值点，，， 所以和是的两个解，所以， 由韦达定理得， 因为的两个极值点关于直线对称，所以， 所以，解得， 所以，和是的两个解， 所以，解得， 因为，，所以由二次函数性质可知，当时，， 即，解得，所以， 由韦达定理得，， ， ， ， ， ， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以是的唯一解，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB上的高CD． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系解得，再使用正弦定理即可求解； （2）根据面积求解，再利用余弦定理求得，再次使用面积即可求解. 【小问1详解】 根据,，可知： 因为，即， 所以，即; 【小问2详解】 ，解得， 则，解得， 则，代入，解得 16. 为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． （1）已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【小问1详解】 记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； 【小问2详解】 随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 17. 已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意解得参数的值，再计算在点处切线方程，根据点均在切线上可得，结合递推关系求得通项公式； （2）代入上一问所求结果求得，再结合分组求和和错位相减求得前项和； 【小问1详解】 对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 【小问2详解】 已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 18. 已知抛物线，其焦点为F，若M、N为抛物线C上两个动点，且到F的距离最小值为1，以M、N为切点分别作抛物线的互相垂直的两条切线． （1）求焦点F到准线的距离； （2）若平面上动点R满足，（O为原点），且，求点R的轨迹方程； （3）若抛物线上存在点S，满足，（，），且设的中垂线与x轴交于点T，求的面积的取值范围． 【答案】（1）2 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可得，即可得结果； （2）设直线，联立方程可得韦达定理，求切线方程结合题意可得，，可得点，利用消元法求点的轨迹方程； （3）根据题意结合韦达定理可得，再根据向量关系结合韦达定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 因为到F的距离，当且仅当时，等号成立， 则，解得， 所以焦点F到准线的距离为. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线，则， 由题意可知：直线的斜率不为0，设直线， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 由题意可知：在点处的切线方程的斜率不为0，设为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 可得点处的切线方程为，即， 设，可得在点处的切线方程为， 由题意可得，则， 即，可得，此时，符合题意， 可知直线过点，且，即， 设，则，，， 可得， 则，消去可得， 又因为在上单调递增，且，， 即在上的值域为，即， 所以点R的轨迹方程为，. 【小问3详解】 由（2）可得：直线，，， 则，， 可得， 且，，即线段的中点坐标为， 则的中垂线方程为， 令，可得，即， 则， 可得的面积， 由（2）可知：，， 则， 即，可得， 整理可得， 因为，， 可得， 且，可得， 整理可得， 即，可得， 即，可得， 整理可得， 当时，则，即； 当时，则， 令，则，， 可得， 若，不合题意； 若； 综上所述：，可得， 所以的面积的取值范围为. 19. 已知三棱柱中，，，，，，且D、E、F分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求的取值范围； （3）已知，若点I是四边形所在平面上的一个动点，且．求取最小值时三棱锥的体积． 【答案】（1）证明如下： 连接， 因为为平行四边形，且点为的中点，可知点为的中点， 又因为点为的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）设，以为基底向量，结合向量的数量积运算可得，结合函数单调性分析求解； （3）分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质可得取最小值时，再利用转化顶点法求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，设，则，， 则，，， 又因为，，， 则 ， ， 则， 令，，则， 可知在内单调递增，且，， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为，即， 且，则， 在平面内，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设， 因为，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则， 因为， 则 ， 即，则， 由（2）可知在内单调递增，则的最小值点为， 当时，取到最小值，此时，，，， 设点在底面的投影为，， 则， 可得， 即，解得，则， 可得 ， 即，所以三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月高中毕业班教学质量调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 26 4. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题，，则命题p的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线C的方程是．设过点的直线的倾斜角为，若直线与曲线C恰有3个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积是 C. 动点F的轨迹是一条线段 D. 若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______. 13. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 14. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中，科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值（单位：相对能量单位，以基态能量为零点），存在实数a，b（），使得函数对应量子比特的能量损耗规律．已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点（对应量子比特的两个稳定工作状态）关于直线对称，且两个极值的和（对应两种稳定状态下的总能量损耗）为整数4，则a的值为______，b的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB上的高CD． 16. 为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． （1）已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 17. 已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 18. 已知抛物线，其焦点为F，若M、N为抛物线C上两个动点，且到F的距离最小值为1，以M、N为切点分别作抛物线的互相垂直的两条切线． （1）求焦点F到准线的距离； （2）若平面上动点R满足，（O为原点），且，求点R的轨迹方程； （3）若抛物线上存在点S，满足，（，），且设的中垂线与x轴交于点T，求的面积的取值范围． 19. 已知三棱柱中，，，，，，且D、E、F分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求的取值范围； （3）已知，若点I是四边形所在平面上的一个动点，且．求取最小值时三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $