精品解析：江苏扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期高二数学期中考试试卷

扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二数学期中考试试卷 2026.4 命题人：唐玉琴 审核人：季明 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 与向量共线的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 32 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）. A. 若点总满足，则动点的轨迹是圆 B. 若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C. 若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数存在两个极值点、，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13. 若函数，则______. 14. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若， 为的中点， 为棱上靠近点 的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，四面体的所有棱长都等于2，，，，分别是棱，，，的中点. （1）求； （2）求的长度； （3）连接，求异面直线与所成角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二数学期中考试试卷 2026.4 命题人：唐玉琴 审核人：季明 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 与向量共线的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 3. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 4. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 【答案】C 【解析】 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种． 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 8. 在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）. A. 若点总满足，则动点的轨迹是圆 B. 若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C. 若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：由题意可得动点的轨迹是直线，即可判断；建立空间坐标系，利用空间向量逐一判断B，C，D. 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即​，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得  令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 11. 已知函数存在两个极值点、，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知关于的方程有两个不等的正根、，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根、， 所以，解得，即实数的取值范围为， 故，A错D错，B对C对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，所以， 解得. 14. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【解析】 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，所以. 综上，当时，函数的最小值为，最大值为. 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可． 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种. 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种. 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若， 为的中点， 为棱上靠近点 的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以 是等腰直角三角形，所以，， 所以， 在 中，由余弦定理得，， 即，所以，所以， 所以 是等腰直角三角形，所以， 又因为，且，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）空间几何证明，利用平面几何关系找到，结合条件，利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用向量夹角余弦与平面夹角的关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则有，，，， 则，因为 为的中点，所以，， 因为 为棱上靠近点 的三等分点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 记平面与平面夹角的余弦值为， 所以. 18. 如图，四面体的所有棱长都等于2，，，，分别是棱，，，的中点. （1）求； （2）求的长度； （3）连接，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再根据定义式计算数量积即可； （2）先由向量线性运算得，再根据模长公式求解； （3）由向量线性运算得，进而得到，再计算，结合向量夹角公式求解． 【小问1详解】 解：，分别是棱，的中点， , 又四面体的所有棱长都等于2， ； 【小问2详解】 解：， 又, ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意正整数，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【小问1详解】 当时，， 所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，，，， 累加得： 所以，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $