精品解析：2025～2026学年下学期期中学业水平测试八年级数学试题

2025-2026学年下学期期中学业水平测试 八年级数学试题 说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分． 2．考试时间：90分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共30分． 1. 2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 真命题的逆命题不一定是真命题 B. 对顶角相等有逆定理 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 4. 如图，在中，，点D为边上一点，的垂直平分线交于点F，交于点E，和的延长线交于点G，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 我们称网格线的交点为格点．如图，在5行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 7个 6. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知真命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．如图，在长方形中，，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点P是射线上一动点（不与点O重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A对应的坐标为，若叶片每秒绕点O逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 12. 小颖在描述一个关于x的不等式：①x的系数是负数；②不等式的所有解都是非负数，请你写出一个符合小颖描述的不等式_______． 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中 ，则 等于____． 14. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为_______． 15. 如图，在中，，，点D是边上的一个动点，以为直角边在上方作等腰直角三角形，且，连接，的最大面积为______． 三、解答题：本题共7小题，共75分． 16. 解不等式组．请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的奇数解有___个． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． （1）将向上平移6个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到，请画出； （2）连接，，则这两条线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （3）线段在平移过程中扫过区域的面积为_____． 18. 如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； （2）若，，则中线长度的取值范围是______． 19. 2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： （1）任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 20. 定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 21. 如图，在平面直角坐标系中，有三个动点A、B和C，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动． （1）如图1，连接，将绕点A旋转至，当时，点D坐标为：_______线段所在直线的函数表达式为_______； （2）如图2，连接，将绕点C逆时针旋转至，连接交y轴于点N，当时，求运动时间t． 22. 【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． （2）【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． （3）【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中学业水平测试 八年级数学试题 说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分． 2．考试时间：90分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共30分． 1. 2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可得到结果． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； C．不能由如图所示的图形经过旋转得到，故本选项符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，不妨取，，则，，，即，故A不成立； ∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，不等式两边同加，可得，故B不成立； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，可得，故C不成立； ∵，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，可得，故D成立. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 真命题的逆命题不一定是真命题 B. 对顶角相等有逆定理 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【解析】 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 4. 如图，在中，，点D为边上一点，的垂直平分线交于点F，交于点E，和的延长线交于点G，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再利用线段的垂直平分线的性质求出，最后利用三角形外角性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. 我们称网格线的交点为格点．如图，在5行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线以及网格作图，解题的关键是利用分类讨论思想和熟悉等腰三角形的性质，分为底边、 为腰且 A 为顶点、 为腰且 B 为顶点三种情况讨论，找出所有满足条件的格点即可． 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 分三种情况讨论： ① 当 时，则点 C 在线段  的垂直平分线上，如图， 此时满足条件的格点 C 有2个 ； ② 当 时，如图， 此时满足条件的格点 C 共有3个； ③ 当 时，如图， 此时满足条件的格点 C 共有3个， 综上所述，满足条件的格点 C 共有个， 故选∶C． 6. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 7. 已知真命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．如图，在长方形中，，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，由折叠的性质可得，则，根据题干的结论可得，则由平行线的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，已知点P是射线上一动点（不与点O重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当两角的和小于或一个角大于时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与的和小于时，三角形为钝角三角形，则有，即； 当大于时，此时三角形为钝角三角形，则有，即， 综上，的取值范围是或． 9. 已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 10. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A对应的坐标为，若叶片每秒绕点O逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由所有叶片同时每秒绕原点逆时针转动，可得第2026秒时的位置，可求得其坐标． 【详解】解：， ， ∴第2026秒时叶片尖点A在第二象限角平分线上， ∴第2026秒时叶片尖点A的坐标为． 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 【答案】 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 12. 小颖在描述一个关于x的不等式：①x的系数是负数；②不等式的所有解都是非负数，请你写出一个符合小颖描述的不等式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由题意，不等式可以为. 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中 ，则 等于____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为_______． 【答案】 27 【解析】 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴， 解得． 15. 如图，在中，，，点D是边上的一个动点，以为直角边在上方作等腰直角三角形，且，连接，的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半和勾股定理，分别求出，，，，设，利用等腰直角三角形的性质，证明，得到，从而得出，再结合平方的非负性以及不等式的性质，即可求出最大值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点， ，， ，， 在中，， ， ， ，， 在中，， ，， ， 设，则， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即的最大面积为． 三、解答题：本题共7小题，共75分． 16. 解不等式组．请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的奇数解有___个． 【答案】（1） （2） （3） 在数轴上表示不等式的解集如图： （4）2 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解：不等式②，得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可知，， ∴原不等式组的奇数解有，共2个. 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． （1）将向上平移6个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到，请画出； （2）连接，，则这两条线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （3）线段在平移过程中扫过区域的面积为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）32 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据平移的性质，直接作答即可； （3）分割法求出线段在平移过程中扫过区域的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平移， ∴； 【小问3详解】 解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 18. 如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； （2）若，，则中线长度的取值范围是______． 【答案】（1） ①如图，、即为所求， ②即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线与交于点，连接即可； ②由过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可求解； （2）延长到点M，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：延长到点M，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， 即， 19. 2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： （1）任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 【答案】（1） A、B两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元 （2） 函数关系为（，且为整数），购买型号3台、型号7台满足要求且费用最少，最少费用为165万元 【解析】 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买3台型机器人，2台型机器人，共需90万元；买1台型机器人，6台型机器人，共需110万元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 又， 解得：， （，且为整数）， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值为（万元）， 此时购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人3台，购买型号智能机器人7台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是165万元． 20. 定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】（1）数对是异差数对． （2） 证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【解析】 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴数对是异差数对． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 21. 如图，在平面直角坐标系中，有三个动点A、B和C，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动． （1）如图1，连接，将绕点A旋转至，当时，点D坐标为：_______线段所在直线的函数表达式为_______； （2）如图2，连接，将绕点C逆时针旋转至，连接交y轴于点N，当时，求运动时间t． 【答案】（1）或；或 （2） 【解析】 【分析】（1）分顺时针和逆时针旋转两种情况，进行讨论求解即可； （2）求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出点坐标，勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，当时，， ∴， 当将绕点A顺时针旋转至时，如图，作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴； 当将绕点A逆时针旋转至时，如图，作轴于点， 同法可得， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， 作轴于点，如图， 同（1）法可得， ∴， ∴， ∴， 同（1）法可得，直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． （2）【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． （3）【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【答案】（1） 证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2） 证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ② 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $