精品解析：江苏江阴市澄西片2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 2. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 长江中现有的鱼类 B. 对“五一节”期间居民旅游出行的调查 C. 对乘坐飞机的乘客进行安检 D. “马年春晚”的收视率 3. 为弘扬中华优秀传统文化，倡导健康生活方式，某中学本学期开设了校本课程“八段锦”，为了解学生对课程的满意度，在全校的1500名学生中随机抽取了100名学生对该课程的满意程度打分，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 总体是100名学生 C. 样本是抽取的100名学生所打的分数 D. 个体是被抽取的每一名学生 4. 下列问题中，最适合用扇形统计图表示的是（ ） A. 小亮一天中的体温变化情况 B. 第四季度四款饮料的销售量比较 C. 牛奶中各种营养成分的含量 D. 某射击队5名队员的成绩 5. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 7. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　 ) A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（ ）个： ①；②；③；④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 12. 在中，若，则_____． 13. 因式分解：x2+x=_____． 14. 在中，添加一个条件_____，使得四边形是菱形． 15. 两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 16. 已知矩形的较短边长为3，两对角线的夹角为，则矩形的面积为______． 17. 如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 18. 如图，在正方形中，，点是的中点，点在边上运动，点在对角线上运动，且．若当时，则_____；在运动过程中，的最小值为_____． 三、简答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 因式分解 （1） （2） 20. 矩形的两边长分别为与，其周长为15，面积为12．求的值． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 22. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B．（含不含) C．(含不含) D．不少于 （1）在这次调查中，一共抽取了_______名学生； （2）补全条形统计图，并写出_______； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？ 23. 解答下列问题： （1）用无刻度的直尺与圆规在图（1）中，过点作直线，使得直线将的面积平分； （2）用无刻度的直尺与圆规在图（2）中，过点作直线，使得直线将梯形（其中）的面积平分； （3）用无刻度的直尺与圆规在图（3）中，过点作直线，使得直线将四边形的面积平分． 24. 在矩形中，，点为上一点，连接 （1）如图1，将矩形沿翻折到矩形所在的平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，求的长． （2）如图，在第（1）问的基础上，继续将沿向下翻折到矩形所在的平面，点落在点上，连接，求的面积． 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） （2）若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 26. 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． （1）【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； （2）【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． （3）【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称和中心对称的定义，逐个判断选项，选出同时满足两个条件的图形即可． 【详解】 选项A等腰三角形是轴对称，不是中心对称，排除A． 选项B平行四边形是中心对称，不是轴对称，排除B． 选项C等腰梯形是轴对称，不是中心对称，排除C． 选项D矩形满足沿对边中点连线对折后两侧部分完全重合，是轴对称；绕对角线交点旋转后旋转后的图形与原图形重合，是中心对称． 答案选D． 2. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 长江中现有的鱼类 B. 对“五一节”期间居民旅游出行的调查 C. 对乘坐飞机的乘客进行安检 D. “马年春晚”的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】一般来说，调查范围广，无法全面开展的调查适合抽样调查，精确度要求高，事关安全等重大要求的调查，适宜采用普查，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵A选项调查长江中现有鱼类，范围广，无法进行全面普查，适合抽样调查； B选项调查五一节期间居民旅游出行，调查对象数量多范围广，适合抽样调查； C选项对乘坐飞机的乘客进行安检，事关飞行安全，必须对每一名乘客检查，适合普查； D选项调查马年春晚收视率，调查范围广，工作量大，适合抽样调查． ∴最适宜采用普查方式的是C选项． 3. 为弘扬中华优秀传统文化，倡导健康生活方式，某中学本学期开设了校本课程“八段锦”，为了解学生对课程的满意度，在全校的1500名学生中随机抽取了100名学生对该课程的满意程度打分，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 总体是100名学生 C. 样本是抽取的100名学生所打的分数 D. 个体是被抽取的每一名学生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计的基本概念，包括普查与抽样调查，总体，个体，样本的定义，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】∵ 此次调查是从全校1500名学生中随机抽取部分学生调查，属于抽样调查，不是普查，∴A错误． ∵ 总体是全校1500名学生对该课程的满意度，不是100名学生， ∴B错误． ∵ 样本是抽取的100名学生所打的分数，符合样本的定义， ∴C正确． ∵ 个体是每一名学生对该课程的满意度，不是被抽取的每一名学生， ∴D错误． 综上所述，选C． 4. 下列问题中，最适合用扇形统计图表示的是（ ） A. 小亮一天中的体温变化情况 B. 第四季度四款饮料的销售量比较 C. 牛奶中各种营养成分的含量 D. 某射击队5名队员的成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同统计图的适用特点，扇形统计图的作用是反映各部分占总体的百分比，根据各选项需求判断即可． 【详解】解：∵不同统计图有不同适用场景：折线统计图反映数据变化趋势，条形统计图比较不同类别数据的大小，扇形统计图展示各部分占总体的比例关系， ∴A选项，小亮一天体温变化需要体现变化趋势，适合用折线统计图，不符合要求； B选项，四款饮料销售量比较需要比较数据大小，适合用条形统计图，不符合要求； C选项，牛奶中各营养成分的含量需要体现各成分占总体的比例，最适合用扇形统计图，符合要求； D选项，5名队员的成绩比较需要比较数据大小，适合用条形统计图，不符合要求； 因此答案选C． 5. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 根据因式分解的常用方法（提公因式法和公式法），验证每个选项的因式分解是否正确即可． 【详解】解：A、，故此选项因式分解正确，不符合题意； B、，故此选项因式分解正确，不符合题意； C、，故此选项因式分解错误，符合题意； D、，故此选项因式分解正确，不符合题意； 故选：C． 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 7. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接交于点，根据勾股定理求得，则，进而根据菱形的面积公式得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形中，，， ∴,， 在中， ∴， ∵ ∴菱形的面积为 ∴， 故选：B． 8. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 9. 如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形和都是菱形， ，，，，，． ， ，为等边三角形． 为等边三角形，，． ，， ． ∵点是的中点， ． ． ． ． ． 10. 如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（ ）个： ①；②；③；④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】因为正方形的边相等、角为直角，所以先利用正方形的性质得出各边相等、各内角为的条件．对于①，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于②，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于③，若前两个全等成立，那么可利用全等三角形对应边相等的性质，结合正方形边长相等的关系，推导．对于④，先利用四边形内角和为，结合已知垂直条件和，再利用全等得到的角的关系，推导的度数；最后统计正确结论的个数，匹配选项． 【详解】结论① ： 正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①正确． 结论② ： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②正确． 结论③ ： ∵， ∴， ∴， ③正确． 结论④ 时，： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ④正确． 故正确的有①②③④，选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算出不合格的人数，根据频数的定义，不合格人数即为不合格学生的频数． 【详解】解：由题意可得，总人数为，优秀人数为，合格人数为． 不合格人数为： ． 根据频数的定义，可知不合格学生的频数为． 12. 在中，若，则_____． 【答案】或130度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到． 【详解】解：因为四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 13. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 14. 在中，添加一个条件_____，使得四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直即可判定为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可添加条件，此时四边形是菱形． 15. 两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 16. 已知矩形的较短边长为3，两对角线的夹角为，则矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的特征，等边三角形的判定及性质，勾股定理等，由矩形的性质得，由等边三角形的判定及性质、直角三角形的特征得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，矩形中，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】连接，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，而为中点，则，所以，再证明，则，，因为，求得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ，． ∴四边形和四边形都是矩形． ，，，． ，为中点， ． ． ，． 为的中点， ． ． ． ，， ， ， ． 18. 如图，在正方形中，，点是的中点，点在边上运动，点在对角线上运动，且．若当时，则_____；在运动过程中，的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，由可知为等腰直角三角形，结合为中点即可求出的长．设点到的距离为，利用勾股定理分别表示出和的长度，发现的值等价于对角线上一点到点和点的距离之和，利用轴对称性质（将军饮马模型）将折线转化为直线，最后利用勾股定理求解最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ∴， 是的中点，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 过点作于点，作于点，连接，，设， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ， ， ， ， ∴， 由对称性知，， ∴， ∴， ∴当三点共线时取等号，此时为最小值． ∵是中点， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， 即的最小值为． 三、简答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提取公因式解答即可； （2）提取公因式，再用完全平方公式解答即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 20. 矩形的两边长分别为与，其周长为15，面积为12．求的值． 【答案】1350 【解析】 【分析】根据题意，得，，把所求代数式用因式分解，完全平方公式，变形得到，代入求解 即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 22. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B．（含不含) C．(含不含) D．不少于 （1）在这次调查中，一共抽取了_______名学生； （2）补全条形统计图，并写出_______； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？ 【答案】（1） （2） 补全条形图如下： （3）该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 【解析】 【分析】（1）先根据C组的人数和占比求出总人数； （2）根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（名）， 则一共抽取了40名学生； 【小问2详解】 解：B组的人数为：（名）， ， 则； 补全条形图略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 23. 解答下列问题： （1）用无刻度的直尺与圆规在图（1）中，过点作直线，使得直线将的面积平分； （2）用无刻度的直尺与圆规在图（2）中，过点作直线，使得直线将梯形（其中）的面积平分； （3）用无刻度的直尺与圆规在图（3）中，过点作直线，使得直线将四边形的面积平分． 【答案】（1） 解：直线即为所求； （2） 解：直线即为所求；作图如下： （3） 直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线将三角形的面积平分，作三角形任何一边的垂直平分线，得到边的中点，过中点与该边对的三角形顶点，得到直线即可； （2）根据平行线间的距离处处相等，梯形的面积公式，求解即可； （3）连接，过点D作直线，交的延长线于点M，再作线段的中点E，作直线，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 在矩形中，，点为上一点，连接 （1）如图1，将矩形沿翻折到矩形所在的平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，求的长． （2）如图，在第（1）问的基础上，继续将沿向下翻折到矩形所在的平面，点落在点上，连接，求的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，勾股定理求解即可． （2）设，根据折叠的性质，得，故， 解得，过点作于点F，根据勾股定理，三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ，， 根据折叠的性质，得，， ， ； 【小问2详解】 解：设，根据折叠的性质，得， ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 过点作于点F， 根据折叠的性质，得， 故, 解得， ， 故的面积为：． 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） （2）若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示： ． 26. 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． （1）【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； （2）【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． （3）【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】（1）30 （2） ①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ② （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∴． ． 是等边三角形． ． ． 【小问2详解】 解：①略； ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． 【小问3详解】 解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $