精品解析：山西太原市杏花岭区山西省实验中学2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷）七年级 数学

山西省实验中学2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷）七年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 0 C. 2026 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据非零数的0次幂等于1求解即可． 【详解】解：． 2. 在数学课上，老师让同学们画对顶角与，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，有公共的顶点，两边互为反向延长线进行选择． 【详解】A、两边不互为反向延长线，故本选项错误； B、两边不互为反向延长线，故本选项错误； C、符合对顶角的定义，故本选项正确； D、无公共顶点，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，符合两个条件：①有公共的顶点；②两边互为反向延长线． 3. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的结构为，要求两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据平方差公式的结构特征判断： 选项A ，，没有相同的项，不能用平方差公式，此项不符合要求； 选项B， ，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算，此项符合要求； 选项C， ，两项都相同，没有互为相反数的项，不能用平方差公式，此项不符合要求； 选项D ，，没有互为相反数的项，不能用平方差公式，此项不符合要求． 4. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 7，13，20 B. 13，14，25 C. 5，5，11 D. 8，7，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形三边关系判断，三角形任意两边之和大于第三边，只需验证两个较小边长的和大于最大边长即可得出结论． 【详解】解：A选项： ，7，13，20不能构成三角形，不符合题意； B选项： ，13，14，25能构成三角形，符合题意； C选项：，5，5，11不能构成三角形，不符合题意； D选项：，8，7，15不能构成三角形，不符合题意． 5. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 三条线段组成一个三角形 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C. 367个人中至少有2个人生日相同 D. 检查生产流水线上的一个产品，是合格品 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件是一定发生的事件，根据必然事件的概念逐一判断各选项，即可得到答案． 【详解】解：A、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件； B、一枚骰子的点数最大为6，不可能掷出点数7，是不可能事件，因此不是必然事件； C、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件； D、检查生产流水线上的产品，可能是不合格品，不一定是合格品，因此不是必然事件． 综上，答案选C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A计算错误； 选项B：，B计算错误； 选项C：，C计算错误； 选项D：，D计算正确． 7. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 8. 已知（x、y均为正整数），则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】先将所求式子的底数统一转化为3，利用幂的运算性质化简，再结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】，， ， ， ． 9. 2026年3月，中国科学院物理研究所团队创造性发展原子级制造的范德华挤压技术，首次将铋、锡、铅等金属推进到原子极限厚度的二维世界，二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一．已知头发丝直径约为0.00007米，则二维金属的厚度约为（单位：米）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二维金属的厚度，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一，头发丝直径约为0.00007米， ∴二维金属的厚度约为． 10. 关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ） A. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B. 中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C. 小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D. 据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 如图，已知，若，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解： ， ． 12. 太原地铁1号线已于2025年通车运营，为保障列车运行安全，轨道工程团队对一批新型减震扣件进行疲劳寿命测试．在同等受力条件下，对该批扣件进行大量重复加载试验，并统计失效情况．下表是测试过程中的一组统计数据： 加载次数（万次） 10 20 50 100 200 500 1000 累计失效扣件数（个） 8 17 42 83 164 412 825 累计失效频率 0.800 0.850 0.840 0.830 0.827 0.831 0.829 估计该批新型减震扣件在此条件下加载1000万次内的失效概率约为_____．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，可利用稳定后的频率估计该事件发生的概率． 【详解】解：观察表格数据可知，随着加载次数增加，累计失效频率逐渐稳定在附近（结果精确到）． 因此估计该批新型减震扣件在此条件下加载万次内的失效概率约为． 13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 14. 2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 【答案】20 【解析】 【分析】设出白球数量，根据摸到红球的概率等于红球个数除以总球数，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解；设抽奖箱中白球的数量为个， 根据题意可得， 解得， ∴抽奖箱中白球的数量为20个． 15. 两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 【答案】172 【解析】 【分析】根据图形可知为大正方形面积减去小正方形面积，为两个边长为的小正方形重叠部分的面积，分别表示出和，代入进行化简，最后利用完全平方公式变形代入求值即可． 【详解】解：由图1可得：， 由图2可得，两个边长为的正方形重叠部分为边长是的正方形， ， ， ， 原式 ， ， 原式 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算乘法公式，再合并同类项，然后计算除法，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 如图，已知直线及线段． （1）用圆规和没有刻度的直尺作直线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）你的作图依据是______． 【答案】（1）见解析 （2）内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）作，直线即为所求； （2）根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 19. 2026年春季，太原市文化和旅游局发布了“赏花地图”，推荐了8个热门赏花景点，名单如下：滨河公园、迎泽公园、晋阳湖公园、太原植物园、双塔公园、龙潭公园、文瀛公园、碑林公园．菲菲和妈妈准备周末去其中一个景点赏花．她们将以上8个景点的名字分别写在完全相同的卡片上，并将它们放在一个不透明的盒子中，混合均匀后从中任意抽取一张决定去向．抽到去“太原植物园”的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：总共有8个景点，抽到去“太原植物园”的概率． 20. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】根据角平分线定义可得，进而可得，据此再根据平行线的判定定理可得出； 根据平行线的性质可得，所以有，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴． 21. 如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． （1）只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； （2）的面积为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可； ②找到格点，连接交于点G，则； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，； ②如图所示，高即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得． 22. 下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： （1）当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； （2）下列二次三项式中，是“完美积式”的是（ ）； A．　　B．　　C．　　D． （3）若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）B （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【小问1详解】 解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； 【小问2详解】 解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； 【小问3详解】 解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 23. 综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． （1）如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； （2）如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； （3）当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】（1）①，②见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质． （1）①根据两直线平行，内错角相等证明；②延长交于点H，根据两直线平行，同位角相等，再结合①的结论证明； （2）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可； （3）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可． 【小问1详解】 解：①， ，； ②延长交于点H，如图， ， ， ； 【小问2详解】 过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ，， ， ，即； 【小问3详解】 过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷）七年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 0 C. 2026 D. 2. 在数学课上，老师让同学们画对顶角与，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 7，13，20 B. 13，14，25 C. 5，5，11 D. 8，7，15 5. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 三条线段组成一个三角形 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C. 367个人中至少有2个人生日相同 D. 检查生产流水线上的一个产品，是合格品 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（x、y均为正整数），则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 27 9. 2026年3月，中国科学院物理研究所团队创造性发展原子级制造的范德华挤压技术，首次将铋、锡、铅等金属推进到原子极限厚度的二维世界，二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一．已知头发丝直径约为0.00007米，则二维金属的厚度约为（单位：米）（ ） A. B. C. D. 10. 关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ） A. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B. 中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C. 小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D. 据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 如图，已知，若，，则的长为_____． 12. 太原地铁1号线已于2025年通车运营，为保障列车运行安全，轨道工程团队对一批新型减震扣件进行疲劳寿命测试．在同等受力条件下，对该批扣件进行大量重复加载试验，并统计失效情况．下表是测试过程中的一组统计数据： 加载次数（万次） 10 20 50 100 200 500 1000 累计失效扣件数（个） 8 17 42 83 164 412 825 累计失效频率 0.800 0.850 0.840 0.830 0.827 0.831 0.829 估计该批新型减震扣件在此条件下加载1000万次内的失效概率约为_____．（结果精确到0.01） 13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 14. 2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 15. 两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知直线及线段． （1）用圆规和没有刻度的直尺作直线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）你的作图依据是______． 19. 2026年春季，太原市文化和旅游局发布了“赏花地图”，推荐了8个热门赏花景点，名单如下：滨河公园、迎泽公园、晋阳湖公园、太原植物园、双塔公园、龙潭公园、文瀛公园、碑林公园．菲菲和妈妈准备周末去其中一个景点赏花．她们将以上8个景点的名字分别写在完全相同的卡片上，并将它们放在一个不透明的盒子中，混合均匀后从中任意抽取一张决定去向．抽到去“太原植物园”的概率是多少？ 20. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴． 21. 如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． （1）只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； （2）的面积为______． 22. 下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： （1）当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； （2）下列二次三项式中，是“完美积式”的是（ ）； A．　　B．　　C．　　D． （3）若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 23. 综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． （1）如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； （2）如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； （3）当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $