专题04轴对称期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

专题04轴对称期中复习讲义 期中复习◆重点 轴对称定义：明确轴对称与轴对称图形的定义，区分二者核心差异。 轴对称性质：掌握对称轴的核心特征，明确对应点、对应线段、对应角的关联关系。 轴对称作图：掌握轴对称作图的核心步骤，规范完成图形的轴对称绘制。 折叠问题：明确图形折叠前后的对应关系（对应点、线段、角完全相等），并运用该关系求解相关未知量。 常见轴对称图形：熟记线段、角、等腰三角形等常见图形的轴对称特征。 利用轴对称性质求解：运用轴对称性质，解决各类相关计算与综合问题。 轴对称相关计算：结合轴对称性质，完成线段长度、图形周长等相关计算。 线段垂直平分线：掌握性质、判定定理，并利用其性质解决问题。 角平分线：理解角平分线的性质解决垂线段距离、图形面积平分问题。 易错点提醒：规避轴对称与轴对称图形混淆、作图不规范等常见错误。 核心题型◆归纳 题型1轴对称图形的识别 题型2作已知线段的垂直平分线 题型3作垂线（尺规作图） 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5作角分线（尺规作图） 题型6台球桌面上的轴对称问题 题型7轴对称中的光线反射问题 题型8折叠问题 题型9画对称轴 题型10求对称轴条数 题型11钟表的镜面对称 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01轴对称图形与对称轴 1.如果一个平面图形沿着某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2.对称轴定义：使轴对称图形对折后完全重合的那条直线，叫做该轴对称图形的对称轴；对称轴可为一条或多条， 提示：对称轴是直线，而非线段或射线。 3. 常见轴对称图形及对称轴条数： 知识点02两个图形成轴对称 1. 定义：两个图形沿某条直线对折后，能够完全重合，这两个图形叫做关于这条直线对称（或成轴对称）；这条直线为对称轴，折叠后重合的点称为对应点（又称对称点）。 2. 核心区分： （1）两个图形成轴对称：针对“两个独立图形”，强调二者的位置关系，需沿对称轴对折后完全重合； （2）轴对称图形：针对“一个图形”，强调其自身特征，对折后图形自身的两部分完全重合； （3）关联：二者共性是“对折后完全重合”，且对称轴均为直线。 知识点03轴对称性质 1.对应点：关于对称轴对称的两个对应点，到对称轴的距离相等；且对称轴是对应点连线的垂直平分线； 2.对应线段：对称图形的对应线段平行且长度相等，对应线段所在直线与对称轴的夹角相等。 3.对应角：对称图形的对应角完全相等，且对应角的两边与对称轴的夹角相等。 4.其他性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置； 5.折叠作为轴对称变换的典型形式，折叠前后图形的对应点、对应线段、对应角均完全相等。 知识点04做轴对称图形 1.作图核心步骤： （1）找关键点——确定原图形的所有关键点（如顶点、端点、交点等）； （2）定对称轴——明确对称轴的具体位置（注意对称轴为直线）， （3）作对应点——过每个关键点作对称轴的垂线，在垂线上截取与该关键点到对称轴距离相等的点，即为该关键点的对称点； （4）连对应点——顺次连接所有对称点，即可得到原图形关于该对称轴对称的图形。 知识点05线段垂直平分线 1.定义：经过一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，称为这条线段的垂直平分线（又称中垂线），“中点”和“垂直”二者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质 符号语言 图示 (1)线段是 轴对称 图形， 垂直 并且平分线段的直线，是它的一条对称轴； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。 如图，因为 CD⊥AB，OA=OB，点 P 是直线 CD 上任意一点，所以 PA=PB 知识点06角平分线 1.定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等小角的射线，即为角的平分线（角平分线是射线，仅在角内部），如下图。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 3判定定理：角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点07镜面对称 1.定义：以镜面为对称轴，物体与其在镜中的像形成对称关系。 2.核心性质：对应点到镜面的距离相等；对应线段、对应角完全相等；镜中像与原物体左右相反（上下不变）。 知识点08常考知识延伸 1.折叠问题：折叠的本质是轴对称变换，折叠前后图形的对应点、对应线段、对应角完全相等，可利用这一性质求解线段长度、角度大小等综合问题； 2.轴对称相关计算：结合轴对称性质，求解对应线段长度、图形周长、面积等，核心是找准对应关系，避免盲目计算，确保计算结果准确。 题型解析◆精准备考 题型1轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 3．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 题型2作已知线段的垂直平分线 1．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 3．如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 题型3作垂线（尺规作图） 1．如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 2．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 3．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 3．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 题型5作角分线（尺规作图） 1．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 3．如图，已知． (1)作中线； (2)作角平分线． 题型6台球桌面上的轴对称问题 1．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    3．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 题型7轴对称中的光线反射问题 1．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 3．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 题型8折叠问题 1．如图，将长方形纸条沿折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 3．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 题型9画对称轴 1．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 2．如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 3．解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 题型10求对称轴条数 1．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 2．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    3．如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 题型11钟表的镜面对称 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 2．从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 3．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 过关检测◆提升 一、单选题 1．借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 3．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 二、填空题 8．轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 9．太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 10．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 11．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 12．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么_________． 13．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 三、解答题 14．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 15．如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点均落在格点上． (1)作关于直线对称的． (2)用尺规作出边上的中线；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为_____． 16．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04轴对称期中复习讲义 期中复习◆重点 轴对称定义：明确轴对称与轴对称图形的定义，区分二者核心差异。 轴对称性质：掌握对称轴的核心特征，明确对应点、对应线段、对应角的关联关系。 轴对称作图：掌握轴对称作图的核心步骤，规范完成图形的轴对称绘制。 折叠问题：明确图形折叠前后的对应关系（对应点、线段、角完全相等），并运用该关系求解相关未知量。 常见轴对称图形：熟记线段、角、等腰三角形等常见图形的轴对称特征。 利用轴对称性质求解：运用轴对称性质，解决各类相关计算与综合问题。 轴对称相关计算：结合轴对称性质，完成线段长度、图形周长等相关计算。 线段垂直平分线：掌握性质、判定定理，并利用其性质解决问题。 角平分线：理解角平分线的性质解决垂线段距离、图形面积平分问题。 易错点提醒：规避轴对称与轴对称图形混淆、作图不规范等常见错误。 核心题型◆归纳 题型1轴对称图形的识别 题型2作已知线段的垂直平分线 题型3作垂线（尺规作图） 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5作角分线（尺规作图） 题型6台球桌面上的轴对称问题 题型7轴对称中的光线反射问题 题型8折叠问题 题型9画对称轴 题型10求对称轴条数 题型11钟表的镜面对称 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01轴对称图形与对称轴 1.如果一个平面图形沿着某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2.对称轴定义：使轴对称图形对折后完全重合的那条直线，叫做该轴对称图形的对称轴；对称轴可为一条或多条， 提示：对称轴是直线，而非线段或射线。 3. 常见轴对称图形及对称轴条数： 知识点02两个图形成轴对称 1. 定义：两个图形沿某条直线对折后，能够完全重合，这两个图形叫做关于这条直线对称（或成轴对称）；这条直线为对称轴，折叠后重合的点称为对应点（又称对称点）。 2. 核心区分： （1）两个图形成轴对称：针对“两个独立图形”，强调二者的位置关系，需沿对称轴对折后完全重合； （2）轴对称图形：针对“一个图形”，强调其自身特征，对折后图形自身的两部分完全重合； （3）关联：二者共性是“对折后完全重合”，且对称轴均为直线。 知识点03轴对称性质 1.对应点：关于对称轴对称的两个对应点，到对称轴的距离相等；且对称轴是对应点连线的垂直平分线； 2.对应线段：对称图形的对应线段平行且长度相等，对应线段所在直线与对称轴的夹角相等。 3.对应角：对称图形的对应角完全相等，且对应角的两边与对称轴的夹角相等。 4.其他性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置； 5.折叠作为轴对称变换的典型形式，折叠前后图形的对应点、对应线段、对应角均完全相等。 知识点04做轴对称图形 1.作图核心步骤： （1）找关键点——确定原图形的所有关键点（如顶点、端点、交点等）； （2）定对称轴——明确对称轴的具体位置（注意对称轴为直线）， （3）作对应点——过每个关键点作对称轴的垂线，在垂线上截取与该关键点到对称轴距离相等的点，即为该关键点的对称点； （4）连对应点——顺次连接所有对称点，即可得到原图形关于该对称轴对称的图形。 知识点05线段垂直平分线 1.定义：经过一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，称为这条线段的垂直平分线（又称中垂线），“中点”和“垂直”二者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质 符号语言 图示 (1)线段是 轴对称 图形， 垂直 并且平分线段的直线，是它的一条对称轴； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。 如图，因为 CD⊥AB，OA=OB，点 P 是直线 CD 上任意一点，所以 PA=PB 知识点06角平分线 1.定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等小角的射线，即为角的平分线（角平分线是射线，仅在角内部），如下图。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 3判定定理：角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点07镜面对称 1.定义：以镜面为对称轴，物体与其在镜中的像形成对称关系。 2.核心性质：对应点到镜面的距离相等；对应线段、对应角完全相等；镜中像与原物体左右相反（上下不变）。 知识点08常考知识延伸 1.折叠问题：折叠的本质是轴对称变换，折叠前后图形的对应点、对应线段、对应角完全相等，可利用这一性质求解线段长度、角度大小等综合问题； 2.轴对称相关计算：结合轴对称性质，求解对应线段长度、图形周长、面积等，核心是找准对应关系，避免盲目计算，确保计算结果准确。 题型解析◆精准备考 题型1轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、汉字“里”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 分别以三条边所在直线为对称轴确定三个点，再以三条线段的垂直平分线为对称轴得出另外三个对称点，即可得出答案． 【详解】解；以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，再以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得， 所以一共有D点的个数为6个． 故答案为：6． 3．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：是轴对称的为： ， 画对称轴如下： ． 题型2作已知线段的垂直平分线 1．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 3．如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见详解 【分析】作线段的垂直平分线与的角平分线的交点即可． 【详解】解：，则点在线段的垂直平分线上， 点到、的距离相等，则点在的角平分线上， 如图所示， ∴点D即为所求点的位置． 题型3作垂线（尺规作图） 1．如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 【答案】D 【分析】本题考查的是尺规作图作垂线，灵活运用圆与直线的位置关系、两圆相交的条件是解题的关键．根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 故选：． 2．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查尺规作图相关知识，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线正确的尺规作图方法． 需要分别分析角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是否正确． 【详解】对于①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线．图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； 对于②作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线．图②中仅作出了过线段中点的垂线，但没有体现完整的尺规作图过程（没有体现以两端点为圆心画弧等操作），所以②的作法错误； 故答案为：①． 3．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 【答案】见解析，垂线段最短 【分析】过点A作铁路所在直线的垂线，垂足为B，根据垂线段最短可知，点B即为所求． 【详解】解：如图所示，点B即为所求，理由是垂线段最短． 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 2．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 题型5作角分线（尺规作图） 1．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 2．已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 3．如图，已知． (1)作中线； (2)作角平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）先作的中垂线，确定的中点，连接即可； （2）利用尺规作角平分线的方法作图即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 题型6台球桌面上的轴对称问题 1．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 题型7轴对称中的光线反射问题 1．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 2．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 题型8折叠问题 1．如图，将长方形纸条沿折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，求得，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴． 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∴． 2．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 【答案】/100度 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴， ． 3．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 题型9画对称轴 1．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 2．如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 3．解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点即可； （2）根据对称轴的定义作出直线l即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2） 解：如图2中，直线l即为所求． 题型10求对称轴条数 1．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 2．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 3．如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的定义，沿对称轴折叠后能重合的两个图形是轴对称图形，熟练掌握相关知识是解题关键，根据轴对称的定义，找出对称轴即可判断 【详解】解：如图的5个图形都是轴对称图形， 图中所示为对称轴， 题型11钟表的镜面对称 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 2．从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据上下对称分析，进而得出实际时间． 【详解】解：平面镜中看到“”，平面镜水平放置，则上下对称由于数字和都是轴对称图形，在平面镜中成像时形状不变，因此实际电子钟示数仍为． 故答案为． 3．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 过关检测◆提升 一、单选题 1．借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图−基本作图，线段垂直平分线的作法，等角的作法，角平分线的作法等相关知识点，三角形的面积的有关知识，需灵活掌握． 【详解】解：选项A是一条线段的垂直平分线，故A正确； 选项B是作两个等角，再利用直角三角形两锐角互余，推出所作线段为直角三角形中线，故B正确； 选项C是一个角的平分线，故C不正确； 选项D是一条线段的垂直平分线，故D正确； 故选：C. 2．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 3．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 4．如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先由折叠得到，，然后根据三角形周长公式求解． 【详解】解：由折叠得，，， ∴的周长为． 5．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 6．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 二、填空题 8．轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．据此求解答即可． 【详解】在轴对称图形中，任何一对对应点连线都被对称轴垂直平分，这是轴对称的基本性质．因此，对应点连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 9．太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 10．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 【答案】 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 11．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 12．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∵长方形纸片的两条长边平行， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 【答案】17 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，由题意可得为的垂直平分线，所以，进一步可以求出的周长． 【详解】解：∵在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，． ∴为的垂直平分线， ， 的周长为：． 故答案为：17． 三、解答题 14．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 15．如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点均落在格点上． (1)作关于直线对称的． (2)用尺规作出边上的中线；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据轴对称的垂直等距特点，作图即可． （2）根据尺规作图的基本要求画图即可． （3）将点的坐标为向右平移1，再向上平移1，得到原点，建立平面直角坐标系，然后根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，计算即可． 本题考查了轴对称作图，线段垂直平分线的作图，中线的意义，坐标平移，图形与坐标，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的垂直等距特点，画图如下： 则即为所求． （2）解：作的垂直平分线，与的交点为D，连接， 则中线即为所求． （3）解：将点的坐标为向右平移1，再向上平移1，得到原点，建立平面直角坐标系如下： 设到三个顶点距离相等的点的坐标为， 则，， 整理，得，解得， 故到三个顶点距离相等的点的坐标为， 故答案为：． 16．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等即可证明结论； （2）过点G作，，根据两直线平行内错角相等和角度的和差，即可证得结论； （3）图3中，根据平行线的性质可得，，从而得到图4中的度数，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵图3中，，， ∴，， ∵将长方形纸条沿折叠，得到图4， ∴图4中，，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $