精品解析：河南省灵宝市2025-2026学年下学期期中学情调研 八年级数学试卷

2025-2026学年下期期中学情调研 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 2 D. 1 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，生物课堂中，同学们在显微镜下观察某树叶的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 8. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. cm 9. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 计算： =__ 11. 如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 12. 如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作： （1）测量得出的中点E； （2）连接并延长到，使得； （3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是________． 13. 如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 14. 如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为_______时，为直角三角形． 三、解答题：（共75分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段． （2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形． 17. 帐篷的长，其横截面是一个底边长，高的等腰三角形．制作此帐篷（不包含底面）至少需要用多少平方米布料? 18. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 19. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20. 已知：如图，在菱形中，，分别是，上的点， （1）如图1，若；求证：； （2）如图2，若，，求的度数． 21. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：__________； （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接． ①四边形_____损矩形（填“是”或“不是”）； ②当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期中学情调研 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 2. 若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、除法、平方根性质和乘法公式，解题的关键是需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意． B．，错误，不符合题意． C．，正确，符合题意． D．，错误，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ，  ，  ， 即木板的长为 ． 5. 如图，生物课堂中，同学们在显微镜下观察某树叶的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式计算即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由图可知，该多边形是六边形， ∴该多边形的内角和是， 故选：． 6. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 7. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 8. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1，2中，连接AC． 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90°， ∵AC=40cm， ∴AB=BC=cm， 在图1中，∵∠B=60°，BA=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=cm 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF=OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OP=BC， ∵AC=， 则BC=2， ∴OP=1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 计算： =__ 【答案】 【解析】 【详解】原式==． 【方法点睛】主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．除法法则=（a＞0，b≥0）． 11. 如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质得出，，，，且，，，，进而得出，，即可得出答案． 【详解】解：、、、分别是四边形各边的中点， ∴，，，，且，，，， 对角线的长都是， ，， 四边形的周长是：． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出，是解题关键． 12. 如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作： （1）测量得出的中点E； （2）连接并延长到，使得； （3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为矩形， 故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形． 【点睛】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 13. 如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 【答案】 ##3厘米 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用折叠的性质得出，设长为，在中利用勾股定理列方程求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ． 14. 如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为_______时，为直角三角形． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，先求出，则由勾股定理得，依题意得，则，再由得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时；②当时，由矩形性质及勾股定理列方程求解即可得的值．熟练运用矩形的性质、勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ， ∵为边上一点，， ， 在中，由勾股定理得， 依题意得， ， ， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时， 过点作于点，如图1所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：； ②当时，如图2所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 解得：； 综上所述：当为或6时，为直角三角形， 故答案为：或6． 三、解答题：（共75分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：        ； 【小问2详解】 解： ． 16. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段． （2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形． 【答案】（1）如图①线段即为所求线段； （2）如图②中的三角形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答； （2） 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，即可解答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是确定直角三角形的直角边长后根据边长画出所求的线段和三角形． 17. 帐篷的长，其横截面是一个底边长，高的等腰三角形．制作此帐篷（不包含底面）至少需要用多少平方米布料? 【答案】制作此帐篷（不包含底面）至少需要用20.4平方米布料 【解析】 【分析】勾股定理求出等腰三角形的腰长，即长方形的宽，再求出面积即可. 【详解】解：由题意，等腰三角形的腰长为，即长方形的宽为， （平方米）； 答：制作此帐篷（不包含底面）至少需要用20.4平方米布料. 18. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 19. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 20. 已知：如图，在菱形中，，分别是，上的点， （1）如图1，若；求证：； （2）如图2，若，，求的度数． 【答案】 （1）四边形为菱形， ， 又 ． （2）20° 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可判断出△ABE≌△ADF，即可得到结论． （2）连接AC，则可将菱形分成两个全等的等边三角形，从而得到，然后得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）连结． 四边形为菱形， ，． 与为等边三角形 ， ， ， ， 为等边三角形 ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，以及等边三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据题意条件得出(构造)全等三角形并证明． 21. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：__________； （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接． ①四边形_____损矩形（填“是”或“不是”）； ②当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由； 【答案】（1） （2） ①是；②四边形是正方形，理由如下： 平分，， ， ∵四边形是损矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据材料所给出的定义即可得到结论； （2）①根据损矩形的定义即可得到结论；②根据菱形的性质及损矩形的定义即可得到结论； 【小问1详解】 解：∵损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的， ∴和有公共边， ∴在同侧有和， ． 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形， ∴， ， 中，， ∴四边形是损矩形． ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $