精品解析：北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷

北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷 考生须知 1.本试卷有四道大题，共11页．考试时长120分钟，满分110分． 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴长为4，5，6的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴长为5，6，7的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴长为6，7，8的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是在一个变化过程中有两个变量，当给一个值时，有唯一的值与其对应，逐一判断即可． 【详解】解：A：当取一个值时，可以有两个值与其对应，故A不是函数； B：当取一个值时，只有一个值与其对应，故B是函数； C：当取一个值时，可以有两个值与其对应，故C不是函数； D：当取一个值时，可以有两个值与其对应，故D不是函数； 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 4. 一个n边形的每一个外角都是60°，则n等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键． 【详解】∵n边形的每一个外角都是60°， ∴此n边形是正n边形， n＝360°÷60°＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 6. 若直角三角形的两条直角边的长度为5、12，则斜边上的高是（ ） A. B. 13 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理先求出直角三角形的斜边长，再通过等面积法计算斜边上的高即可． 【详解】∵直角三角形的两条直角边长度为5和12， ∴根据勾股定理，斜边长为， 设斜边上的高为， ∵直角三角形的面积可以表示为两直角边乘积的一半，也可以表示为斜边乘斜边上高的一半， 两种方式计算的面积相等， ∴， 解得． 7. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 8. 如图，中，是边上一点，连接，，分别是，的中点，连接，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定与性质、三角形中位线定理，灵活运用垂直平分线的性质和中位线定理是解题的关键．根据 “过线段中点且垂直于该线段的直线是线段的垂直平分线”，可判定垂直平分，进而得到；再利用三角形中位线定理，即可求出的长度． 【详解】解：是中点且， 垂直平分， ， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：． 9. 如图，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，从而得出，，当为的中点时，由勾股定理求出长度． 【详解】解：∵点是从点出发的，为初始点，观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，而从向移动的过程中，是不断减少的， ∴转折点为点，运动到点时，即时，，此时， 即，，，， ， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 当点为中点时，， ． 10. 如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数得到． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案是：． 12. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 14. 如图，在中，为中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：，，， ． 为中点， ． 15. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列函数关系式．根据地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴山上距离地面竖直高度千米处的温度为，． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B 的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先作轴，作轴，于点F，点B作，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∴． ∵点A， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17. 第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为______． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 18. 甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 【答案】 ①. 35 ②. 75 【解析】 【分析】（1）根据图中的信息和等量关系，列方程求出和的值，再计算即可； （2）先求出甲乙的路程，计算即可． 【详解】解：（1）由图1可知，当时，，， 则，解得， 由图1可知，当时，甲乙的速度相等， 则，解得， ； （2）当时间为时，甲的路程为，乙的路程为， 甲乙两车之间的距离． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质先化简各二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用乘法分配律展开式子，再根据二次根式的乘法法则进行计算； （3）利用平方差公式进行二次根式的乘法运算； （4）利用完全平方公式展开式子，再根据二次根式的乘法法则进行计算并合并同类项． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 20. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？”译成数学问题是：如图所示，在中，，，，求AC的长为多少尺？（说明：） 【答案】尺 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：1丈尺， 设， ， ． 在中，， ，即． 解得：， 即尺． 21. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 22. 下面是某同学设计的“利用相交线制作矩形”的尺规作图过程． 已知：直线与直线相交于点． 求作：矩形． 作法：①以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点A、C，交直线于点B、D；②连接．所以四边形为所求的矩形． 根据设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ∴四边形为平行四边形（___________）．（填推理的依据） ， ∴四边形为矩形（___________）．（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据平行四边形的判定定理和矩形的判定定理可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：证明：， ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．（填推理的依据） ， ∴四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 23. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 【答案】（1） 如图，矩形即为所求； （2） 如图，平行四边形即为所求； （3） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论； （2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论； （3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，且 则正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 24. 如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证四边形是菱形，先根据等腰三角形三线合一得、，结合证其为平行四边形，再由证得菱形； （2）求菱形面积，先利用菱形性质、直角三角形性质求出和的长，再用菱形面积公式计算． 【小问1详解】 证明：，平分于点， ，． ， 四边形是平行四边形． ，点在的延长线上， ， 是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ． ，， ． 在中，， ， ． 由勾股定理，， ， ． ， ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ）和性质、等腰三角形三线合一、直角三角形中角所对直角边与斜边关系等是解题的关键． 25. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）在温度为__________时两款电池相对容量相同； （3）在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 （4）小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据画图即可； （2）（3）根据表格中的数据可得答案； （4）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由表格中的数据可得，在温度为时两款电池相对容量相同； 【小问3详解】 解：由表格中的数据可知，或下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； 小问4详解】 解：小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由如下： 由函数图象可知，在温度较低时，1号磷酸铁锂电池的容量相对于2号锰酸锂电池的容量大，故考虑到续航持久性，应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车． 26. 在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． （1）当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； （2）当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 【答案】（1）见解析； （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，设交于点K，由矩形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，由三角形中位线定理得到；由勾股定理得到；取的中点L，连接，则；；根据，可得； （2）①延长到点G，使得，连接，可证明，得到；证明，得到，则，即可证明C、F、G三点共线，再由直角三角形的性质可得结论；②由正方形的性质得到；取的中点P，连接，同理可得，根据，可得当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：补全图形如下所示， 连接，设交于点K， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为的中位线， ∴； 在中，； 如图所示，取的中点L，连接， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：①，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴点O是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、F、G三点共线， 在中，， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，取的中点P，连接， 同理可得， ∵， ∴当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 四、选做题（本大题共2小题，共10分） 27. 对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． （1）___________； ___________． （2）若 ，则的最大值为___________． 【答案】（1）；3 （2）98 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出，则，再估算出，可得 ； （2）根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则可求出，据此可得到答案． 【小问1详解】 解：（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ……， 以此类推可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵ ，且， ∴，且n为正整数 ∴的最大值为98． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． （1）若： ①在中，正方形关于点的“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，则，，，，再判断点与正方形的位置关系，再结合“位移点”的定义即可判断；②根据题意，正方形的边长为2，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；连接、，根据“位移点”的定义可知，点在六边形的内部或边上，再进一步分析求出的长的最小值和最大值，即可得出答案； （2）利用待定系数法可得线段的解析式为，设点的坐标为，其中，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，，进而得出正方形的对角线长为，根据“点G、H为正方形关于点的“位移点”，且”，可知线段为正方形的对角线，再分4种情况讨论点G、H的位置，根据勾股定理列出方程，求出和的关系（或的值），即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①若，则，，，， ∵点， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，如图： ∴，，，， ∵点在正方形的内部， ∴点是正方形关于点“位移点”； ∵在正方形的外部， ∴点不是正方形关于点的“位移点”； ∵在正方形的边上， ∴点是正方形关于点的“位移点”； 综上，正方形关于点的“位移点”是、； ②由题意得，正方形的边长为2， ∵点、， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 如图，连接、， ∵在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”， ∴点在六边形的内部或边上， 当点在线段上，且时，的长有最小值，记此时点为， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵点在线段上，， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴的长有最小值； ∵，，， ∴，， ∴， 由图象可知，当点与点或点重合时，的长有最大值； 综上，的长的取值范围为； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵正方形的四个顶点分别为，，，， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，， ∴， 即正方形的边长为2， ∴正方形的对角线长为， 又∵点G、H为正方形关于点的“位移点”，且， ∴线段为正方形的对角线； ①当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， ∵为以点为直角顶点的直角三角形，即， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ②当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； ③当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ④当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷 考生须知 1.本试卷有四道大题，共11页．考试时长120分钟，满分110分． 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 2. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个n边形每一个外角都是60°，则n等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若直角三角形的两条直角边的长度为5、12，则斜边上的高是（ ） A. B. 13 C. D. 7. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 8. 如图，中，是边上一点，连接，，分别是，的中点，连接，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______． 12. 比较大小：______ 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 14. 如图，在中，为中点，连接，则的长为___________． 15. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B 的坐标为__________． 17. 第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为______． 18. 甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？”译成数学问题是：如图所示，在中，，，，求AC的长为多少尺？（说明：） 21. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF平行四边形． 22. 下面是某同学设计的“利用相交线制作矩形”的尺规作图过程． 已知：直线与直线相交于点． 求作：矩形． 作法：①以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点A、C，交直线于点B、D；②连接．所以四边形为所求的矩形． 根据设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ∴四边形为平行四边形（___________）．（填推理的依据） ， ∴四边形为矩形（___________）．（填推理的依据） 23. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 24. 如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 25. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）在温度为__________时两款电池相对容量相同； （3）在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 26. 在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． （1）当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； （2）当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 四、选做题（本大题共2小题，共10分） 27. 对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． （1）___________； ___________． （2）若 ，则的最大值为___________． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． （1）若： ①在中，正方形关于点“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $