精品解析：河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

普通高中2025-2026学年（下）高二年级期中考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，，解得. 2. 甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，将甲、乙的报名种数相乘即可. 【详解】甲报名参加其中一项比赛项目有3种选法，乙报名参加其中一项比赛项目也有3种选法，根据分步乘法计数原理可知，有种报名方法. 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 5. 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 6. 已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 7. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由 整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则， 所以， 又，所以， 因此双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 只有一个极值点 D. 有三个零点 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，由得，，所以，A错误； 对于B，易知的定义域为. ，当和时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增，则在上单调递增，B正确； 对于C，由上可知，在上没有极值点，在上只有一个极小值点，C正确； 对于D，因为，且在上单调递减，所以在上只有一个零点； 因为，所以在上没有零点，因此仅有一个零点，D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，令，则，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 与B项中所得的式子相加，得，C错误； 对于D，因为， 所以它的展开式中含项的系数为，D正确. 11. 已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由条件可知，，，则，A正确； 对于B，由得为奇数时，， ，B错误； 对于C，当时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以，C正确； 对于D，时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以， 所以前2026项中偶数项的和为 ， 由B项可知，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 13. 已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 14. 某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 【答案】2160 【解析】 【详解】将7所学校分成1，2，2，2四组，当甲或乙单独一组时，有种不同的分组方法； 当甲、乙分别与其他学校一组时，种不同的分组方法， 根据分类加法计数原理可知，甲、乙两校不安排在同一天宣讲，共有种不同的分组方法. 将分好的4组安排到4天中，共有种不同的安排方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的概念和组合数计算公式求解； （2）由二项展开式通项公式，令的指数为0，求出，从而求出常数项. 【小问1详解】 由题意可知，，则， 又，所以，解得. 【小问2详解】 二项式的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 16. 已知椭圆：经过，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法去求椭圆C的标准方程； （2）根据的面积等于的面积得到，设出直线的方程为，与椭圆的标准方程联立，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，解得，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的左焦点为， 如图， 因为的面积等于的面积， 所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则， 所以直线的方程为. 由消去整理得， 解得， 设，，则 17. 已知数列满足. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值. 【答案】（1）；. （2） （3）4或5. 【解析】 【分析】（1）直接将，代入求解； （2）利用减去得到，再验证； （3）先由（2）得数列为等差数列，求其前项和，写出，通过作比判断单调性，从而确定最大值点. 【小问1详解】 当时，； 当时，，解得. 【小问2详解】 因为，所以当时，， 两式相减，得， 当时，也满足上式， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，， 因为，所以数列为等差数列， 则， 所以，， 令，解得，，令，解得，，令，得. 所以， 综上可知，取得最大值时的值为4或5. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离； （ⅱ）利用空间中线段最短的性质，确定位于线段，再分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面 平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等. （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）当时， （ⅰ）求在区间上的值域； （ⅱ）证明：，. （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）要证明，， 需证明在上恒成立， 令，， 则， 因为，所以， 则，当且仅当时取得等号， 所以，则在区间上单调递减， 故，即， 综上可知，，. （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）对函数求导，利用导数判断函数在区间内的单调性； （ⅱ）将代入不等式，构造新函数，利用导数分析其在给定区间内的单调性，进而证明不等式； （2）分离参数，构造函数，根据导数分析函数的单调性，结合恒成立条件确定参数范围. 【小问1详解】 当时，， （ⅰ）， 所以在上单调递增， 则，， 所以在区间上的值域为. （ⅱ）略 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，则，即. 在上恒成立转化为在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 因为，，， 所以当时，存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 因为，，所以时，， 则当时，，所以在上单调递减， 因此当时，. 下面证明当时，，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，则，即， 因此当时，. 综上可知，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025-2026学年（下）高二年级期中考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 只有一个极值点 D. 有三个零点 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 14. 某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 16. 已知椭圆：经过，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 17. 已知数列满足. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数. （1）当时， （ⅰ）求在区间上的值域； （ⅱ）证明：，. （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $