专题06二元一次方程（组）的概念、解二元一次方程组复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

专题06二元一次方程（组）的概念、解二元一次 方程组复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.掌握二元一次方程、方程组及它们的解的定义，能准确判断、检验方程（组）及解的合理性。 2.熟练掌握代入、加减两种消元法，能根据方程组特点选简便方法，做到步骤规范、计算精准。 3.初步运用方程组解决简单实际问题，提升分析与解决问题的能力。 4.掌握“已知方程组解的情况求参数”的核心方法，能根据解的三种情况求解参数。 核心题型◆归纳 题型1二元一次方程的定义 题型2二元一次方程的解 题型3判断是否是二元一次方程组 题型4判断是否是二元一次方程组的解 题型5已知二元一次方程组的解求参数 题型6代入消元、加减消元法 题型7二元一次方程组的特殊解法 题型8二元一次方程组的错解复原问题 题型9构造二元一次方程组求解 题型10已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型11方程组相同解问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程 1.定义：含有两个未知数（常用x、y表示），且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的方程，叫做二元一次方程。 2.关键词：两个未知数、次数为1、整式方程。 知识点02.二元一次方程的解 1.定义：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 2.关键要点： （1）解是“一对数”（如x=2，y=3），单独一个未知数的值不是解。 （2）一个二元一次方程有无数组解（给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值）。 （3）检验方法：将一对值代入方程，左右两边相等则为解，反之不是。 知识点03二元一次方程组 1.定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 2.关键词：相同未知数、每个方程为二元一次方程（或化简后是）、一组方程。 知识点04二元一次方程组的解 1.定义：使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 2.关键要点： （1）解需同时满足方程组中每一个方程，仅满足一个方程的不是解。 （2）解的三种情况：① 唯一一组解；② 无数组解（两方程化简后完全相同）；③ 无解（两方程化简后矛盾，如 （3）检验方法：将一对值代入所有方程，均满足则为解。 知识点05解二元一次方程组的方法 核心：消元（将二元转化为一元），常用代入消元法和加减消元法。 1.代入消元法:方程组中至少一个方程可轻松变形为“x=ay+b”或“y=ax+b”（一个未知数能用另一个未知数表示）。 2.步骤:(1)解：选系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y=kx+b）； (2)代：将变形后的方程代入另一个方程，消元得一元一次方程； (3)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (4)回代：将所求值代入变形后的方程，得另一个未知数的值； (5)验：代入原方程组检验。 3.加减消元法:两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，可乘适当数转化。 4.步骤:(1)找：找出同一未知数的系数特点（相等或互为相反数）； (2)配：系数不满足时，乘适当数使同一未知数系数相等或互为相反数； (3)消：相加（系数互为相反数）或相减（系数相等），消元得一元一次方程； (4)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (5)回代：代入原方程求另一个未知数的值； (6)验：代入原方程组检验。 知识点06方程组的解方法选择技巧 1.如“x=...”“y=...”形式的方程，优先用代入消元法（步骤简洁）； 2.同一未知数系数易配平，优先用加减消元法（计算量小）； 3.系数含分数、小数，先化为整数系数，再选方法（减少错误 题型解析◆精准备考 题型1二元一次方程的定义 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 2．已知是关于的二元一次方程，则__________ 3．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 题型2二元一次方程的解 1．若是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程，请你用含的代数式表示，则_______． 3．把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 题型3判断是否是二元一次方程组 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 2．下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 3．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 题型4判断是否是二元一次方程组的解 1．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 2．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 3．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 题型5已知二元一次方程组的解求参数 1．若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 2．关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 3．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 题型6代入消元、加减消元法 1．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A．B．C． D． 2．已知二元一次方程组，则______． 3．解方程组： (1) (2) 题型7二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 3．阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 题型8二元一次方程组的错解复原问题 1．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 3．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 题型9构造二元一次方程组求解 1．若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．，B．，C．， D．， 2．若规定，若，，则的值是_____． 3．已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 题型10已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．-3 2．关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 3．【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 题型11方程组相同解问题 1．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 3．如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 4．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 5．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 6．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 二、填空题 7．若单项式与是同类项，__________． 8．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 9．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 10．已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么______． 11．若实数，同时满足，，则的值为________． 三、解答题 12．某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 13．在解方程组时，小明解得，求的值． 14．解方程： (1)； (2)． 15．本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 16．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 17．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 18．若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程（组）的概念、解二元一次 方程组复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.掌握二元一次方程、方程组及它们的解的定义，能准确判断、检验方程（组）及解的合理性。 2.熟练掌握代入、加减两种消元法，能根据方程组特点选简便方法，做到步骤规范、计算精准。 3.初步运用方程组解决简单实际问题，提升分析与解决问题的能力。 4.掌握“已知方程组解的情况求参数”的核心方法，能根据解的三种情况求解参数。 核心题型◆归纳 题型1二元一次方程的定义 题型2二元一次方程的解 题型3判断是否是二元一次方程组 题型4判断是否是二元一次方程组的解 题型5已知二元一次方程组的解求参数 题型6代入消元、加减消元法 题型7二元一次方程组的特殊解法 题型8二元一次方程组的错解复原问题 题型9构造二元一次方程组求解 题型10已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型11方程组相同解问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程 1.定义：含有两个未知数（常用x、y表示），且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的方程，叫做二元一次方程。 2.关键词：两个未知数、次数为1、整式方程。 知识点02.二元一次方程的解 1.定义：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 2.关键要点： （1）解是“一对数”（如x=2，y=3），单独一个未知数的值不是解。 （2）一个二元一次方程有无数组解（给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值）。 （3）检验方法：将一对值代入方程，左右两边相等则为解，反之不是。 知识点03二元一次方程组 1.定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 2.关键词：相同未知数、每个方程为二元一次方程（或化简后是）、一组方程。 知识点04二元一次方程组的解 1.定义：使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 2.关键要点： （1）解需同时满足方程组中每一个方程，仅满足一个方程的不是解。 （2）解的三种情况：① 唯一一组解；② 无数组解（两方程化简后完全相同）；③ 无解（两方程化简后矛盾，如 （3）检验方法：将一对值代入所有方程，均满足则为解。 知识点05解二元一次方程组的方法 核心：消元（将二元转化为一元），常用代入消元法和加减消元法。 1.代入消元法:方程组中至少一个方程可轻松变形为“x=ay+b”或“y=ax+b”（一个未知数能用另一个未知数表示）。 2.步骤:(1)解：选系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y=kx+b）； (2)代：将变形后的方程代入另一个方程，消元得一元一次方程； (3)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (4)回代：将所求值代入变形后的方程，得另一个未知数的值； (5)验：代入原方程组检验。 3.加减消元法:两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，可乘适当数转化。 4.步骤:(1)找：找出同一未知数的系数特点（相等或互为相反数）； (2)配：系数不满足时，乘适当数使同一未知数系数相等或互为相反数； (3)消：相加（系数互为相反数）或相减（系数相等），消元得一元一次方程； (4)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (5)回代：代入原方程求另一个未知数的值； (6)验：代入原方程组检验。 知识点06方程组的解方法选择技巧 1.如“x=...”“y=...”形式的方程，优先用代入消元法（步骤简洁）； 2.同一未知数系数易配平，优先用加减消元法（计算量小）； 3.系数含分数、小数，先化为整数系数，再选方法（减少错误 题型解析◆精准备考 题型1二元一次方程的定义 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都为1，据此逐个判断即可． 【详解】解：① 方程中是二元一次方程； ② 方程不是整式方程，不是二元一次方程； ③ 方程中，含未知数的项的次数为，不是二元一次方程； ④ 方程，整理得，是二元一次方程； ⑤ 方程中只含有一个未知数，不是二元一次方程； ⑥ 方程，不是整式方程，不是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的是①④． 2．已知是关于的二元一次方程，则__________ 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， 且， ∴． 3．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 题型2二元一次方程的解 1．若是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是二元一次方程的一组解， ， ， ， 故选：A． 2．已知方程，请你用含的代数式表示，则_______． 【答案】 【分析】将含有的项移至方程的右边，再将的系数化为即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 【答案】 共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根 【分析】先设截得的钢管有根，截得的钢管有根，根据总长度列出二元一次方程，结合、均为正整数且两种规格都要有，找出所有满足方程的正整数解，即可得到截法数量和每种截法的具体情况． 【详解】解：设截得的钢管有根，截得的钢管有根， 根据题意，得， 整理得， 为正整数， 为正偶数，即，解得， 为正整数， 的取值为，，，， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 方程的正整数解为，． 答：共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根． 题型3判断是否是二元一次方程组 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 3．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）（3），见解析 【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 题型4判断是否是二元一次方程组的解 1．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． 2．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可． 【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为， ∴所求方程的解为， ∵， ∴是符合要求的二元一次方程． 3．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 题型5已知二元一次方程组的解求参数 1．若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】利用方程得到，进而得到的值． 【详解】解：根据题意得，方程组， 得：， 即， 解得， 将代入得：． 2．关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 【答案】2 【分析】先求出方程的所有正整数解，再将正整数解代入方程，结合为整数的条件求出的值即可． 【详解】解：方程的解是正整数 ，可得 是正整数， 的可能取值为 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，是正整数，符合条件 ∴的正整数解为， 两个方程有相同的正整数解，将代入得 解得． 3．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 题型6代入消元、加减消元法 1．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】将①代入②，得， 去括号，得． 2．已知二元一次方程组，则______． 【答案】15 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数关系，将两个方程相减，即可直接求出的值． 【详解】解： 得，即． 3．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把①代入②得，把代入①得，从而可得方程组的解； （2）方程得，把代入①可得，从而可得方程组的解． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 解得，， 把代入①得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以，方程组的解为． 题型7二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 2．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【详解】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 3．阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 题型8二元一次方程组的错解复原问题 1．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 2．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 3．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 【答案】5 【分析】将解代入未看错的方程中，求出三个参数的值，再进行计算即可. 【详解】解：由题意，是方程组的解， ∴， ∴， 把代入，得， ∴，解得， ∴. 题型9构造二元一次方程组求解 1．若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．，B．，C．， D．， 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中不含项和项可知，项和项的系数为0，即可得解． 【详解】解： ； ∵结果中不含项和项， ∴，解得． 2．若规定，若，，则的值是_____． 【答案】 【分析】由题意可得，解二元一次方程组得出，，先计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：∵规定，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 3．已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 【答案】， 【分析】根据题意可得到关于和的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵代数式，当时，它的值是；当时，它的值是， ， 解得： 题型10已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．-3 【答案】A 【分析】先推导出，再将代入求解即可． 【详解】解：， ，得， 即， ∵， ∴， 解得：． 2．关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到和关于的表达式，根据，都是正整数，结合为整数，即可求出的值． 【详解】解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ，都是正整数，是整数， 是的正约数，即， 解得：， 当时，，符合是正整数． 3．【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 【答案】(1)③ (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）将或或分别代入中求解，即可判断； （2）将方程整理得：，根据题意可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ①不是方程的解； 当时，， 解得：， ②不是方程的解； 当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：将方程整理得：， 关于的二元一次方程与的取值无关， ， ，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， 得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， 方程组有解， ，即， ， 、、均为正整数， 可取，，，，即可取，，，， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，的值为或． 题型11方程组相同解问题 1．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 2．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 3．如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再代入二元一次方程计算即可． 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴方程组的解也是二元一次方程的解， 由①②得：，解得， 将代入②得：，解得， 将代入方程得：， 解得． 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，直接把已知解代入原方程计算即可． 【详解】解：将​代入方程，得： 解得：． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 3．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 4．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数和为0即可消去该未知数，据此判断各选项即可. 【详解】解：对于方程组 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要， ∴选项A、C错误； 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得： ，的系数和为，被消去， ∴选项B错误，选项D正确. 5．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 6．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 二、填空题 7．若单项式与是同类项，__________． 【答案】 【分析】根据同类项的概念，同类项中相同字母的指数相等，据此列出方程，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， 则． 8．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 【答案】3或15 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，，结合二元一次方程组的解是正整数求出或，分情况代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为3或15． 9．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 10．已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么______． 【答案】 【分析】将给定的方程的解代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】解：把代入，得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 11．若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】将变形得，则，因此．由变形得，代入①式可得，解得，进而求出，求和即可． 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 将代入①，得， ， 化简，得， 两边平方，得， 解得， 将代入①，得， ∴． 三、解答题 12．某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 【答案】(1)3，2 (2)餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的应用： （1）设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱， ∵每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套， ∴， ∴， ∵a，b取正整数， ∴a最小为3，b最小为2， 答：每天A产品至少需订购3箱，B产品至少需订购2箱； 故答案为：3；2 （2）解：设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱 ， 依题意，得 ， 解得， ． 答：餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱． 13．在解方程组时，小明解得，求的值． 【答案】 【详解】解：把代入方程组， 得， 解得， 所以． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 15．本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）和题意可得方程组，解之即可得到答案； （3）仿照题（2）求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：由（1）得， 解得； （3）解：设，则方程组可变为， ∵关于x，y的方程组的解为 ∴得新方程组， 解得． 16．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】，． 【分析】先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 17．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，． 18．若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 【答案】(1)该方程组是“美好方程组”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：该方程组是“美好方程组”，理由如下： ， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解：∵是“美好方程组”， ∴，得， ∴， 解得； （3）解：， 得， 解得； 得， 解得； ∵是“美好方程组”， ∴， 整理得， ∵为正整数， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $