10.2分式的基本性质重难点题型（4个知识点+4种题型） 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

10.2 分式的基本性质（4个知识点+4大题型） 【题型归纳】 题型1 分式值不变 1 题型2 分式值的扩大和缩小 1 题型3 最简分式与最简公分母 2 题型4 利用分式的基本性质求值 2 一、知识梳理 要点一、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 要点二、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点三、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 要点四、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 二、题型精讲 题型1 分式值不变 例1.下列各式中、的值均扩大为原来的2倍，则分式的值一定保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】若把，的值同时缩小为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则□可以是（　　） A．2 B．y C．y2 D．3y 题型2 分式值的扩大和缩小 例2.若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（ ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【变式2-1】下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】把分式中的x和y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（ ） A．扩大m倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 题型3 最简分式与最简公分母 例3.分式与的最简公分母是_________． 【变式3-1】给出下列分式：、、、，其中最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】分式的最简公分母是　 　． 题型4 利用分式的基本性质求值 例4.已知，求＝__________． 【变式4-1】已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（　　） A．81 B．64 C．47 D．30 【变式4-2】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【变式4-3】阅读下列解题过程，并完成问题： 若2，求的值． 解：因为2，所以a＝﹣2b． 所以． （1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　 　； （2）已知，求的值； （3）已知0，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 分式的基本性质（4个知识点+4大题型） 【题型归纳】 题型1 分式值不变 1 题型2 分式值的扩大和缩小 3 题型3 最简分式与最简公分母 4 题型4 利用分式的基本性质求值 5 一、知识梳理 要点一、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 要点二、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点三、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 要点四、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 二、题型精讲 题型1 分式值不变 例1.下列各式中、的值均扩大为原来的2倍，则分式的值一定保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据分式的基本性质,分子分母同时乘除同一个不为零的数或式,分式的值不发生改变进行变形即可求解. 【详解】解:根据题意,将x变成2x,y变成2y化简求解:A. 变成,该选项不符合题意, B. 变成,该选项不符合题意,C. 变成,该选项不符合题意, D. 变成,该选项符合题意,故选D. 【点睛】本题考查了分式的基本性质,属于基础题,掌握分式的性质是解题关键. 【变式1-1】若把，的值同时缩小为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出选项即可． 【详解】A. ，选项说法错误，不符合题意； B. ，选项说法错误，不符合题意； C. ，选项说法正确，符合题意； D. ，选项说法错误，不符合题意故选C 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变． 【变式1-2】若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则□可以是（　　） A．2 B．y C．y2 D．3y 【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2． 【解答】解：∵x和y都扩大3倍， ∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍， ∵分式的值不变， ∴x2+□也扩大到原来的9倍， ∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍， ∴□也要扩大到原来的9倍， ∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍， ∴□可以是y2． 故选：C． 题型2 分式值的扩大和缩小 例2.若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（ ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：中的x、y都扩大为原来的2倍，得， ∴这个代数式的值没有发生变化故选B． 【点睛】本题考查了分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变，利用分式的性质是解题关键． 【变式2-1】下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意； B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意； C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意； D、分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】把分式中的x和y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（ ） A．扩大m倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出扩大m倍后的分式为，然后利用分式的基本性质即可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：分式中的x和y都扩大m倍，则分式变为， ∴分式的值没有改变，故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握分式的基本性质． 题型3 最简分式与最简公分母 例3.分式与的最简公分母是_________． 【答案】2a2b2c 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．故答案为2a2b2c． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【变式3-1】给出下列分式：、、、，其中最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴最简分式是，共1个故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 【变式3-2】分式的最简公分母是　x（x+2）（x﹣2）　． 【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【解答】解：， 则最简公分母为x（x+2）（x﹣2）， 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 题型4 利用分式的基本性质求值 例4.已知，求＝__________． 【答案】-8 【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案. 【详解】解：由题意可知，即， 则有.故答案为：. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键. 【变式4-1】已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（　　） A．81 B．64 C．47 D．30 【答案】C 【分析】根据x2+3x+1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值． 【详解】解：∵x2+3x+1＝0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3，∴（x+）2＝9， ∴x2+2+＝9，∴x2+＝7，∴（x2+）2＝49，∴x4+2+＝49，∴x4+＝47，故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式4-2】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式． 【解答】解：设k， 则：， （1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z）， ∵x+y+z≠0， ∴k＝2， ∴原式． 【变式4-3】阅读下列解题过程，并完成问题： 若2，求的值． 解：因为2，所以a＝﹣2b． 所以． （1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　约分　； （2）已知，求的值； （3）已知0，求的值． 【分析】（1）根据分式的分子、分母都除以b2，知道是对分式进行了约分； （2）根据条件得：b＝2a，代入代数式中，约去a2即可得到答案； （3）设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k，代入代数式中，约去k，即可得到答案． 【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2， 故答案为：约分； （2）∵， ∴b＝2a， ∴原式 ； （3）设k（k≠0）， 则x＝3k，y＝4k，z＝6k， ∴原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $