21.2.1 平行四边形及其性质 第1课时课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2 平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第二十一章 四边形 人教版八年级下册 第1课时 平行四边形的性质（1） 下面图形给我们留下什么图形的形象？ 伸缩门 竹篱笆 新课导入 只有一组对边平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 梯形 新课导入 A B C D 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形用“□ ”表示. 平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”. 注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序. 什么样的图形叫作平行四边形呢？ 新知探究 （一）平行四边形的定义 几何语言: 双重 含义 ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. A B C D 新知探究 平行四边形的基本元素 基本 元素 主要内容 图示 边 邻边 对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA 两组：AB 和 DC，AD 和 BC 四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC 两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC 两条：AC 和 BD 新知探究 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ 平行四边形满足两个条件 一、是四边形 二、两组对边分别平行 × √ × × √ 新知探究 如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个 A B C D E G H O F C 图中EF分出2个， GH分出2个， EF和GH分出4个， 加上□ABCD， 共有9个平行四边形 . 练一练 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下. （二）平行四边形边和角的性质 新知探究 AD = 5.5 cm， BC = 5.5 cm， AD = BC BA = 3.5 cm， CD = 3.5 cm， BA = CD 猜想 1：平行四边形的对边相等. 新知探究 A D B C ∠A = 120°， ∠C = 120°， ∠A = ∠C ， ∠B = 60°， ∠D = 60°， ∠B = ∠D . 猜想 2：平行四边形的对角相等. 新知探究 猜想 1：平行四边形的对边相等. 猜想 2：平行四边形的对角相等. A D B C 思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？ 连接任意一条对角线即可. 你能证明这些猜想吗？ 新知探究 1 4 2 3 证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC. A D B C ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴△ABC ≌△CDA. ∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D. （两直线平行，内错角相等） （ASA） ∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3， ∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3， 即∠BAD = ∠DCB. 请你自己证明∠BAD = ∠DCB. 新知探究 A D B C 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？ 答：能.证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°. ∴∠A = ∠C. 同理可证 ∠B = ∠D. 新知探究 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等 . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB = CD,BC = AD； ∠A = ∠C，∠B = ∠D. 在平行四边形ABCD中， AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. 几何语言： 平行四边形的性质 A D B C 归纳总结 1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证:∠ADE = ∠CBF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD. ∵E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴AE =AB，CF = CD. ∴AE = CF. ∴△AED≌△CFB(SAS). ∴△ADE=∠CBF. 练一练 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F. （1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数； 解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC， ∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°. ∵四边形 BCDE 是平行四边形， ∴∠E = ∠C = 65°. 练一练 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F. （2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长. 解：∵四边形 BCDE 是平行四边形， ∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD， ∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A. ∵AD = CD，BE = AD. ∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3. 练一练 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ D C A B O OA = OC，OB = OD. 用尺子量一量，你发现了什 么？自己动手试一试. （三）平行四边形对角线的性质 新知探究 D C A B O D C A B O D C A B O 想一想，怎么证明？ 改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？ 新知探究 如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ D C A B O 4 2 1 3 证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB，DC = AB. ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴△DCO ≌ △BAO（ASA）. ∴OD = OB，OC = OA. 同理，△OAD ≌△OCB. 新知探究 平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. A B C D O 1 2 4 3 平行四边形的性质 归纳总结 【思路分析】 平行四边形对边相等 BC，CD 的长 运用勾股定理 AC 的长 面积公式 □ ABCD 的面积 典例精析 典例精析 1. 如图，若四边形ABCD是平行四边形，则下列说法错 误的是(　D　) A. AD＝BC B. AB∥CD C. ∠A＝∠C D. AB＝BC D 课堂练习 A层　基础练 2. 在▱ABCD中，AB＝7，BC＝4，则▱ABCD的周长 是(　C　) A. 3 B. 11 C. 22 D. 28 C A层　基础练 3. 如图，在▱ABCD中，点E在DC的延长线上. 若∠B＝50°，则∠1的度数是 ⁠. 50°　 A层　基础练 4. 如图，在▱ABCD中，若∠D＝130°，则∠A ＝ °，∠B＝ °，∠C＝ ⁠°. 50　 130　 50　 A层　基础练 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列结论一定成立的是(　C　) A. AC⊥BD B. AC＝BD C. OB＝OD D. ∠ABC＝∠BAC C A层　基础练 6. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知 BD＝12，AC＝6，△BOC的周长为17，则AD的长为 (　C　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 C A层　基础练 7. (教材P57练习T2)如图，在▱ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝10，AO＝ AC＝4， DO＝ BD＝7，AB＝CD. ∴△AOD的周长＝AD＋DO＋AO＝10＋7＋4＝21. ∵△ABC的周长＝AB＋AC＋BC， △DBC的周长＝BD＋CD＋BC， ∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BD－AC＝14－8＝6. ∴△DBC的周长比△ABC的周长长，长6. A层　基础练 8. 如图，在▱ABCD 中，AC＝24，BD＝38，AB＝ m，则 m 的取值范围是(　C　) A. 24＜m＜39 B. 14＜m＜62 C. 7＜m＜31 D. 7＜m＜12 C B层　提升练 9. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边 形，则图中α的度数为 ⁠. 30°　 B层　提升练 10. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝6 cm，BC＝ 4 cm，∠B＝45°，则▱ABCD的面积是(　D　) D B层　提升练 11. 【材料阅读】小明偶然发现线段MN的端点M的坐标为(1，2)，端点N的坐标 为(3，4)，则这条线段MN的中点坐标为(2，3).在平面直角坐标系中，以任意点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为 . (1)【知识运用】如图，▱OEFG的对角线相交于点H，点E在x轴上，O为坐标原点，点F的坐标为(4，3)，则点H的坐标为 ⁠； 　 解：(1)设点H的坐标为(x，y). ∵F(4，3)，O(0，0)，H为OF中点， ∴x＝ ＝2，y＝ ＝ . ∴点H的坐标为 ， 故答案为： . C层　拓展练 11. 【材料阅读】小明偶然发现线段MN的端点M的坐标为(1，2)，端点N的坐标 为(3，4)，则这条线段MN的中点坐标为(2，3).在平面直角坐标系中，以任意点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为 . (2)【能力拓展】在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点， 另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，求点D的坐标. 解：(2)设点D的坐标为(m，n). 当BC为对角线时，BC的中点坐标为 . ∵点A的坐标为(－1，2)， ∴ 解得 ∴此时点D的坐标为(5，3). 当AC为对角线时， 同理求得点D的坐标为(－3，5). 当AB为对角线时， 同理求得点D的坐标为(1，－1). 综上，点D的坐标为(5，3)，(－3，5)或(1，－1). C层　拓展练 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 两组对角分别相等，邻角互补 对角线互相平分 课堂小结 37 $