专题8.3 三角形的中位线（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦三角形中位线核心知识点，从定义（连接两边中点的线段）出发，对比中位线与中线的区别，系统梳理中位线定理（平行且等于第三边一半）及推论（中点三角形周长、面积关系），延伸至逆定理（平行且等于一半则为中位线），构建从概念到性质、应用的完整学习支架，衔接前期三角形中线、平行四边形等知识。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型如池塘距离测量问题，引导学生用数学眼光观察现实世界并建模；培优题型通过逆定理证明中点，培养推理意识；压轴题型探究中点四边形形状，发展创新意识。课中辅助教师分层教学，课后易错点总结与巩固练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题8.3 三角形的中位线 知识点1：三角形中位线的定义 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 2.核心特征： 中位线是线段，端点必须是三角形两边的中点（缺一不可）； 一个三角形有三条中位线，三条中位线首尾相连形成的三角形叫作“中点三角形”； 中位线与三角形的中线区别：中线是连接顶点与对边中点的线段，而中位线连接的是两边中点，二者端点位置不同（如下表）。 名称 端点特征 数量 图形示意（以为例） 三角形中位线 连接两边中点（如、分别为、中点，为中位线） 3条 在上，在上，且 三角形中线 连接顶点与对边中点（如为中点，为中线） 3条 为顶点，在上，平分 知识点2：三角形中位线定理 1.定理内容：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 2.符号语言：如图，在中，若、分别是、的中点，则，且。 3.定理推论： 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形（中点三角形与原三角形相似，相似比为）； 中点三角形的周长是原三角形周长的，面积是原三角形面积的； 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（定理的逆用，可用于证明线段中点）。 知识点3：三角形中位线定理的逆定理 1.逆定理内容：若一条线段平行于三角形的一边，且等于该边的一半，则这条线段是三角形的中位线（需满足线段的两个端点分别在三角形的另外两边上）。 2.符号语言：如图，在中，若，且，同时在上、在上，则、分别是、的中点，是的中位线。 3.适用场景：用于快速判定线段中点或证明中位线，简化几何推理过程。 【基础必考题型】 【题型1】利用中位线定理求线段长度或角度 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行线的性质（同位角、内错角相等）。 2.解题方法技巧 求线段长度：先确定中位线对应的第三边，再根据“中位线第三边”计算，若已知中位线长度，可反向求第三边长度（第三边中位线长度）； 求角度：利用中位线定理的“平行”性质，将未知角转化为已知角（如中位线平行于第三边，同位角相等）； 多个中位线并存时，分别找准每条中位线对应的第三边，避免混淆。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【答案】32 【分析】根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为，的中点， ∴为的中位线， ∴米， ∴则A、B间的距离为32米． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·天津静海·月考）如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理推出，由线段的中点定义得到，于是得到的周长． 【详解】解：为的中位线， ， 、分别是和的中点， ， 的周长． 【变式题1-2】.（2026·安徽合肥·一模）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵的平分线与边相交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由三角形内角和定理以及等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质可得、，易得，再根据直角三角形的性质可得，即，最后运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2】中点三角形的周长与面积计算 1.核心知识点 三角形中位线定理；相似三角形的性质（周长比相似比，面积比相似比）。 2.解题方法技巧 周长计算：中点三角形的周长原三角形周长（三条中位线长度之和原三角形三边之和）； 面积计算：中点三角形的面积原三角形面积； 若已知中点三角形的周长或面积，可反向推导原三角形的相关量（原三角形周长中点三角形周长，原三角形面积中点三角形面积）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为______． 【答案】5 【分析】根据中位线定理可得，再结合的周长为10，即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·江苏扬州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 【答案】(1)见解析 (2)点D、E分别是的边的中点 【分析】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作线段的垂直平分线，三角形中位线定理． （1）根据，可得到的距离处处相等，再由与的面积相等，可得点P为的中点，然后作的垂直平分线，即可求解； （2）当点D、E分别是的边的中点，由三角形中位线定理知，即可得到的面积与和的面积均相等． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． ； （2）解：当点D、E分别是的边的中点， 由三角形中位线定理知， ∴的面积与和的面积均相等． 故答案为：点D、E分别是的边的中点． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，的周长为，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（记为第1个），以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，以此类推，则第2026个三角形的周长是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理依次可求得第二个三角形和第三个三角形的周长，可找出规律，进而可求得第2026个三角形的周长． 【详解】解：如图，、F分别为、的中点， ，同理可得，， ， 即的周长的周长， 第一个三角形的周长是原三角形周长的， 同理可得的周长的周长的周长的周长， 第二个三角形的周长是原三角形周长的， 依次类推，第个三角形的周长是原三角形周长的， 的周长为a， ∴第2026个三角形的周长是，即； 故答案为：． 【题型3】三角形中位线与平行四边形的综合判定 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行四边形的判定方法（一组对边平行且相等、两组对边分别平行）。 2.解题方法技巧 连接三角形的两条中位线，利用“中位线平行且等于第三边的一半”，可证明两条中位线平行且相等，进而判定四边形为平行四边形； 若题目中存在多个中点，优先连接中点构造中位线，通过中位线的平行关系搭建平行四边形的判定条件； 辅助线技巧：遇“中点”连“中点”，构造中位线是常用策略。 【例题3】.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的周长为2，则的周长是______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了三角形中点四边形、中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到、、、得到、，再根据平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出、、、，再根据三角形的周长公式计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴、、、， ∴、， ∴四边形是平行四边形． （2）解：分别是的中点， 是的中位线， ，即， 同理可得：、、， ∵四边形的周长为2， ∴， ∴的周长是． 故答案为：4． 【变式题3-1】.（23-24八年级下·重庆开州·月考）如图，周长为24的平行四边形对角线交于点为的中点，若，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】依据平行四边形的周长为24，即可得到，再根据，，，即可得到的周长． 本题考查平行四边形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：平行四边形的周长为24， ， 平行四边形对角线、交于点，且， ，， ，且， ∴中，， ∴的周长， 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东河源·月考）如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，推出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ， ，即， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 【培优高频题型】 【题型4】三角形中位线定理的逆用（证明中点或平行） 1.核心知识点 三角形中位线定理的逆定理；平行线的性质；线段中点的判定。 2.解题方法技巧 证明线段中点：若一条线段平行于三角形的一边且等于该边的一半，且线段端点在另外两边上，则端点为这两边的中点； 证明平行关系：先通过逆定理判定线段为中位线，再利用中位线定理推导平行； 注意逆定理的适用条件：线段的两个端点必须在三角形的另外两边上，否则不能判定为中位线。 【例题4】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． 【变式题4-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，菱形的边长为1，，E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交分别于点F，G，的中点分别为M，N． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质，可得．由菱形的性质可得点A和点C关于对角线对称，推出，等量代换可证； （2）由三角形中位线的性质得，，则，当点F与菱形对角线的交点O重合时，最小，即此时最小． 【详解】（1）证明：连接， ∵垂直平分， ∴． ∵四边形为菱形， ∴点A和点C关于对角线对称， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点O， ∵的中点分别为M，N，点G为的中点， ∴，， ∴． 当点F与菱形对角线的交点O重合时，最小，即此时最小， ∵菱形的边长为1，， ∴为等边三角形． ∴． 即的最小值为． 【变式题4-2】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 【题型5】三角形中位线与实际情境的结合（测量、建模） 1.核心知识点 三角形中位线定理；数学建模思想（将实际问题转化为几何图形）。 2.解题方法技巧 实际测量问题：当无法直接测量某条线段长度时（如池塘宽、河流宽），可构造三角形，找到两边中点，测量中位线长度，再根据定理计算目标线段长度； 建模步骤：①确定目标线段为三角形的第三边（如池塘宽）；②找三角形另外两边的中点（如、分别为、中点）；③测量中位线的长度；④计算目标线段长度（）； 注意构造的三角形需满足“两边中点可到达、中位线可测量”的条件。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解： 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·河北张家口·期末）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【答案】（1）；；（2），；（3）见解析， 【分析】（1）利用拼接的特征得到，再利用直角三角形的性质解答即可； （2）利用（1）的方法求得，再利用全等三角形的判定与性质得到；利用对称的性质得到等边三角形的边长； （3）连接，过点A作于点E，则，为所画出两条裁剪线；利用直角三角形的性质解答即可得出结论； 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：；． （2）三条裁剪线、、的数量关系为． 由题意得：，，，， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴等边三角形的边长为； （3）（1）．连接， （2）．过点A作于点E， 则，将纸片沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将绕着点C旋转得到，将绕着点E旋转得到，可以拼成新的等边三角形，如图， 则，为所画出两条裁剪线． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长的裁剪线的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，尺规作图，图形的拼接，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形性质是解题的关键． 【变式题5-3】.（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】（1）10；（2），；（3）见解析；（4）的长为． 【分析】（1）根据平移的性质即可求解； （2）由拼接知：是的中位线，，据此求解即可； （3）根据（2）的方法拼接即可； （4）连接，由拼接知，根据菱形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的拼接，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 【压轴素养题型】 【题型6】三角形中位线与等腰、直角三角形的综合 1.核心知识点 三角形中位线定理；等腰三角形的性质（两底角相等、三线合一）；直角三角形的性质（斜边中线斜边）。 2.解题方法技巧 等腰三角形中：中位线平行于底边，可利用“平行”性质推导角相等； 直角三角形中：结合“斜边中线斜边”与中位线定理，可推导线段之间的等量关系； 优先利用特殊三角形的性质转化线段或角，再结合中位线定理解题。 【例题6】.（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故； （3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解． 【详解】（1）解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式题6-2】.（22-23九年级上·浙江温州·假期作业）如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论； （2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． （2）解：作于点， 矩形， ， ， ， ， ． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 【题型7】中点四边形的形状判定与性质探究 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定；新定义“中点四边形”“中方四边形”的理解。 2.解题方法技巧 判定中点四边形形状：连接原四边形对角线，利用中位线定理得出“中点四边形的边平行且等于原四边形对角线的一半”，再根据原四边形对角线的数量关系（相等）和位置关系（垂直）判定形状（相等→菱形，垂直→矩形，相等且垂直→正方形）； 规律推导：多次顺次连接中点时，注意中点四边形的形状循环规律（如矩形→菱形→矩形→…），周长按“前一个周长的”递减； 中方四边形问题：紧扣“原四边形对角线相等且垂直”的核心条件，结合全等三角形、勾股定理推导线段关系。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长 ， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型8】三角形中位线的探究性问题（多结论、新定义） 1.核心知识点 三角形中位线定理；相似三角形的性质；探究性推理思想。 2.解题方法技巧 多结论判断题：逐一分析每个结论，利用中位线定理、相似性质等验证，注意“中点三角形”的衍生结论（如的三条中位线形成的平行四边形个数为个）； 新定义问题：理解新定义的内涵（如“中位线四边形”指连接四边形各边中点形成的四边形），结合中位线定理推导新定义图形的性质（如任意四边形的中位线四边形为平行四边形，其周长原四边形对角线之和，面积原四边形面积）； 从特殊到一般：先通过特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）探究结论，再推广到一般三角形。 【例题8】.（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）；4 （2），理由见解析 （3） 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质以及直角三角形的相关性质，解题的关键是利用旋转前后图形的全等性和特殊性，结合中点、角度关系推导线段关系． （1）由等边三角形旋转的性质，得，F是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．F是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因F是中点且，故． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵F是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ 则， 又 ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． 故答案为：；4． （2），理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ； （3）如图所示： ∵则 ∵ ∴，则， ，， ；     的长为． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·广东茂名·月考）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： (1)博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： (3)在（2）的条件下，已知，，直接写出、的长度． (4) 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)； 【分析】（1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （3）取的中点M，取的中点N，连接，求得，再证明，利用勾股定理求得，即可求得；连接，利用勾股定理求得，即可推出，根据即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． （2）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形，O是的中点， O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，O是的中点， ， G是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， G是的中点， ， ， ． （3）解：取的中点M，取的中点N，连接， ， 根据（2）得， ，， ， 四边形是正方形，O是的中点， ，，， ， ， 过点M作于点Q， ， ， ， ， ； 如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一是解题的关键． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，与三角形的中位线有关的证明等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式题8-3】.（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）定义：有一组对边相等且这一组所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形” 【提出问题】 （1）如图1，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”； （2）如图2，四边形是“等垂四边形”，，连接，点E，F，G分别是，，的中点，连接，，，试判定的形状，并证明； 【综合运用】 （3）如图3，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）； 【分析】（1）延长，交于点，先证，得，，结合，知，即可得到证明； （2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，根据三个中点知，，，，据此得，，，即可得到证明； （3）延长，交于点，分别取，的中点，，连接，，，由求解即可得到答案； 【详解】解：（1）如图①，延长，交于点， 四边形与四边形都为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， 即， ． ． 又， 四边形是“等垂四边形； （2）是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长，交于点， 四边形是“等垂四边形”， ， ，， 点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ， 是等腰直角三角形； （3）延长，交于点，分别取，的中点，，连接，，， 则， 由（2）可知． ∴最小值为， 故答案为：； 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 易错点 1.混淆三角形中位线与中线的定义：误将连接顶点与对边中点的线段当作中位线，或反之，导致误用定理； 2.忽略中位线定理的条件：直接对非中点连线使用“平行且等于第三边的一半”，或使用逆定理时未确认线段端点是否在三角形两边上； 3.计算时出现比例错误：将“中位线第三边”记反，误算为“第三边中位线”； 4.多个中位线并存时，混淆每条中位线对应的第三边：导致线段长度或平行关系推导错误； 5.中点三角形的面积计算错误：忽略面积比为相似比的平方，误将面积比等同于周长比（），得出“中点三角形面积原三角形面积”的错误结论。 重点 1.掌握三角形中位线的定义，能准确区分中位线与中线； 2.熟练运用三角形中位线定理，进行线段长度、平行关系、角度的计算与证明； 3.理解中点三角形的性质，能快速计算其周长与面积； 4.掌握中位线定理的逆用，能通过“平行且等于第三边的一半”判定线段中点； 5.学会构造中位线解决实际问题与综合几何题，掌握“遇中点连中点”的辅助线技巧。 难点 1.中位线定理的灵活运用：在复杂几何图形中（含多个三角形、四边形），准确找到可构造中位线的条件，搭建解题桥梁； 2.动态问题中中位线的分析：动点或折叠导致图形位置变化时，能准确追踪中位线的对应关系，分情况讨论； 3.跨学科与探究性问题的建模：将实际情境或新定义问题转化为中位线相关的几何问题，提炼核心条件； 4.中位线与其他几何知识的综合应用：如与平行四边形、特殊三角形、相似三角形的结合，需整合多个知识点，设计合理的推理路径。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线的性质进行求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，将绕点E旋转得，则四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据中位线定理可得，根据将绕点E旋转得，可得，进而可得，又由，即可得，进而证明四边形是矩形． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴， ， ∵将绕点E旋转得， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，再总结规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵D、E、F分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴的周长， ∴第三个三角形的周长是， 同理可得，第四个三角形的周长是……， ∴第2021个三角形的周长是． 4．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 二、填空题 5．如图，是的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，，则长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了角的平分线作图，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题的关键． 利用基本作图得到平分，则，再根据三角形中位线定理得到，，，接着证明得到，所以，从而得到的长． 【详解】解：由作法得平分， ， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ． 6．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 7．如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由直角三角形的性质可得，从而得出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 8．如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，相交于点，先证明，，，从而，再由，得，可证明四边形是菱形，从而可求得的长． 【详解】解：如图，连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，点G为线段的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点G为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴． 三、解答题 9．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【答案】10 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 10．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握菱形的判定方法．由等腰三角形的性质推出，由三角形中位线定理推出，得到，因此，得到，又，，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 11．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】由已知条件推出四边形为平行四边形，是的中位线，由三角形中位线的性质可得出，，从而得出，由线段的中点可得出，再结合已知条件可得出，则可证明四边形为正方形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴, ∵,, ∴， ∴四边形为正方形． 12．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 三角形的中位线 知识点1：三角形中位线的定义 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 2.核心特征： 中位线是线段，端点必须是三角形两边的中点（缺一不可）； 一个三角形有三条中位线，三条中位线首尾相连形成的三角形叫作“中点三角形”； 中位线与三角形的中线区别：中线是连接顶点与对边中点的线段，而中位线连接的是两边中点，二者端点位置不同（如下表）。 名称 端点特征 数量 图形示意（以为例） 三角形中位线 连接两边中点（如、分别为、中点，为中位线） 3条 在上，在上，且 三角形中线 连接顶点与对边中点（如为中点，为中线） 3条 为顶点，在上，平分 知识点2：三角形中位线定理 1.定理内容：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 2.符号语言：如图，在中，若、分别是、的中点，则，且。 3.定理推论： 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形（中点三角形与原三角形相似，相似比为）； 中点三角形的周长是原三角形周长的，面积是原三角形面积的； 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（定理的逆用，可用于证明线段中点）。 知识点3：三角形中位线定理的逆定理 1.逆定理内容：若一条线段平行于三角形的一边，且等于该边的一半，则这条线段是三角形的中位线（需满足线段的两个端点分别在三角形的另外两边上）。 2.符号语言：如图，在中，若，且，同时在上、在上，则、分别是、的中点，是的中位线。 3.适用场景：用于快速判定线段中点或证明中位线，简化几何推理过程。 【基础必考题型】 【题型1】利用中位线定理求线段长度或角度 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行线的性质（同位角、内错角相等）。 2.解题方法技巧 求线段长度：先确定中位线对应的第三边，再根据“中位线第三边”计算，若已知中位线长度，可反向求第三边长度（第三边中位线长度）； 求角度：利用中位线定理的“平行”性质，将未知角转化为已知角（如中位线平行于第三边，同位角相等）； 多个中位线并存时，分别找准每条中位线对应的第三边，避免混淆。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·天津静海·月考）如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·安徽合肥·一模）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【题型2】中点三角形的周长与面积计算 1.核心知识点 三角形中位线定理；相似三角形的性质（周长比相似比，面积比相似比）。 2.解题方法技巧 周长计算：中点三角形的周长原三角形周长（三条中位线长度之和原三角形三边之和）； 面积计算：中点三角形的面积原三角形面积； 若已知中点三角形的周长或面积，可反向推导原三角形的相关量（原三角形周长中点三角形周长，原三角形面积中点三角形面积）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为______． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·江苏扬州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，利用上述结论求的面积． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，的周长为，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（记为第1个），以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，以此类推，则第2026个三角形的周长是___________． 【题型3】三角形中位线与平行四边形的综合判定 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行四边形的判定方法（一组对边平行且相等、两组对边分别平行）。 2.解题方法技巧 连接三角形的两条中位线，利用“中位线平行且等于第三边的一半”，可证明两条中位线平行且相等，进而判定四边形为平行四边形； 若题目中存在多个中点，优先连接中点构造中位线，通过中位线的平行关系搭建平行四边形的判定条件； 辅助线技巧：遇“中点”连“中点”，构造中位线是常用策略。 【例题3】.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的周长为2，则的周长是______． 【变式题3-1】.（23-24八年级下·重庆开州·月考）如图，周长为24的平行四边形对角线交于点为的中点，若，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东河源·月考）如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【培优高频题型】 【题型4】三角形中位线定理的逆用（证明中点或平行） 1.核心知识点 三角形中位线定理的逆定理；平行线的性质；线段中点的判定。 2.解题方法技巧 证明线段中点：若一条线段平行于三角形的一边且等于该边的一半，且线段端点在另外两边上，则端点为这两边的中点； 证明平行关系：先通过逆定理判定线段为中位线，再利用中位线定理推导平行； 注意逆定理的适用条件：线段的两个端点必须在三角形的另外两边上，否则不能判定为中位线。 【例题4】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【变式题4-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，菱形的边长为1，，E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交分别于点F，G，的中点分别为M，N． (1)求证：； (2)求的最小值． 【变式题4-2】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【题型5】三角形中位线与实际情境的结合（测量、建模） 1.核心知识点 三角形中位线定理；数学建模思想（将实际问题转化为几何图形）。 2.解题方法技巧 实际测量问题：当无法直接测量某条线段长度时（如池塘宽、河流宽），可构造三角形，找到两边中点，测量中位线长度，再根据定理计算目标线段长度； 建模步骤：①确定目标线段为三角形的第三边（如池塘宽）；②找三角形另外两边的中点（如、分别为、中点）；③测量中位线的长度；④计算目标线段长度（）； 注意构造的三角形需满足“两边中点可到达、中位线可测量”的条件。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式题5-2】.（24-25八年级下·河北张家口·期末）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【变式题5-3】.（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【压轴素养题型】 【题型6】三角形中位线与等腰、直角三角形的综合 1.核心知识点 三角形中位线定理；等腰三角形的性质（两底角相等、三线合一）；直角三角形的性质（斜边中线斜边）。 2.解题方法技巧 等腰三角形中：中位线平行于底边，可利用“平行”性质推导角相等； 直角三角形中：结合“斜边中线斜边”与中位线定理，可推导线段之间的等量关系； 优先利用特殊三角形的性质转化线段或角，再结合中位线定理解题。 【例题6】.（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【变式题6-2】.（22-23九年级上·浙江温州·假期作业）如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． ∵， ∴， ∵， ∴， 【题型7】中点四边形的形状判定与性质探究 1.核心知识点 三角形中位线定理；平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定；新定义“中点四边形”“中方四边形”的理解。 2.解题方法技巧 判定中点四边形形状：连接原四边形对角线，利用中位线定理得出“中点四边形的边平行且等于原四边形对角线的一半”，再根据原四边形对角线的数量关系（相等）和位置关系（垂直）判定形状（相等→菱形，垂直→矩形，相等且垂直→正方形）； 规律推导：多次顺次连接中点时，注意中点四边形的形状循环规律（如矩形→菱形→矩形→…），周长按“前一个周长的”递减； 中方四边形问题：紧扣“原四边形对角线相等且垂直”的核心条件，结合全等三角形、勾股定理推导线段关系。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【题型8】三角形中位线的探究性问题（多结论、新定义） 1.核心知识点 三角形中位线定理；相似三角形的性质；探究性推理思想。 2.解题方法技巧 多结论判断题：逐一分析每个结论，利用中位线定理、相似性质等验证，注意“中点三角形”的衍生结论（如的三条中位线形成的平行四边形个数为个）； 新定义问题：理解新定义的内涵（如“中位线四边形”指连接四边形各边中点形成的四边形），结合中位线定理推导新定义图形的性质（如任意四边形的中位线四边形为平行四边形，其周长原四边形对角线之和，面积原四边形面积）； 从特殊到一般：先通过特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）探究结论，再推广到一般三角形。 【例题8】.（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·广东茂名·月考）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： (1)博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： (3)在（2）的条件下，已知，，直接写出、的长度． (4) 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【变式题8-3】.（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）定义：有一组对边相等且这一组所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形” 【提出问题】 （1）如图1，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”； （2）如图2，四边形是“等垂四边形”，，连接，点E，F，G分别是，，的中点，连接，，，试判定的形状，并证明； 【综合运用】 （3）如图3，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为 ． 易错点 1.混淆三角形中位线与中线的定义：误将连接顶点与对边中点的线段当作中位线，或反之，导致误用定理； 2.忽略中位线定理的条件：直接对非中点连线使用“平行且等于第三边的一半”，或使用逆定理时未确认线段端点是否在三角形两边上； 3.计算时出现比例错误：将“中位线第三边”记反，误算为“第三边中位线”； 4.多个中位线并存时，混淆每条中位线对应的第三边：导致线段长度或平行关系推导错误； 5.中点三角形的面积计算错误：忽略面积比为相似比的平方，误将面积比等同于周长比（），得出“中点三角形面积原三角形面积”的错误结论。 重点 1.掌握三角形中位线的定义，能准确区分中位线与中线； 2.熟练运用三角形中位线定理，进行线段长度、平行关系、角度的计算与证明； 3.理解中点三角形的性质，能快速计算其周长与面积； 4.掌握中位线定理的逆用，能通过“平行且等于第三边的一半”判定线段中点； 5.学会构造中位线解决实际问题与综合几何题，掌握“遇中点连中点”的辅助线技巧。 难点 1.中位线定理的灵活运用：在复杂几何图形中（含多个三角形、四边形），准确找到可构造中位线的条件，搭建解题桥梁； 2.动态问题中中位线的分析：动点或折叠导致图形位置变化时，能准确追踪中位线的对应关系，分情况讨论； 3.跨学科与探究性问题的建模：将实际情境或新定义问题转化为中位线相关的几何问题，提炼核心条件； 4.中位线与其他几何知识的综合应用：如与平行四边形、特殊三角形、相似三角形的结合，需整合多个知识点，设计合理的推理路径。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，将绕点E旋转得，则四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 5．如图，是的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，，则长为________． 6．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 7．如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 8．如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______． 三、解答题 9．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 10．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 11．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 12．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $