精品解析：2026年江苏省泰州市泰兴市九年级数学试卷（一模）

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. 12 B. C. 7 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的立体图形，从正面看，所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ，1.4 D. ，1.4 5. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 27的立方根为_____． 8. 2026年“江苏省城市足球联赛（苏超）”已于4月11日拉开帷幕，整个赛季的91场比赛都将全程使用（视频助理裁判）系统辅助判罚．若高速摄像设备每秒拍摄150帧画面，那么每场比赛全程90分钟将拍摄810000帧画面．将数据810000用科学记数法表示为_______． 9. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的频数 96 283 380 571 948 1912 2848 发芽的频率（精确到0.001） 0.960 0.943 0.950 0.952 0.948 0.947 0.949 这种油菜籽发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 10. 因式分解x3－9x=__________． 11. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 12. 已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 13. 若，则的值等于_______． 14. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 15. 如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 16. 如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 小明家所在小区的电梯显示屏记录了2026年3月26日至4月1日这7天内电梯的运行距离（单位：米）和运行次数（单位：次），如图所示： （1）这7天电梯运行距离的中位数是________米，运行次数的极差是________次； （2）小明观察图2中条形的高度，得出结论“3月31日的运行次数约是3月26日的2倍”，但实际计算后发现，3月31日的运行次数是3月26日的________倍（精确到0.1），小明得出的结论错误的原因是什么？ 19. 为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 20. 如图，正方形中，对角线，交于点，为线段上一点，请在线段上找一点，并使得________，连接，，则四边形是菱形．请补全条件，画出图形，并说明理由． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． （1）求的长； （2）该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 23. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． （1）直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 24. 已知抛物线：． （1）当时，判断点是否在该抛物线上； （2）抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； （3）若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 25. 平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 26. 【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 （1）如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. 12 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：有理数乘法中，异号两数相乘得负，再把绝对值相乘， ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示的立体图形，从正面看，所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，从物体正面看即可得． 【详解】解：从正面看，所得到的图形是： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握三视图． 4. 小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ，1.4 D. ，1.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据“更快”“更稳定”的含义，分别判断平均数和方差的范围，得到符合条件的选项，50米跑用时越短说明速度越快，方差越小说明成绩越稳定。 【详解】解：训练后成绩比原来更快，米跑平均用时越短代表速度越快，原平均用时为 训练后平均数 ，排除B，D选项， 训练后成绩比原来更稳定，方差越小代表数据越稳定，原方差为， 训练后方差 ，排除C选项， 符合条件的是A选项． 5. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 6. 如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 8. 2026年“江苏省城市足球联赛（苏超）”已于4月11日拉开帷幕，整个赛季的91场比赛都将全程使用（视频助理裁判）系统辅助判罚．若高速摄像设备每秒拍摄150帧画面，那么每场比赛全程90分钟将拍摄810000帧画面．将数据810000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的频数 96 283 380 571 948 1912 2848 发芽的频率（精确到0.001） 0.960 0.943 0.950 0.952 0.948 0.947 0.949 这种油菜籽发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据表格的数据可知这种油菜籽发芽的频率稳定在附近． 【详解】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率在附近， 则这种油菜籽发芽的概率的估计值为． 故答案为：． 10. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 11. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 12. 已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 13. 若，则的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】对所求代数式进行变形，再整体代入已知等式计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 14. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出由内往外扇形的半径，再求出每个扇形的弧长，最后相加求和即可． 【详解】解：由题意可知，由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为1，第三个扇形的半径为2，第四个扇形的半径为3，第五个扇形的半径为5，这五个扇形的圆心角都为， 根据弧长计算公式可得：第一个扇形的弧长为， 第二个扇形的弧长为：， 第三个扇形的弧长为：， 第四个扇形的弧长为：， 第五个扇形的弧长为：， 则这一部分螺旋线的长度为：． 15. 如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作轴交直线于点F，证明，求出，取的中点M，连接，求出，根据求出最值即可． 【详解】解：作轴交直线于点F， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点M，连接， 则， ， 故， 当且仅当O、M、D三点共线时取等号， ∴的最大值为． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 是原方程的解． 18. 小明家所在小区的电梯显示屏记录了2026年3月26日至4月1日这7天内电梯的运行距离（单位：米）和运行次数（单位：次），如图所示： （1）这7天电梯运行距离的中位数是________米，运行次数的极差是________次； （2）小明观察图2中条形的高度，得出结论“3月31日的运行次数约是3月26日的2倍”，但实际计算后发现，3月31日的运行次数是3月26日的________倍（精确到0.1），小明得出的结论错误的原因是什么？ 【答案】（1）13740，160 （2）1.1；纵轴不是从0开始的． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和极差的定义求解即可； （2）根据条形统计图的数据分析即可． 【小问1详解】 解：将这7天电梯运行距离从小到大排列为：、、、、、、， 则中位数是， 由条形统计图可知，7天运行次数最多次，最少次， 则运行次数的极差是（次） 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，3月31日的运行次数是次，3月26日的运行次数是次， 则3月31日的运行次数是3月26日的倍， 小明得出的结论错误的原因是纵轴不是从0开始的． 19. 为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1) ；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=． 20. 如图，正方形中，对角线，交于点，为线段上一点，请在线段上找一点，并使得________，连接，，则四边形是菱形．请补全条件，画出图形，并说明理由． 【答案】 ， 补全图形． 理由如下： ∵四边形是正方形， ，． ，， ∴四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 【解析】 【分析】根据题意，添加条件并补全图形，根据正方形的性质以及，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，根据正方形的性质可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】50元 【解析】 【分析】设该品牌头盔的实际售价为元，则此时销量为个，根据利润单个利润数量列出方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． 22. 拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． （1）求的长； （2）该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为．求得，根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）过点作，垂足为．根据解直角三角形的方法求解即可； 【小问1详解】 解：（1）过点作，垂足为． 在中，， ， 在中，， ， 答：的长为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， 在中，， ， ， 在中，， ， 答：的长为． 23. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． （1）直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意：，分点P在上，点P在上，点P在上，求解即可； （2）利用分类思想解答，确定最终要计算的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意：． 因为，，， O为BC中点， ． 当点P在上时，； 当点P在上时，，此时最长时间为， 故； 当点P在上时，，此时最长时间为，故； 综上所述，． 【小问2详解】 解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为， 若，解得，不在范围内，舍去； 若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足， 故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时． 24. 已知抛物线：． （1）当时，判断点是否在该抛物线上； （2）抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； （3）若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】（1）点不在该抛物线上 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； 【小问2详解】 解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 25. 平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：直角三角形； 理由如下：方法1：作点关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于轴对称， ，与也关于轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． ∴以，及为边组成三角形是直角三角形． 方法2：过点作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ∵， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以，及为边组成三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，以及的坐标，进而求得直线的解析式，过点作轴，交于点，过点作，过点作，求得，根据，即可求解； （2）方法1：连接，过点作轴，过点作轴，根据勾股定理分别表示出，根据，得出，化简即可求解．方法2：过点作轴，分别过点，，作，，证明，根据相似三角形的性质列出关系式，化简即可求解； （3）方法1：作点关于轴的对称点，连接，，，证明，即可求解；方法2：过点作轴，过点作轴，先证明得出则，分别表示出，根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，，， ． 设直线，代入 ∴，解得：， ∴， 过点作轴，交于点，过点作，过点作， 当时，， 点， ， ． 【小问2详解】 连接，过点作轴，过点作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法2： 过点作轴，分别过点，，作，， ∴，则 ∴， ，即， 化简得， ， ， ． 【小问3详解】 略 26. 【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 （1）如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 【答案】（1）4 （2） 点即为所求作的点； （3） 解：． 理由如下：连接，， ， ， 是直径， ， ，又， ， ， 即， ∵点是点关于点的反演点， ， ． 同理，． ． （4） 解：线段．理由如下： 连接，作直径，在上取一点，使得，连接，， 点为点关于点的反演点，反演幂为40， ， ， ， ， 又， ， ， 是直径， ， ， ， 点在过点且垂直于直径的直线上， 路径不在圆外的部分是线段． 路径的长为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，即可求出答案； （2）以点和分别为圆心，大于为半径画弧，交于，两点连接，交于点，以点为圆心为直径作圆，交于点； （3）连接，，证明，得到，再根据点是点关于点的反演点，得到，同理得到，即可得到结论； （4）连接，作直径，在上取一点，使得，连接，，证明，得到，点在过点且垂直于直径的直线上，路径不在圆外的部分是线段． 【小问1详解】 解：反演幂为24， ， ， ； 【小问2详解】 解：以为直径作圆，交于点； 由尺规作图可知，， ，，， ， ， ， 在中， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 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