第二章 不等式与不等式组 单元练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第2章 不等式与不等式组（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：A选项：不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，正确； B选项：不等式两边同时减去1，不等号方向不变，错误； C选项：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，正确； D选项：不等式两边同时加上5，不等号方向不变，正确． 2、下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式； B、含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式； C、是一元一次不等式； D、中是分式，不是一元一次不等式； 3、如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列不等式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， A选项：∵，∴，故A不符合题意； B选项：∵，∴，故B不符合题意； C选项：∵，，∴，故C符合题意； D选项：∵，，∴，故D不符合题意． 4、用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：根据数轴可知：x＞-2， 5、定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解： ， ， 得：， 不等式的解集为， ， 解得：， 6、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵解不等式得：x＞1， 解不等式得：x＜-2， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组无解， 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 8、关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 9、已知水在0 ℃以下就会结冰,某天气温是零下10 ℃,湖面开始结冰,冰块厚度以2 mm/h的速度增加,同时冰块厚度又以0.2 mm/h的速度升华减少,若人在湖面上可以安全行走,要求冰块厚度至少是18 mm,则从开始结冰至人能在湖面上安全行走至少需(　　) A.7 h B.8 h C.9 h D.10 h 【答案】D　 【详解】解：设从开始结冰至人能在湖面上安全行走需x h, 根据题意得(2-0.2)x≥18,解得x≥10, 即从开始结冰至人能在湖面上安全行走至少需10 h. 10、关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】A 【详解】解：解方程组得： ， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数， ∴k可取，1，，4，5，， 解关于z的不等式组得， ∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得：， ∴整数k为，1，，4， 其和为， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 【答案】 【详解】解：“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为． 故答案为：． 12、已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 13、若方程组的解满足，则k取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， ①+②，得5x+5y=k+4， ∴x+y=， ∵0≤x+y＜1， ∴0≤＜1， 解得，-4≤k＜1， 故答案为：-4≤k＜1． 14、不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 则的取值范围是． 15、关于的不等式组的解为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 16、不等式组的最小整数解为_____________． 【答案】 详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]． 例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3． 那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1． 例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9． 请你解决下列问题： （1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ； （2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 ； （3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ； （4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值． 【答案】（1）4，﹣7； （2）3≤x＜4； （3）； （4）﹣1或或1或2． 【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7． 故答案为：4，﹣7． （2）如果[x]＝3． 那么x的取值范围是3≤x＜4． 故答案为：3≤x＜4． （3）如果[5x﹣2]＝3x+1， 那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2． 解得：x＜2． ∵3x+1是整数． ∴x． 故答案为：． （4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1， ∴[x]＝x﹣a， ∵4a＝[x]+1， ∴a ∵0≤a＜1， ∴01， ∴﹣1≤[x]＜3， ∴[x]＝﹣1，0，1，2． 当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1， 当[x]＝0时，a，x， 当[x]＝1时，a，x＝1， 当[x]＝2时，a，x＝2， ∴x＝﹣1或或1或2． 18、（1）解不等式并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【详解】 （1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得， 解得：， 这个不等式的解集在数轴上表示如下： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解为：， 把解集在数轴上表示出来为： 19、解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 【答案】原式=，当x=2，原式=1． 【详解】解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 解不等式＜，得：x＞0， 则不等式组的解集为 0＜x≤3， 所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=•[ ] =• =， ∵x≠±3、1， ∴x=2， 则原式=1． 20、已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 21、年月日是第个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵元，购进件款文化衫和件款文化衫共需要元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购进件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，学校计划文化衫费用不超过元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案． 【答案】(1)款文化衫每件元，款文化衫每件元； (2)购进款文化衫件，款文化衫件． 【详解】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元， 由题意得，， 解得， 答：款文化衫每件元，款文化衫每件元； （2）解：设购进款文化衫件，则购进款文化衫件， 由题意得，， 解得， ∴， ∴， 答：购进款文化衫件，款文化衫件． 22、某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元 (2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多 【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． 23、为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【答案】(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元 (2) 有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为元， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为元 【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶ ， 解得：， 答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元； （2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）． 24、某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2） 学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． （3）学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． 【小问2详解】 解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：25≤m≤27． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 【小问3详解】 解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4＝54（元），B种足球单价为80×0.9＝72（元）， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴25×54+25×72＝3150（元）． 答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 不等式与不等式组（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 2、下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 3、如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列不等式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 4、用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5、定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8、关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 9、已知水在0 ℃以下就会结冰,某天气温是零下10 ℃,湖面开始结冰,冰块厚度以2 mm/h的速度增加,同时冰块厚度又以0.2 mm/h的速度升华减少,若人在湖面上可以安全行走,要求冰块厚度至少是18 mm,则从开始结冰至人能在湖面上安全行走至少需(　　) A.7 h B.8 h C.9 h D.10 h 10、关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 12、已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 13、若方程组的解满足，则k取值范围是______． 14、不等式组无解，则的取值范围是___________． 15、关于的不等式组的解为，则的取值范围是 ． 16、不等式组的最小整数解为_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]． 例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3． 那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1． 例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9． 请你解决下列问题： （1）[4.8]＝__________ ，[﹣6.5]＝__________ ； （2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是__________ ； （3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是__________ ； （4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值． 18、（1）解不等式并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19、解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 20、已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 21、年月日是第个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵元，购进件款文化衫和件款文化衫共需要元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购进件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，学校计划文化衫费用不超过元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案． 22、某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 23、为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 24、某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $