精品解析：2025年江苏省泰州市泰兴市中考一模数学试题

2025年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．根据无理数的定义即可得． 【详解】解：观察四个选项可知，只有 是无理数， 故选：A． 2. 下列是一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查合并同类项法则，完全平方公式，乘方法则，多项式乘以多项式的法则，是基础题型，需要熟练掌握．根据合并同类项法则，完全平方公式，乘方法则，多项式乘以多项式的法则解答． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 4. 若“抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上”的概率为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上， 则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， 故选：B． 5. 如图，在四边形中，， 、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，从而得到为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点， 为直角三角形， ， 、分别是、的中点， ， 、分别是、的中点， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ， 则的面积， 的面积与线段的长有关， 故选：C． 6. 某智能生产工厂甲、乙、丙、丁四位工人工作情况如图所示，其中甲、乙、丙、丁的横、纵坐标分别为工人固定投入量与实际产出量，则这四位工人中生产效率最高的是（生产效率是指生产过程中实际产出量与固定投入量的比值）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据图象判断甲、乙、丙、丁四名工人的横、纵坐标的比值大小即可．利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过丙的直线最陡， 这四位工人中生产效率最高的是丙， 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 8. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 9. 泰兴重大项目开立竣工数连续10年保持泰州市第一．2024年，“三比一提升”项目新开工40个，计划总投资亿元，将数据亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可）________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到c的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 11. 已知，，则代数式的值为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，由，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：17． 12. 将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第四组的频数．各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 【详解】解：第五组频数为， 第四组的频数为， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，点、在上，且，垂足为 ．若，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，求得 ，根据垂径定理得，根据得，即得． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 14. 若点都在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，随的增大而减小成为解题的关键． 根据反比函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性即可解答． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 又∵，， 函数图象在第三象限， 随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 15. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂足为点，并延长交 的延长线于点，设，，则，根据点是的中点，且，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到，，进而推出，再根据正切的定义可求的值． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，并延长交 的延长线于点， 则：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ， 整理得：， 在中，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、三角函数，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形中位线的性质找到三角形边之间的关系． 16. 在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，三角函数值，两点间距离公式等知识，以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，由，可得，，和关于直线对称，可得，设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为，根据两点间距离公式得，，由可得，求出的值即可解决问题． 【详解】解：以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，如图， ， ∵，， ∴，， ∵和关于直线对称， ∴， 设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为， ∴， ， ∵， ∴， 解得，或， 经检验，或是原方程的解， ∴当时，， 当时，， 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可求解； （2）别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：． 18. 小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 【答案】 不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率， 和大于或等于 7的概率， 小慧和小颖胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握解题方法是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】略 19. 如图是我国2020～2024年国内生产总值（）的增长率折线统计图及2024年三次产业占的百分比扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2020～2024年国内生产总值增长率的平均数为 ．已知2023年我国国内生产总值约为129万亿，则2024年第一产业生产总值约为 万亿（结果保留整数）； （2）小华认为：第二产业是2024年经济增长最重要的支撑力量，你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由． 【答案】（1），9 （2） 不同意，理由如下： 由扇形统计图可知第二产业占的百分比为，第三产业占的百分比为，第二产业占的百分比小于第三产业占的百分比，所以第二产业不是2024年经济增长最重要的支撑力量． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图，平均数，结合折线统计图和扇形统计图可以得到相关信息是解题的关键． （1）根据折线图计算平均数即可；结合扇形图计算第一产业生产总值即可； （2）根据扇形图进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：； （万亿）， 故答案为：，9； 【小问2详解】 略 20. 如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． （1）从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． （2）连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2） 如图，连接与的交点即为所求作点P， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设的表达式为：，利用待定系数法确定的表达式为：，然后分别确定，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在的图像上， ∴代入得， ∴反比例函数关系式为， ∵点在的图像上， ∴代入得， 综上，反比例函数关系式为，； 【小问2详解】 设的表达式为：， 将，代入得：， 解得， ∴的表达式为：， ∵点的横坐标为4，把代入得． ∴， ∵轴， ∴，代入得， ∴， ∴． 22. 图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． （1）若，．求此时最远端点 到墙壁的距离； （2）若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点 到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 【答案】（1）最远端点 到墙壁的距离为 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、 、 共线，，最后计算即可； （2）由（1）可知：点、、 、 共线，，且点与点的距离、点与点 、点 与点 的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即点、、 、 共线， ∵， ∴， ∴， 答：最远端点 到墙壁的距离为； 【小问2详解】 由（1）可知：点、、 、 共线，，且点与点的距离、点与点 、点 与点 的距离相等， 当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点 到墙壁的距离为， 此时，， ∵， ∴， 连接，过点作于点， ∵ ∴，， 在中，， 当在点处时，此时， 过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． （1）高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ （2）若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）高性能服务器每台的进价各是50万元，普通服务器每台的进价各是30万元 （2）购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元 【解析】 【分析】此题考查不等式、一次函数的应用和分式方程的应用． （1）设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元，根据“花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过4200万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元． 根据题意列方程得：，解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：； 答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元； 【小问2详解】 解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：，解得：， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， 因为，所以随的增大而增大，又因为，所以当时，有最大值， （万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元． 24. 在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作后，发现了很多有趣的数学问题． 【观察证明】 问题1：一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？ 如图1，长方形纸片中，，，小组成员小明在长方形纸片中，已经剪出8个腰长为2的等腰直角三角形（如图1所示）．小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形中还能再剪出1个腰长为2的等腰直角三角形．请你在图1长方形中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚的说法是正确的． 【操作实践】 问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形？ 如图2，小组成员小东按图2步骤折叠正方形．最后从线段 处剪开，并展开纸片，得到了正六边形．若原正方形边长为6，则折出的正六边形的边长为 ． 【答案】观察证明：如图，为符合条件的示意图，其中，， ∴， 过点作，垂足为，， ∵，， ∴，， ∴能再剪1个腰长为2的等腰直角三角形； 操作实践：，3 【解析】 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 观察证明：根据题意作出图形，根据题意得出，过点作，垂足为，，结合线段长度记录得出结果； 操作实践：根据题意得出， 再由直角三角形的性质及平行线的性质确定，根据折叠问题确定，结合图形即可求解． 【详解】解：观察证明：略 操作实践：根据折叠过程，如图所示标注字母： 根据题意得：， ∴点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 根据题中折叠，得出， ∴为等边三角形， ∴最后从线段处剪开，并展开纸片，得到了正六边形； ∵正方形边长为6， ∴， ∴折出的正六边形的边长为3， 故答案为：，3． 25. 已知二次函数，（，为常数）的图像分别记为、，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小． （1）求的值； （2）当，且随的增大而减小时，直接写出此时自变量的取值范围； （3）若点在上，点在上． 当时，求的最大值； 当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）；． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式、一元二方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （）由的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小，则有，然后根据的对称轴在的对称轴的右侧，则可求出的值； （）通过比较和的大小关系，再结合随的增大而减小即可求解； （）根据二次函数的性质得出，再把代入即可求解； 把代入得，然后由无论取何实数，始终都有成立，得，从而求解． 【小问1详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线，图像顶点的纵坐标为， 对于二次函数，其对称轴为直线其图像顶点的纵坐标为， ∵的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小， ∴，解得，， 又∵的对称轴在的对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， ∴自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， 把代入得， ∵， ∴当时，有最大值为； ∵，，， 把代入上式得，， ∵无论取何实数，始终都有成立， ∴，得， ∵上式对任意都成立， ∴，且， ∴． 26. 在中，点在上，连接，且， 是上一点（与点、不重合）． （1）如图1，当时，过、、 三点的圆分别交、于点、，连接、．求证：四边形是矩形； （2）如图2，已知，， 分别交过、、 三点的圆和于点、．点为 上一点，且． ①求证：； ②若、的面积分别为2和1，求的面积； ③、、的面积分别记为、、，当点 在上任意位置时（与点、不重合），等式是否总成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴，， 根据圆的内接四边形对角互补，得， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是矩形． （2） ①证明：∵，且，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②4 ③成立 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，利用三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）①根据，证明，再证明， 即可证明三角形的全等 ②证明，利用面积之比等于相似比的平方解答即可； ③根据，得到，继而得到，变形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为4； ③略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定，圆的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 下列是一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若“抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上”的概率为，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在四边形中，， 、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 6. 某智能生产工厂甲、乙、丙、丁四位工人工作情况如图所示，其中甲、乙、丙、丁的横、纵坐标分别为工人固定投入量与实际产出量，则这四位工人中生产效率最高的是（生产效率是指生产过程中实际产出量与固定投入量的比值）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分解因式：4x2–1=_______________． 8. 正五边形的每一个内角都等于___． 9. 泰兴重大项目开立竣工数连续10年保持泰州市第一．2024年，“三比一提升”项目新开工40个，计划总投资亿元，将数据亿用科学记数法表示为________． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可）________． 11. 已知，，则代数式的值为________． 12. 将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是________． 13. 如图，是的直径，点、在上，且，垂足为 ．若，，则________． 14. 若点都在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 15. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝________． 16. 在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时，________． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 19. 如图是我国2020～2024年国内生产总值（）的增长率折线统计图及2024年三次产业占的百分比扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2020～2024年国内生产总值增长率的平均数为 ．已知2023年我国国内生产总值约为129万亿，则2024年第一产业生产总值约为 万亿（结果保留整数）； （2）小华认为：第二产业是2024年经济增长最重要的支撑力量，你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由． 20. 如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． （1）从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． （2）连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 22. 图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． （1）若，．求此时最远端点 到墙壁的距离； （2）若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点 到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 23. 为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． （1）高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ （2）若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 24. 在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作后，发现了很多有趣的数学问题． 【观察证明】 问题1：一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？ 如图1，长方形纸片中，，，小组成员小明在长方形纸片中，已经剪出8个腰长为2的等腰直角三角形（如图1所示）．小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形中还能再剪出1个腰长为2的等腰直角三角形．请你在图1长方形中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚的说法是正确的． 【操作实践】 问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形？ 如图2，小组成员小东按图2步骤折叠正方形．最后从线段 处剪开，并展开纸片，得到了正六边形．若原正方形边长为6，则折出的正六边形的边长为 ． 25. 已知二次函数，（，为常数）的图像分别记为、，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小． （1）求的值； （2）当，且随的增大而减小时，直接写出此时自变量的取值范围； （3）若点在上，点在上． 当时，求的最大值； 当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 26. 在中，点在上，连接，且， 是上一点（与点、不重合）． （1）如图1，当时，过、、 三点的圆分别交、于点、，连接、．求证：四边形是矩形； （2）如图2，已知，， 分别交过、、 三点的圆和于点、．点为 上一点，且． ①求证：； ②若、的面积分别为2和1，求的面积； ③、、的面积分别记为、、，当点 在上任意位置时（与点、不重合），等式是否总成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $