8.2.1-8.2.2矩形的性质与判定重难点题型（3个知识点+8种题型） 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

8.2.1-8.2.2 矩形的性质与判定（3个知识点+8大题型） 【题型归纳】 题型一 矩形的判定定理理解 1 题型二 根据矩形的性质求线段长 2 题型三 根据矩形的性质求面积 5 题型四 利用矩形的性质证明 7 题型五 矩形的性质与判定综合 9 题型六 矩形动点问题 13 题型七 矩形中的最值问题 17 题型八 矩形与折叠问题 20 一、知识梳理 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 二、题型精讲 题型一 矩形的判定定理理解 例1.下列能够判断四边形是矩形的是（    ） A．两组对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐项判断即可得到结论． 【详解】、两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； 、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； 、对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件. 【变式1】下列四个命题中，正确的是　　 A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形 【解答】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意； 、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意， 故选：． 题型二 根据矩形的性质求线段长 例2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为_____． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，根据勾股定理求出BD、 AO、DO，最后根据三角形面积公式求出答案即可． 【解析】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD， ∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12， 在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝ ，∴AO＝OD＝5， ∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝ 【点睛】本题考查勾股定理以及利用面积求线段长度，能够找到PE+PF与S△AOD之间的关系是解题的关键． 【变式2-1】如图，在矩形中，、相交于点，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，则= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．由勾股定理可求，由面积法可求解． 【详解】解：如图，连接， 【变式2-2】矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】由“ASA”可证△ADH≌△GNH，可得DH＝HN，NG＝AD＝2，由等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：连接DH，并延长交EG于N， ∵AD∥EG， ∴∠DAH＝∠AGN， ∵点H是AG的中点， ∴AH＝HG， 在△ADH和△GNH中， ， ∴△ADH≌△GNH（ASA）， ∴DH＝HN，NG＝AD＝2， ∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2， ∴DE＝EN＝2， 又∵∠DEN＝90°， ∴DNDE＝2， ∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°， ∴EHDN， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，证明DE＝EN是本题的关键． 题型三 根据矩形的性质求面积 例3.如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．27 D．54 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2． （1）求矩形ABCD的面积； （2）求证：OE＝FE． 【分析】（1）由矩形的性质可得AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，结合AE平分∠BAD，可求得∠BAO＝60°，则可判定△ABO是等边三角形，则由AB＝2，可得AC的长，然后由勾股定理求得BC的长，最后由矩形的面积公式计算即可； （2）先判定△ABE为等腰直角三角形，则可得BE＝AB，由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠OFE＝∠BOE，然后由等腰三角形的判定可得结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∵AB＝2， ∴AC＝2AB＝4， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4， ∴BC2， ∴矩形ABCD的面积为：AB×BC＝4； （2）证明：∵△ABO是等边三角形， ∴BO＝AB，∠ABO＝60°， ∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝AB， ∴BO＝BE，∠EBO＝∠ABC﹣∠ABO＝30°， ∴∠BOE（180°﹣∠EBO）＝75°． ∴∠OFE＝∠OBE+∠BEF＝75°， ∴∠OFE＝∠BOE， ∴OE＝FE． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形的外角性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型四 利用矩形的性质证明 例4.如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④，其中正确结论的序号为（　　）    A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】①证明，是等腰直角三角形，即可说明；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，证明． 【详解】解：①，， ， 又， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ，故①正确； ②，，， 四边形为矩形， 四边形的周长，故②正确； ③点是正方形的对角线上任意一点，， 当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③错误． ④四边形为矩形， ，， 正方形为轴对称图形， ， ，故④正确； 故选：A．      【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确； ③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确； ④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确． 【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB， ∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，， ∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°， ∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确； ∵AB=AH，∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH， ∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH， ∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD， 在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH=HF，HE=DF，故③正确； ∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 题型五 矩形的性质与判定综合 例5.如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 【变式5】如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F． （1）求证： ①OC＝BC； ②四边形ABCD是矩形； （2）若BC＝3，求DE的长． 【分析】（1）①根据角平分线定义得到∠OCE＝∠BCE，由垂直的定义得到∠CFO＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据平行线的性质得到∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的性质得到∠EBC＝∠EOC＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形； （2）由矩形的性质得到AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，得到△OBC是等边三角形，求得∠OCB＝60°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：①∵CE平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠BCE， ∵BO⊥CE， ∴∠CFO＝∠CFB＝90°， 在△OCF与△BCF中， ， ∴△OCF≌△BCF（ASA）， ∴OC＝BC； ②∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， 在△OAD与△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OE⊥AC， ∴∠EOC＝90°， 在△OCE与△BCE中， ， ∴△OCE≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠EOC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∵OC＝BC， ∴OC＝OB＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OCB＝60°， ∴∠ECBOCB＝30°， ∵∠EBC＝90°， ∴EBEC， ∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3， ∴EB，EC＝2， ∵OE⊥AC，OA＝OC， ∴EC＝EA＝2， 在Rt△ADE中，∠DAB＝90°， ∴DE． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型六 矩形动点问题 例6.如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，四边形为矩形 【分析】（1）证明，根据对角线互相平分，即可得证； （2）根据矩形的性质，可得，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， 或， 即， 四边形一定是平行四边形； （2）解：由（1）知：四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， 运动时间为， ， 当、没重合时，， ， 解得：， 当、重合后时，， ， 解得：， 当或时，四边形为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的性质是解题的关键． 【变式6-1】如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝________时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 【答案】##1.2## 【分析】如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可． 【详解】解： 依题意得：点P从点A移动到点B 需要秒， 点Q从点C移动到点D需要14秒， 又∵两点同时出发，一点到达终点时另一点即停， ∴． 如图，过P点作，垂足为M点， ， ， 四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠D=∠PMD=∠APM=90°， ∴四边形ADMP也是矩形，(三个内角是直角) ， 在直角三角形PQM中， ，即 或（舍去） ∴时，P、Q两点之间的距离是10cm． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和用平方根的定义解方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 【变式6-2】如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停． (1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？ (2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？ 【答案】(1)2秒 (2)秒 【分析】（1）根据题意，设运动时间为t秒，将用t表示出来，跟为梯形的面积占2份和5份两种情况进行讨论即可； （2）过P点作，垂足为M点，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 依题意得：∵， ∴． ∴，． ∴， ，解得 ，解得（舍）， ∴运动2秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分． （2）如图，过P点作，垂足为M点， ∴，， ∴， ∴，即 ∴或（舍去）， ∴时，P、Q两点之间的距离是． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，勾股定理和用平方根的定义解方程，解题的关键是根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 题型七 矩形中的最值问题 例7.如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故答案为：． 【变式7-1】如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值． 【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G ∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点∴BE=2 ∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60° ∵点F是点E关于AC的对称点 ∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上 则CF=CE=2 ∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60° ∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=∴FG=1+2=3 ∴在Rt△BFG中，BF==2根据分析可知，BF=PB+PE ∴△PBE的周长=2故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长． 【变式7-2】如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ） A．2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用SAS证明，得，同理得，则四边形是平行四边形，作点N关于BC的对称点，连接，，求出    的长，从而解决问题． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 同理得，， ∴四边形MNOP是平行四边形， 作点N关于BC的对称点，连接，，过点P和，将AB于点H， 则，， ∴的最小值为． ∵四边形ABCD是矩形，，， ∴四边形PCBH是矩形， ∴，． ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴四边形MNOP周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键． 题型八 矩形与折叠问题 例8.如图，在矩形中，已知，，点、分别是边、的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠性质、勾股定理、三角形的三边关系，连接、，根据矩形和折叠性质，结合勾股定理求得，，再根据三角形的三边关系求解即可．熟练掌握折叠性质和三角形的三边关系求最值是解答的关键． 【详解】解：连接、， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点、分别是边、的中点， ∴，， ∴， 由折叠性质得，，， ∴， ∵， 当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是， 故答案为：． 【变式8-1】综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长： ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长． 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键． 【变式8-2】如图①，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．    (1)如图②，射线恰好经过点B．试求此时t的值． (2)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为秒或10秒． 【分析】（1）先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论； （2）分两种情况：点E在矩形的内部时，先求解，再过点P作于H，过点Q作于G，求得，，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图1，矩形，    ∴， 由轴对称得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （2）解：存在，分两种情况：当点E在矩形内部时，如图，    ∵， 而，由（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点P作于H，过点Q作于G， ∴， 而， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴    ∴， 解得：；经检验，符合题意； 当点E在矩形的外部时，如图，    ∵， 同理：， ∵，∴， ∴，∴， ∴，（此时P与C重合）， 综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为秒或10秒． 【点睛】本题考查矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.1-8.2.2 矩形的性质与判定（3个知识点+8大题型） 【题型归纳】 题型一 矩形的判定定理理解 1 题型二 根据矩形的性质求线段长 2 题型三 根据矩形的性质求面积 2 题型四 利用矩形的性质证明 3 题型五 矩形的性质与判定综合 4 题型六 矩形动点问题 5 题型七 矩形中的最值问题 6 题型八 矩形与折叠问题 7 一、知识梳理 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 二、题型精讲 题型一 矩形的判定定理理解 例1.下列能够判断四边形是矩形的是（    ） A．两组对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等 【变式1】下列四个命题中，正确的是　　 A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形 题型二 根据矩形的性质求线段长 例2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为_____． 【变式2-1】如图，在矩形中，、相交于点，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，则= ． 【变式2-2】矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　） A． B．2 C． D． 题型三 根据矩形的性质求面积 例3.如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．27 D．54 【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2． （1）求矩形ABCD的面积； （2）求证：OE＝FE． 题型四 利用矩形的性质证明 例4.如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④，其中正确结论的序号为（　　）    A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③ 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 矩形的性质与判定综合 例5.如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【变式5】如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F． （1）求证： ①OC＝BC； ②四边形ABCD是矩形； （2）若BC＝3，求DE的长． 题型六 矩形动点问题 例6.如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动， (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形．    【变式6-1】如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝________时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 【变式6-2】如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停． (1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？ (2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？ 题型七 矩形中的最值问题 例7.如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【变式7-1】如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 ) A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ） A．2 B．2 C． D． 题型八 矩形与折叠问题 例8.如图，在矩形中，已知，，点、分别是边、的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ． 【变式8-1】综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长： ． 【变式8-2】如图①，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)如图②，射线恰好经过点B．试求此时t的值． (2)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．    1 学科网（北京）股份有限公司 $