精品解析：重庆育才中学教共体2025--2026学年九年级下学期第五次自主作业数学试卷

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第五次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框图黑． 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7． 故选A． 2. 下列四幅图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，叫轴对称图形．根据轴对称图形的定义对故选项进行一一分析即可． 【详解】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意； B、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意； C、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故C不符合题意； D、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的四则运算及公式逐个计算即可． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘除运算法则及公式，属于基础题，熟练掌握运算法则及公式即可． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，再由位似三角形的性质可得，且相似比为，最后由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选：A． 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对某批节能电灯的使用寿命的调查 B. 对重庆市初三学生每天的体育锻炼时间的调查 C. 对春节期间市场上某品牌汤圆在我市的销售情况的调查 D. 对某校九年级3班学生一周使用手机时间的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，根据普查的适用条件：调查范围小，无破坏性，便于全面统计，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：对于A选项：对节能电灯使用寿命的调查具有破坏性，不适合普查，不符合题意； 对于B选项：重庆市初三学生数量多，调查范围过大，不适合普查，不符合题意； 对于C选项：调查我市该品牌汤圆的销售情况，范围过大，不适合普查，不符合题意； 对于D选项：某校九年级3班学生人数少，调查范围小，便于统计，最适合采用全面调查，符合题意． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的范围． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ， ， ． 7. 如图，四边形内接于，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半和圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9. 如图，正方形中，O为对角线的中点，F为正方形外一点，连接、、，将沿翻折，D点恰好落在上的E点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，则，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，求出，再由直角三角形的性质可得，最后结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先写出多项式，再归纳系数规律，即可判断①；先确定多项式，然后分三种情况，分别利用二次函数求最值即可判断②；列举出满足条件的所有多项式即可判断③． 【详解】解：①：∵，为偶数 ∴ 令，得 令，得 ∴，故①正确； ②当，时，由得，即， 又∵，为正整数，为整数，可得所有满足条件的组合： ①，此时，最小值为； ②，此时，最小值为； ③，此时，最小值为； ∵ ， ∴满足条件的的最小值为，故②正确； ③当时，由得，即， 又，为正整数，按分类枚举： ①：此时，满足条件的组合为，共2种； ② ：此时，满足条件的组合为，共3种； ③：此时，满足条件的组合为，共2种； ∴总共有种，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 学校开展“阳光体育打卡”活动，学生每天参加体育锻炼后可随机抽取一张积分卡，卡片正面完全一样，反面印有积分可能是：5分、10分、15分、20分（每种卡片数量相等，每次抽取后立即补齐）、小明连续打卡两天后都参与了抽奖，则他抽到的积分不低于25分的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据树状图确定两次抽取所有等可能的结果总数，再找出积分和不低于25分的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 根据树状图可得，共有16种等可能的结果数，  其中抽到的积分不低于25分的结果数为10， 故小明抽到的积分卡积分不低于25分的概率为． 13. 如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一个等式得到，可判断，因此，再分和两种情况，分别去绝对值后，得到二元一次方程组，再求解可得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由可得， ， ， ， 则第二个等式化为 当时，，原第一个等式化为 联立方程组，解得，与矛盾，舍去； 当时，，原第一个等式化为 联立方程组，解得，符合条件． ． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设的半径为r，则，，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理可得r的值，可求出的值，从而得到，连接，过点D作于点K，设于点L，再利用勾股定理可得，，再结合切线的性质可得，再由，可得，，根据，可得，，，根据，可得，，连接，再由，即可求解． 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 ①. 9894 ②. 7893 【解析】 【分析】根据“腾跃数”定义得数位关系：千位，十位，其中为个位数字，为百位数字，所有数位均为整数，可得，，即最大为，最大为，可得最大的“腾跃数”，分别化简与，可得为5的整数倍，为19的整数倍，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，不等式组所有整数解的和为 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可解答． 【详解】解： 由①得，， 整理得，， 解得，， 得，， 整理得，， 解得，， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为：，，， 不等式组所有整数解的和． 18. 在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： （1）作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分，①__________ 在四边形中，， ②__________，， ③__________． ，． ，四边形是④__________， 又，四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）；；；平行四边形． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，小于为半径画弧分别交、，再分别以交点为圆心，合适的半径画弧相交，连接点及该交点并延长交直线于点，连接即可； （2）结合角平分线定义和平行线性质推得，从而得到，，由对边平行且相等证得四边形是平行四边形，再结合即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 【答案】（1） （2） 八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： ∵七，八年级学生的成绩的平均数都是分，八年级学生的成绩的中位数高于七年级学生的成绩的中位数，八年级学生的成绩的众数高于七年级学生的成绩的众数， ∴八年级学生的竞赛成绩较好． （3）1240名 【解析】 【分析】（1）结合中位数的定义进行分析列式计算，得，结合众数的定义，得，再求出，即可作答． （2）结合两个年级的平均数，中位数，众数进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 先把八年级的竞赛成绩按从小到大排序，中位数是位于第名和第名的成绩之间， ∴， 观察七年级20名学生的竞赛成绩中分出现次数最多，且为3次， ∴， 则， ∴； ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，（名）， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是名． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】原式根据分式的混合运算法则进行化简得最简结果，再求出的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 21. 某加工车间45名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓1200个或螺母900个，两个螺栓要配三个螺母， （1）为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少工人生产螺母？ （2）若每一个螺栓的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于20万元，那么45名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】（1）应该分配15名工人生产螺栓，30名工人生产螺母 （2）45名工人每月至少加工28天才能完成车间任务． 【解析】 【分析】（1）设生产螺栓的工人数为x，则生产螺母的工人数为，根据两个螺栓要配三个螺母列方程求解即可； （2）先求出每天的利润，再根据销售利润不少于20万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产螺栓的工人数为x，则生产螺母的工人数为， 根据题意，得， 解得， 生产螺母的工人数为 (人)． 答：应该分配15名工人生产螺栓，30名工人生产螺母． 【小问2详解】 解：每天生产螺栓的数量为 (个)， 每天生产螺母的数量为 (个)．每天的利润为 (元)． 设每月加工t天， 由题意，得， 解得， 因为t为整数，所以至少需要加工28天． 答：45名工人每月至少加工28天才能完成车间任务． 22. 如图，点、点、点分别代表某大型社区的北门、西门和东门．其中东门在西门正东方向600米处．北门位于西门的东北方向．超市在北门的正东方向，同时在东门的北偏西方向．已知北门位于东门的西北方向．（参考数据：，，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）小明从西门出发，沿方向前进，到东门处取快递；小亮从东门出发，沿方向前进，到超市处购物．已知两人同时出发，小明的速度是小亮速度的3倍，当两人首次相距300米时，求小亮距离东门的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）米 （2）88.6米 【解析】 【分析】（1）连接，过点作交延长线于点，由题意可得和为等腰直角三角形，米，利用解直角三角形即可求解； （2）由题意可设小亮距离东门的距离为米，则小明距离西门的距离为米，过点作于点，通过解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作交延长线于点，则， 由题意可得，米，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形，， ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 【小问2详解】 解：∵小明的速度是小亮速度的3倍， ∴设小亮距离东门的距离为米，则小明距离西门的距离为米，即（米），（米），则（米）， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 在中，（米），（米）， ∴（米）， 在中，， ∴当米时，，整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵小明从西门出发，沿方向前进，到东门处取快递，米， ∴， ∴， ∴，即米， ∴当两人首次相距300米时，求小亮距离东门的距离为88.6米． 23. 二次函数，与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，连接与，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交线段于点，过点作垂直于直线，垂足为点，过点作直线且与轴交于点，点、为直线上两动点，在上方，且，当最大时，求出点的坐标及此时的最大值； （3）把函数沿射线平移个单位得到函数，直线上有一动点，在（）的条件下，当最大时，若，射线与函数的图象交于点，直接写出点的坐标，并写出求其中一个点的过程． 【答案】（1） （2），取最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，点代入二次函数解析式解出、的值即可； （2）延长交直线于点，过点作交延长线于点，过点作轴，先由三角函数将转化为，根据点的坐标可求出直线、直线的解析式，然后设，可表示出，即可求出有最大值时点的坐标，再由即可求出的最大值； （3）根据平移的方向和距离可求出，然后在直线上找到点能满足，可知在右侧时即为点，在左侧时点与点关于对称，分别求出直线与直线的解析式与联立，求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入二次函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：延长交直线于点， ∵轴， ∴， 由（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，， 将，，，代入得：，，解得：，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，此时， 过点作交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即当三点共线时，取最大值为的长度， 过点作轴， ∵， ∴， ∴点， ∴， 综上：，取最大值为． 【小问3详解】 解：∵函数沿射线平移个单位得到函数， 又∵， ∴线段平移后为线段，即平移后对应，即先向右平移1个单位，再向上平移3个单位， ∵，其顶点坐标为， ∴平移后的顶点坐标为，且平移不会改变抛物线的形状和开口方向， ∴， 当点在的右侧时，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴，即此时点与点重合，射线即为射线， 设，将点，代入得：，解得：， ∴，将其与联立， ∴，解得：（舍去）或， 当点在的左侧时，只需将点以为对称轴，找到在另一侧的对称点即可，即的中点为， ∴此时， 设，将点，代入得：，解得：， ∴，将其与联立， ∴，解得：（舍去）或． 综上：或． 24. 在中，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； （3）如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）2 （2） 证明：延长至H，使得，连接． ∵在中， ，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质以及几何最值问题． （1）过点B作交延长线于点E．先求出，再求出的长，最后运用三角形面积计算公式，求得的面积即可； （2）延长至H，使得，连接．先证，，再通过推导角的数量关系，证得，，从而得到， 导角得，即有，故可证 ； （3）取中点G，连接、、．先证明，再证，从而证得，得到，即当最小时，取得最小值．考虑到，得出E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值．通过求的最小值，最终求得的最小值． 【小问1详解】 解：如图，过点B作交延长线于点E． ∴在中， ， ∴． ∵， ∴， ∴的面积为2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的最小值为，理由如下： 取中点G，连接、、． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，G为中点， ∴，， ∵，， ∴． ∵绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． ∵， ∴E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第五次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框图黑． 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 2. 下列四幅图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对某批节能电灯的使用寿命的调查 B. 对重庆市初三学生每天的体育锻炼时间的调查 C. 对春节期间市场上某品牌汤圆在我市的销售情况的调查 D. 对某校九年级3班学生一周使用手机时间的调查 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 如图，四边形内接于，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，O为对角线的中点，F为正方形外一点，连接、、，将沿翻折，D点恰好落在上的E点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 12. 学校开展“阳光体育打卡”活动，学生每天参加体育锻炼后可随机抽取一张积分卡，卡片正面完全一样，反面印有积分可能是：5分、10分、15分、20分（每种卡片数量相等，每次抽取后立即补齐）、小明连续打卡两天后都参与了抽奖，则他抽到的积分不低于25分的概率为________． 13. 如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 18. 在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： （1）作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分，①__________ 在四边形中，， ②__________，， ③__________． ，． ，四边形是④__________， 又，四边形是菱形． 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 某加工车间45名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓1200个或螺母900个，两个螺栓要配三个螺母， （1）为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少工人生产螺母？ （2）若每一个螺栓的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于20万元，那么45名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 22. 如图，点、点、点分别代表某大型社区的北门、西门和东门．其中东门在西门正东方向600米处．北门位于西门的东北方向．超市在北门的正东方向，同时在东门的北偏西方向．已知北门位于东门的西北方向．（参考数据：，，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）小明从西门出发，沿方向前进，到东门处取快递；小亮从东门出发，沿方向前进，到超市处购物．已知两人同时出发，小明的速度是小亮速度的3倍，当两人首次相距300米时，求小亮距离东门的距离．（结果精确到0.1米） 23. 二次函数，与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，连接与，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交线段于点，过点作垂直于直线，垂足为点，过点作直线且与轴交于点，点、为直线上两动点，在上方，且，当最大时，求出点的坐标及此时的最大值； （3）把函数沿射线平移个单位得到函数，直线上有一动点，在（）的条件下，当最大时，若，射线与函数的图象交于点，直接写出点的坐标，并写出求其中一个点的过程． 24. 在中，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； （3）如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $