精品解析：广西南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学试题

南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试 数 学 注意事项： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模公式及复数除法法则，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得. 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据集合交并补运算即可得到答案. 【详解】对于集合，由得，所以或， 所以． 故选：D． 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值. 【详解】假设等差数列的公差为，由得, 所以，所以，故， 则 则． 故选：C． 5. 若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（ ） A. 1或8 B. 1或9 C. 2或8 D. 2或9 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程得出其准线方程，再结合点到准线及对称轴的距离列出关于的方程，进而求解． 【详解】设点的坐标为，已知点到对称轴的距离为，因为抛物线的对称轴为轴，所以，则．  因为点在抛物线上，所以，把代入可得，则．  抛物线的准线方程为，已知点到准线的距离为，所以． 把代入可得．  去分母，得到．解得或．  故选：B． 6. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数，得到奇偶性，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】令，定义域为R, 且，则为偶函数, 由于曲线与恰有一个交点,则只有唯一的零点，即，解得. 故选：D. 7. 过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，求导得到斜率表达式，得到方程，解出切点即可得到距离. 【详解】依题意，设，由， 则， 则， 化简得，解得，故， 故． 故选：B． 8. 如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】解：设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形可得， 于是， 又，所以， . 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的外接圆的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数可求得，故A正确；因为为边的中线，结合平面向量的几何关系，可求得，进而可判断B错误，C正确；由余弦定理，可求得，再结合正弦定理，可求得的外接圆半径，进而可求得其面积，故D正确. 【详解】由，根据正弦定理得，， 整理得，因为 ， 所以得，解得，故A正确； 因为为边的中线，所以，整理得，即， 又，解得或（舍）， 所以，故B错误； ，故C正确； 根据余弦定理，，即，解得，又由正弦定理得，解得， 所以的外接圆的面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面ABP C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面DPB 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：若，先利用面面平行性质得，进而推出平面，同理证平面，再由线面平行判定得平面平面，所以平面.对于B选项：若，由且得，运用线面垂直判定得到平面 .对于C选项：先以D为原点建立空间直角坐标系，确定各点坐标.接着假设与平行，根据向量平行性质列出等式，解方程即可.对于D选项：先根据已知得出点坐标，进而得到向量、、.然后设出并求解平面的法向量，通过向量平行关系列出等式，求解即可. 【详解】对于A选项，若，则， 则点在线段上，如图．因平面平面， 且平面平面，平面平面，故， 因平面平面，故平面， 同理可证平面，因平面平面，且， 故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项，若， 则（为的中点）如下图，又因为，所以． ，又因为平面，平面，故B正确； 对于选项，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 因为，，，所以， 则点的坐标为.若，则，，. 假设存在，使，则存在实数，使得，即， 可得，此方程无解，所以不存在，使，选项错误. 对于选项，若，则，，，. 设平面的法向量为，则，即， 由得，代入得， 即，，令，则，，所以. 若平面，则与平面的法向量平行，即存在实数，使得，， 可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，选项正确. 故选：ABD． 11. 已知直线与椭圆交于A、B两点，、分别为椭圆的左、右焦点，M、N分别为椭圆的左、右顶点，关于直线l的对称点Q在椭圆上，则（ ） A. B. 若椭圆的离心率为，则直线MA，MB的斜率之积为 C. 若直线BQ平行于x轴，则 D. 若，则椭圆的离心率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据三角形中位线即可得解；对于B，设，，接着利用，找出斜率与离心率关系，结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解. 对于D，若，设关于直线的对称点，直曲联立，解得，.将点坐标代入椭圆方程，得到，结合，求出即可得解. 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，由题意可知是中位线，故，故A正确； 对于B，设，则，且即，且， 所以，故B错误； 对于C，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即，因此，故C正确. 对于D，若，设关于直线的对称点，则，解得，. 因为在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，即， 又，化简可得. 等式两边同时除以，设，则，解得或（舍去），所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】二项展开式通项为， 则其，，则的展开式中的系数为. 故答案为：2. 13. 已知圆柱M的底面半径为3，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据体积公式得到方程，解出，再利用勾股定理得到外接球半径即可. 【详解】圆柱的体积为， 设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为， 则，故，解得，所以圆锥的高， 画出圆锥的轴截面对应的三角形BCD如下图所示， 则图中，圆锥的外接球半径为， ， 则，解得． 故圆锥的外接球表面积为． 故答案为： 14. 某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三个社区进行志愿者服务，要求每个社区都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社区，则不同的安排方式有__________种．（用数字作答） 【答案】62 【解析】 【分析】对去社区分1个人、2个人和3个人讨论即可. 【详解】因为甲和乙都不能去A社区，对A社区去的志愿者人数进行分类讨论： 若去社区只有1个人，有3种情况，然后将剩余4人分为两组，再将这两组分配给两个社区， 此时有种不同的安排方式； 若去社区有2人，有种情况，然后将剩余3人分为两组， 再将这两组分配给两个社区，此时有种不同安排方式； 若去社区有3人，只需将甲，乙两人分配给社区即可，每个社区1个人，此时有种不同的安排方式． 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种． 故答案为：62. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程，及点在双曲线上，可联立求得，，可得双曲线方程； （2）由题意，写出直线的方程，与双曲线联立，可求得，数形结合，可得的面积． 【小问1详解】 已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，故其标准方程为， 又其渐近线方程为，即①， 又点在双曲线上，代入得②， 联立①②，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 直线过点且倾斜角为，故其方程为， 将其代入双曲线方程，联立得，化简得， 解得和，代入直线，求得和， 即直线与双曲线的交点， 所以. 16. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先解出，再降次作差因式分解得，则，再利用等差数列通项公式即可； （2）先求出，再利用等比数列求和公式即可得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，得，所以． 当时， 联立，两式相减可得： ，化简得， 因为，所以， 故数列是以，公差的等差数列，所以； 【小问2详解】 由，得，即， ， 是以4为首项，8为公比的等比数列， 所以. 因为，即，即， 所以． 17. 等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）．将沿折起到的位置，点O，F分别为的中点（如图2）． （1）求证：平面平面； （2）如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为且，故四边形是平行四边形，则， 又为等腰梯形且，可得是等边三角形． 故四边形BCEA为菱形，是等边三角形， 因为为中点，所以，同理可证． 又，且平面，所以平面， 又BE在平面BCDE内，所以平面平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用三线合一得，，再根据面面垂直的判定定理即可. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量，根据线面位置关系的空间向量的证明方法即可求出的位置，再利用面面角的空间向量求法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点P，使得平面， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又，建立以为原点，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为， 则， 设， 则， 设平面的一个法向量，则， 即，令，则， 要使平面，则，即，解得， 故在侧棱上存在点，使得平面， 此时，， 设平面的一个法向量，则， 即，令，则，即， 设平面与平面夹角为，所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利． （1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率； （2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率； （3）求甲成为最终获胜者的概率． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）分甲连胜两局、乙连胜两局、甲胜第一局乙连胜后两局和乙胜第一局甲连胜后两局计算概率即可； （2）合理假设事件，利用独立性乘法公式以及互斥事件加法公式和条件概率公式即可得到答案； （3）分别计算不同状态下甲乙守擂成功的概率，从而得到方程组，解出即可. 【小问1详解】 甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为， 乙连胜两局，概率为； 甲胜第一局乙连胜后两局，概率为； 乙胜第一局甲连胜后两局，概率为； 设事件A为比赛在前三局内结束，则； 答：比赛在前三局内结束的概率为. 【小问2详解】 设事件为比赛在第四局结束，设事件为甲最终获胜，设事件为乙最终获胜． 则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局， 故. 比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为， 故； 故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率； 答：比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为. 【小问3详解】 定义：状态：当前擂主为甲，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前播主为甲，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前播主为乙，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前擂主为乙，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为． 当状态为时，甲守播成功（概率为0.6），进入状态；甲失败（概率为0.4），进入状态， 可得，， 当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6），比赛结束；甲失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），进入状态；乙失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），比赛结束；乙失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 综合以上四个方程，可解得，． 又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5，故甲成为最终获胜者的概率. 19. 对于正整数n，定义函数，函数的导函数记为． （1）求函数在区间上的零点； （2）证明：当n为奇数时，函数在区间上至少存在2个极值点； （3）证明：对于任意实数x，有，并指出等号成立时x的取值． 【答案】（1）； （2）证明如下： 方法一：依题意，对函数求导，得：， 当时， 当时，又为奇数，故， 由零点存在性定理，则存在使得且为极大值点． 又 函数在区间连续且一个对称中心为． 故存在为的极小值点，故在至少存在2个极值点． 方法二：． 取， ， 由零点存在定理，使得，且均为变号零点， 则在至少存在2个极值点. （3）证明如下： 由(2)知， 由于， 可得， 等号成立当且仅当所有的符号一致且， 此时，解得，则， 或，解得，， 综上或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再求出其零点即可； （2）方法一：求导得，根据零点存在性定理分析其有这样的极大值点，再利用对称性得到其极小值点；方法二：直接求导后再合理赋值利用零点存在性定理即可得到其有两极值点； （3）根据（2）中的结论得，从而有，再说明取等时的取值即可. 【小问1详解】 依题意 . 令，即或或， 解得函数在区间的零点为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试 数 学 注意事项： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（ ） A. 1或8 B. 1或9 C. 2或8 D. 2或9 6. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的外接圆的面积为 10. 在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面ABP C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面DPB 11. 已知直线与椭圆交于A、B两点，、分别为椭圆的左、右焦点，M、N分别为椭圆的左、右顶点，关于直线l的对称点Q在椭圆上，则（ ） A. B. 若椭圆的离心率为，则直线MA，MB的斜率之积为 C. 若直线BQ平行于x轴，则 D. 若，则椭圆的离心率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为__________． 13. 已知圆柱M的底面半径为3，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为__________． 14. 某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三个社区进行志愿者服务，要求每个社区都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社区，则不同的安排方式有__________种．（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 16. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围． 17. 等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）．将沿折起到的位置，点O，F分别为的中点（如图2）． （1）求证：平面平面； （2）如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由． 18. 甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利． （1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率； （2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率； （3）求甲成为最终获胜者的概率． 19. 对于正整数n，定义函数，函数的导函数记为． （1）求函数在区间上的零点； （2）证明：当n为奇数时，函数在区间上至少存在2个极值点； （3）证明：对于任意实数x，有，并指出等号成立时x的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $