精品解析：山东日照市岚山区2025-2026学年下学期学生发展质量检测八年级数学试题

2025～2026学年下学期学生发展质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在试卷和答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不予评分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数，属于勾股数的是（ ） A. 1，，2 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义．掌握勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是解题关键． 根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数即可选择． 【详解】A.1，，2，三个数不都是正整数， 故A中三个数不是勾股数， 不符合题意； B. 6，8，10，三个数都是正整数，且， 故B中三个数是勾股数， 符合题意； C. 0.3，0.4，0.5，、三个数都不是正整数， 故C中三个数不是勾股数， 不符合题意； D. 2，3，4，三个数都是正整数，但， 故D中三个数不是勾股数， 不符合题意． 故选：B． 3. 平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．利用平行四边形的对角相等性质直接求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴． 故选：B． 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式，原式，根据，可得． 【详解】原式． 因为， 所以． 所以． 所以原式的值在和之间． 故选：B 5. 已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 6. 综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 7. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复， 又∵余2， ∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上， 又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， ∴第个正方形中含点O的对角线长为， ∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为， 故选： 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，要使原式有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是， 则x的取值范围是． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点，，，，，都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，，进一步求得、的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ，，， ， 根据题意可知，，， ， ， 在和中， ， ， 同理可得， 则有，， 又， ， 长方形的面积． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查中位线定理，矩形的性质，轴对称最短路径问题(将军饮马问题)，勾股定理等知识，掌握中位线定理和将军饮马模型是解题的关键．连接，结合，，，得点G为的中点， F为的中点，得到，，从而把的最小值转化为即的最小值问题，利用轴对称最短路径问题，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴点G为的中点， ∵F为的中点， ∴，， ∴， 作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且． ∴， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与________是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 【答案】（1） （2）不是 【解析】 【分析】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得关于1的“平衡数”； （2）根据，可以先求出m的值，然后即可计算出与的和，再看是否等于2即可． 本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答问题． 【小问1详解】 解：设与x是关于1的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴与不是关于1的“平衡数”． 18. 如图，在中，，，的角平分线交于点E，交的延长线于点F，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，再证明，进而求出结论． 【详解】解：在中，，， ，， ， 平分， ， ， ， ． 19. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 20. 如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解： 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 【点睛】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 21. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 22. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）根据所对的直角边是斜边的一半，得到，即可得到； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形为菱形，列式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：能； ∵，，， ∴，， ∴点移动的时间为：，点移动的时间为：， ∴运动的总时间为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握含度角的直角三角形中，度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 23. 【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． （1） ；点A到的距离是 ． 【转一转】 （2）将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1），2 （2） 不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期学生发展质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在试卷和答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不予评分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，属于勾股数的是（ ） A. 1，，2 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 2，3，4 3. 平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（ ） A. B. C. D. 6. 综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 7. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 有意义，则x的取值范围是______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 14. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点，，，，，都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 15. 如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与________是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 18. 如图，在中，，，的角平分线交于点E，交的延长线于点F，求的长． 19. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20. 如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 21. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 22. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 23. 【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． （1） ；点A到的距离是 ． 【转一转】 （2）将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $