精品解析：宁夏吴忠市滨河中学2026届高三第二次模拟考试数学试题

吴忠市滨河中学2026届高三第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 5. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上恰有5个不同的x值使其取到最值，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 10. 已知F是抛物线的焦点，不过原点的直线l与抛物线相交于A、B两点，则下列说法正确的是（　　） A. 若直线l过点F，则的最小值为2 B. 若直线l过点F，点A在第一象限，，则直线AB的倾斜角为 C. 若，线段AB的中点为M，则M到y轴的距离最小值是2 D. 若直线l过点F，则原点在以线段为直径的圆内 11. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 的展开式的第三项的系数是__________． 13. 已知，则_______ 14. 设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． （1）求面试号码为3的学生来自A校的概率； （2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； （3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 18. 已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； （3）求证：（其中）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市滨河中学2026届高三第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 3. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， ，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； B选项，因为，根据对称性可知， 故，B正确； C选项，已知经验回归方程为，且，则， 解得，C正确； D选项，，故不能得到此结论，D错误 故选：D 5. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 6. 已知函数在上恰有5个不同的x值使其取到最值，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得，求解即可． 【详解】当时，， 又在上恰有5个不同的x值，使其取到最值； 所以，所以，则正实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将，，通过构造函数看成两函数交点的横坐标，数形结合比较大小即可. 【详解】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得． 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 10. 已知F是抛物线的焦点，不过原点的直线l与抛物线相交于A、B两点，则下列说法正确的是（　　） A. 若直线l过点F，则的最小值为2 B. 若直线l过点F，点A在第一象限，，则直线AB的倾斜角为 C. 若，线段AB的中点为M，则M到y轴的距离最小值是2 D. 若直线l过点F，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得M到y轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点M作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确. 【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组，整理得， 则，所以， 所以，所以的最小值为，所以A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点A在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为M是线段的中点，所以， 所以M到y轴的距离是2； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为M是线段的中点，所以，即M到y轴的距离大于2， 综上可得，所以M到y轴的距离最小值是2，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 过点的中点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆内，所以D正确. 11. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，即可求得的取值范围. 【详解】连接、，如图， 由动点关于圆心对称可得，且， 因为点在正六边形的边上运动，且正六边形的边长为， 所以当点位于正六边形各边的中点时，此时取最小值为， 当点位于正六边形的顶点时，此时取最大值为， 所以, 所以， 因此， 因为、，，，故符合题意的有B、C. 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 的展开式的第三项的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用通项，直接展开求解即可． 【详解】的展开式的第三项是， 故答案为：． 13. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式转化求解即可. 【详解】，则，有， ，解得. 14. 设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，转化不等式为，利用函数单调性求参数范围即可. 【详解】令，则，是上的奇函数． 又当时，， 所以在上单调递减，又是上的奇函数． 所以是上的减函数． 由 故等价于， ， 所以，解得 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 16. 如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为内接于圆，为圆的直径，所以． 因为平面，平面， 所以． 又，平面，， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】第（1）问利用直径所对圆周角是直角和线面垂直的性质，先证线线垂直再证线面垂直，最后推出面面垂直； 第（2）问建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算两个平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，． 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则，，，， 所以，． 设平面的法向量，由得 不妨设，则， 所以平面的一个法向量． 又，， 设平面的法向量， 由得 不妨设，则，， 所以平面的一个法向量． 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为． 17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． （1）求面试号码为3的学生来自A校的概率； （2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； （3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 【答案】（1）； （2） 15 20 25 30 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出面试号码为3的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为3的学生来自A校的事件所含样本点个数即可. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. （3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率. 【小问1详解】 面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果， 所以面试号码为3的学生来自A校的概率为. 【小问2详解】 令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则， 可得的所有可能取值为，的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 15 20 25 30 数学期望. 【小问3详解】 依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件， 而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件， 与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥， 而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件； 而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有， 所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为. 18. 已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由点到直线的距离求出，即可求出； （2）设直线，联立椭圆方程，结合即可求解； （3）设，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）得，设，直线． 由，得，显然， 所以 则， 设，则，（当且仅当时取等号，此时）， 所以的面积的最大值为． 【小问3详解】 设，则，， 由（2）可得 ， 所以 ， 依题意可得，解得，所以存在定点，使得为定值. 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； （3）求证：（其中）． 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）知：，则， 不等式，即， 即，其中， 设，可得，且，不等式即为， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，所以， 所以. （3）证明如下： 由（2）知：，又， 则，其中，化简得， 令，则， 所以， 由等比数列的前项和公式，可得， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）可得，设，得，令，求得，得到单调性和最大值，得到，即可得证. （3）由（2）化简得到，令，得到，结合对数的运算法则和等比数列的求和公式，即可得证. 【小问1详解】 由函数，可得， 则且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $