精品解析：宁夏回族自治区银川九中教育集团初中部2025——2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷

银川九中教育集团初中部2025-2026学年第二学期八年级 期中考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、单选题（每题3分，总计24分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 4. 下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 若两个角相等，则这两个角是对顶角 C. 等角对等边 D. 如果，那么 5. 如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 七点五折 D. 八折 7. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒 二、填空题（每题3分，总计24分） 9. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．正六边形的每个内角的度数是___________． 10. 在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 11. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，点在第四象限，则的取值范围是__________； 13. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 14. 如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 15. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是_______． 16. 如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 三、解答题（总计72分） 17. 下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式： 解：去分母，得……① 去括号，得……② 移项、合并同类项，得……③ 两边都除以、，得……④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； （2）请直接写出正确的结果； （3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，还需注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为．平移，使点A的对应点的坐标是． （1）请在图中画出平移后的； （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为_________． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 22. 已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．链接AD，求证：DE＝DF． 23. 某博物馆为提升游客体验，计划购进、两种型号的智能导览机器人为游客提供展品讲解、信息查询等服务．经调查发现，型号的智能导览机器人的单价比型号的智能导览机器人的单价高2万元，2台型号的智能导览机器人比3台型号的智能导览机器人便宜0.8万元． （1）求、两种型号的智能导览机器人的单价； （2）若该博物馆计划购进、两种型号的智能导览机器人共10台，预算金额不超过65万元，则该博物馆最多可以购进多少台型号的智能导览机器人？ 24. 如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 25. 为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． （1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式； （2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 26. 课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______． 3拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中教育集团初中部2025-2026学年第二学期八年级 期中考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、单选题（每题3分，总计24分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 4. 下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 若两个角相等，则这两个角是对顶角 C. 等角对等边 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了逆命题，平行线的判定，顶角相等，等边对等角，不等式的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先写出各个选项中命题的逆命题，然后判断真假即可 【详解】A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，故A不符合题意； B、逆命题为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，正确，故B不符合题意； C、等边对等角，正确，故C不符合题意； D、逆命题为如果，那么， 有可能， 例如，，满足，但， 因此命题的逆命题不成立，故D符合题意． 故选：D． 5. 如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 6. 新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 七点五折 D. 八折 【答案】C 【解析】 【分析】设商品打折销售，根据售价、进价和利润率的关系建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设商品打折销售， 由题意得：， 解得， 所以商品最多可打七点五折． 7. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象进行解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故不等式解集为． 8. 如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．分两种情况：①当时，②当时，根据含的直角三角形的性质，得到关于的方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即， 解得：； ②当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即 解得：， 综上，的值是秒或秒． 故选：C． 二、填空题（每题3分，总计24分） 9. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．正六边形的每个内角的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式及正多边形每个内角都相等即可求解． 【详解】解：正六边形的每个内角的度数是． 10. 在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，计算平移后点的坐标即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为，即． 11. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，点在第四象限，则的取值范围是__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据第二象限及第四象限内点的坐标特点列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第四象限， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 【答案】55 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到 ∴，， ∵， ∴ ∴∠A=55°． 故答案为：55 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 14. 如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 【答案】14 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 15. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是_______． 【答案】a＞1 【解析】 【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集： 【详解】解：由题意可得1﹣a＜0， 移项得，﹣a＜﹣1， 化系数为1得，a＞1， 故答案为：a＞1． 16. 如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，先求出，再求出，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，的面积为， ∴，即， ∴， ∵平分，且，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为． 三、解答题（总计72分） 17. 下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式： 解：去分母，得……① 去括号，得……② 移项、合并同类项，得……③ 两边都除以、，得……④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； （2）请直接写出正确的结果； （3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，还需注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议． 【答案】（1）不等式的性质，④，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向没有改变 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中的解答过程可知：第①步中“去分母”的依据是分式的基本性质；第④步有错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变； （2）解出不等式，即可得到不等式的解集； （3）答案不唯一，写出的建议合理即可． 【小问1详解】 第①步中“去分母”的依据是分式的基本性质；第④步有错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：分式的基本性质；④；不等式两边同时除以-7时，不等号的方向没有改变； 【小问2详解】 ． 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 本题答案不唯一，建议一：去分母时，要每一项都乘分母的最小公倍数； 建议二：去括号时，要注意变号问题，如果括号前是负号，去括号时括号内每一项都要变，如果括号前是正号，去括号时，括号内的每一项都不变号． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 把解集表示在数轴上如下： ． 19. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据旋转可得，，，根据勾股定理求出，再求出即可． 【详解】解：根据旋转可得，，， ∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为．平移，使点A的对应点的坐标是． （1）请在图中画出平移后的； （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为_________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据平移的性质画图即可； （2）先根据中心对称的性质画图，再根据连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心解答即可． 【小问1详解】 解：∵平移后，点的对应点的坐标是， ∴平移方式是：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 画出平移后的如图所示： ． 【小问2详解】 解：画出关于原点中心对称的如图所示： ∵与关于原点中心对称，且， ∴， 又∵和关于某一点中心对称，且， ∴这一点为的中点，其坐标为，即． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，然后求出，最后根据角平分线的性质即可得证； （2）先利用含的直角三角形性质求出，然后在中利用勾股定理求得，进而根据（1）的结论求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 22. 已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．链接AD，求证：DE＝DF． 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，中线AD平分∠BAC，并且AD=BC，则∠BAD=∠C，AD=DC，又EA=CF，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质即可得到结论． 试题解析：连接AD，如图， ∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点， ∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°， ∴∠EAD=∠C=45°， 在△ADE和△CDF中 ， ∴△ADE≌△CDF， ∴DE=DF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：如果两个三角形中有两组对应边相等，并且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形性质． 23. 某博物馆为提升游客体验，计划购进、两种型号的智能导览机器人为游客提供展品讲解、信息查询等服务．经调查发现，型号的智能导览机器人的单价比型号的智能导览机器人的单价高2万元，2台型号的智能导览机器人比3台型号的智能导览机器人便宜0.8万元． （1）求、两种型号的智能导览机器人的单价； （2）若该博物馆计划购进、两种型号的智能导览机器人共10台，预算金额不超过65万元，则该博物馆最多可以购进多少台型号的智能导览机器人？ 【答案】（1）型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元 （2）该博物馆最多可以购进8台型号的智能导览机器人 【解析】 【分析】（1）设型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该博物馆购进台型号的智能导览机器人，则购进台型号的智能导览机器人，根据题意建立一元一次不等式，结合为正整数，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：设型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得， 答：型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元． 【小问2详解】 解：设该博物馆购进台型号的智能导览机器人，则购进台型号的智能导览机器人， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为8， 答：该博物馆最多可以购进8台型号的智能导览机器人． 24. 如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 25. 为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． （1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式； （2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】（1）；（2）当时，手机支付比较合算；当时，两种方式都一样；当时，会员卡支付比较合算； 【解析】 【分析】（1）设，代入点的坐标求解即可； （2）求出会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式，两者比较即可求解． 【详解】解：（1）设，将点、代入得： ，解得，即 故手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为 （2）设会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式为 将代入得，，即 令，解得 由图像可得，当时，手机支付比较合算； 当时，两种方式都一样； 当时，会员卡支付比较合算； 【点睛】此题考查了一次函数和正比例函数的应用，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的有关性质． 26. 课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______． 3拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解； （2）根据（1）的结论整理计算即可得解； （3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解； （4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解． 【详解】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB） =360°-（180°-∠A） =180°+∠A； （2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C， ∴∠2-∠C=50°； （3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A， ∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）， 在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A； 即∠P=90°-∠A； 故答案为50°，∠P=90°-∠A； （4）延长BA、CD于Q， 则∠P=90°- ∠Q， ∴∠Q=180°-2∠P， ∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q， =180°+180°-2∠P， =360°-2∠P． 【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $