精品解析：江苏省江阴市长泾片2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024-2025学年长泾片第二学期期中考试试卷（初二数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，恰好有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形只是中心对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 2. 下列各式、、、+1、中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列说法正确的是 （ ） A. 为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力 B. 若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C. 了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D. “掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 4. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 6. 如图，在矩形中，，M为中点，连接，过D作于E，则长为（ ） A 2 B. C. D. 5 7. 如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的5倍 C. 扩大为原来的10倍 D. 缩小为原来的 8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 9. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当______时，分式值为零． 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为___________． 13. 已知平行四边形ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝___________度． 14. 已知一个菱形的边长为，它的一条对角线长为，则这个菱形的另一条对角线长为____． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB=4，则EF=____． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．若直线（是常数）将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_________． 18. 如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值____． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平行四边形中，于E，于F． （1）求证：． （2）若，，求CF． 22. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解答下列问题： （1）以点B为旋转中心，将绕点B顺时针旋转得，画出（其中点A、C的对应点分别为点D、E）； （2）画出关于点O成中心对称的（其中点A、C的对应点分别为点F、H）； （3）若连接则四边形的形状是______． 23. 某公司调查某中学学生对其环保产品的了解情况，随机抽取该校部分学生进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． （1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中 ． （2）请根据数据信息补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人？ 24. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． （1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． （2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 25. 在矩形纸片中，，，F为的中点，沿过点F的直线翻折，使点B的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于G，利用尺规作图作出折痕（不要写作法，但要保留作图痕迹），并求出的长度． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题： （1）①当时，点D的坐标为______； ②用含m的代数式表示点D的坐标为______； ③点D在运动过程中，的最小值______； （2）连接、，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）平面内存在点P，使得四边形是菱形，求出此时m值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年长泾片第二学期期中考试试卷（初二数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，恰好有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形只是中心对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A. 等边三角形，轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B. 等腰直角三角形，轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C. 平行四边形，中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D. 正方形，是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握是解题的关键.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合． 2. 下列各式、、、+1、中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：这一组数数中，与是分式，共2个. 故选A 3. 下列说法正确的是 （ ） A. 为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力 B. 若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C. 了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D. “掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 【答案】C 【解析】 【详解】A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，故错误； B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有可能中奖，故错误； C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确； D．因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故错误； 故选C． 4. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解题关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：A. 当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； B. 当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和平行四边形的性质，根据菱形的性质和平行四边形的性质对每个选项进行判断即可，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：、对边平行且相等菱形和平行四边形都具有； 、对角线互相平分菱形和平行四边形都具有； 、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有； 、对角相等菱形和平行四边形都具有； 故选：． 6. 如图，在矩形中，，M为中点，连接，过D作于E，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这两个知识点是解题的关键；连接；由矩形的性质及勾股定理求出，再利用面积关系即可求解． 详解】解：如图，连接； 在矩形中，； ∵M为中点， ∴， 在中，； ∵， ∴； 故选：B． 7. 如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的5倍 C. 扩大为原来的10倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，得== 故选A. 8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 9. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 10. 如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点E，则，可得是等腰直角三角形，，再由勾股定理可得，再证明，可得，设，则，可得，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得到是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当______时，分式值为零． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据分式值为零及分式成立的条件求解即可． 【详解】解：要使分式为零，则分子x2﹣4＝0解得：x＝±2， 而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣4≠0， x＝2时分母x﹣2＝0，分式没有意义， 所以x的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零． 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为___________． 【答案】0.1 【解析】 【分析】先求出第5组的频数，再根据频率公式求出第5组的频率 【详解】解：∵某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频数为：40-14-10-8-4=4 ∴P= 故答案为：0.1 【点睛】在计算概率时，一般会从两个大的方面考查：一是直接计算概率，这时用到概率公式，即一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.另一种则是根据所涉及到的事件之间的关系，通过求已知事件的概率解决． 13. 已知平行四边形ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝___________度． 【答案】120° 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得：∠B+∠C=180°，则∠B=60°，∠C=120°，则∠A=∠C=120°. 考点：平行四边形的性质. 14. 已知一个菱形的边长为，它的一条对角线长为，则这个菱形的另一条对角线长为____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质得出，，，，再根据勾股定理可求出，从而即可求解． 【详解】解：如图，菱形，，对角线交于点O． ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：16． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB=4，则EF=____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出EF， 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CDAB=2． ∵E、F分别为MB、BC中点， ∴EFCD=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____． 【答案】24 【解析】 【详解】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB+∠CBA=180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC， ∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°， ∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°； ∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠DPA， ∴∠DAP=∠DPA， ∴AD=DP=5， 同理：PC=CB=5， 即AB=DC=DP+PC=10， 在Rt△APB中，AB=10，AP=8， ∴BP==6， ∴△APB的周长=6+8+10=24． 故答案为：24． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．若直线（是常数）将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D，过D作DE⊥x轴，过D作DF⊥y轴，垂足分别为E、F， ∵A（2，0），B（2，4），C（0，4）， ∴四边形OABC为矩形， ∴DE=OC=×4=2，DF=OA=×2=1， ∴D（1，2）， ∵直线y=kx-2k+1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， ∴2=k-2k+1，解得k=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 18. 如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值____． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，过点A作于点F， ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当点在处时，最小，即长度， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，准确进行计算． （1）根据分式加减法则计算即可； （2）先括号内通分，再根据分式加减法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）是原方程的解 （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 21. 如图，在平行四边形中，于E，于F． （1）求证：． （2）若，，求CF． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，即可得出； （2）由全等三角形的性质可得，，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ，， 在中，， ． 22. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解答下列问题： （1）以点B为旋转中心，将绕点B顺时针旋转得，画出（其中点A、C的对应点分别为点D、E）； （2）画出关于点O成中心对称的（其中点A、C的对应点分别为点F、H）； （3）若连接则四边形的形状是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）矩形 【解析】 【分析】（1）根据旋转的画图方法，先画出旋转后的对应点，再描点即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据矩形的判定方法求解即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作三角形， 【小问2详解】 如图所示，即为所求作三角形， 【小问3详解】 ∵由网格的特点可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故答案为：矩形. 【点睛】此题考查作图能力：旋转作图和中心对称作图，考查了旋转的性质，中心对称的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上内容． 23. 某公司调查某中学学生对其环保产品的了解情况，随机抽取该校部分学生进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． （1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中 ． （2）请根据数据信息补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人？ 【答案】（1）50，32 （2）见解析 （3）估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有1120人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量． （1）由条形统计图和扇形统计图可知，用“比较了解”的人数除以其所占比例，即可求得总人数；“一般了解”的人数除以总人数即可求所占比例； （2）用总人数减去B、C、D部分的人数求出A部分的人数，然后补全条形统计图即可； （3）先根据扇形统计图得到部分学生“非常了解”和“比较了解”的人数占样本总人数的比例，再由样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：本次问卷共随机调查的学生人数为人； 扇形统计图中； 故答案为：50，32； 【小问2详解】 解：A部分的人数为人， 补全统计图如图， 【小问3详解】 解：， 答：若该校有2000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有1120人． 24. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． （1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． （2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】（1）甲商店硬面笔记本的单价为16元 （2）乙商店硬面笔记本的原价18元 【解析】 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； 【小问2详解】 设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 25. 在矩形纸片中，，，F为的中点，沿过点F的直线翻折，使点B的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于G，利用尺规作图作出折痕（不要写作法，但要保留作图痕迹），并求出的长度． 【答案】作出折痕见解析，折痕或 【解析】 【分析】首先以点F为圆心，为半径画弧交于点G，然后作出的垂直平分线交或于点G；根据矩形的性质得出，，，根据中点定义得出；分两种情况分别画出图形，作出辅助线，利用勾股定理求出折痕的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点F为的中点， ∴； ①过点F作于点E，G在上，点落在上，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中根据勾股定理得：； ②过点F作于点E，G在上，点落在上，点A的对应点为，如图所示： ∵， ∴四边形矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：； 综上分析可知，折痕或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，并注意分类讨论． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题： （1）①当时，点D的坐标为______； ②用含m的代数式表示点D的坐标为______； ③点D在运动过程中，的最小值______； （2）连接、，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）平面内存在点P，使得四边形是菱形，求出此时m的值． 【答案】（1）①；②；③ （2）△OBE的面积不变，的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）①过C作轴，过作轴，轴，即再证可得，然后根据坐标与图形即可解答； ②先证可得，然后根据坐标与图形即可解答； ③根据题意表示出，然后利用平方的非负性求解即可； （2）先根据（1）的方法求得点E的坐标，然后根据点E的坐标即可解答； （3）根据菱形的性质得到，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，过C作轴，过作轴，轴， 则 ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，点C的坐标为，即，则， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴D点的横坐标为，纵坐标为，即． ②如图，同①作辅助线， ∵点C的坐标为， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 同①可得， ∴， ∴D点的横坐标为，纵坐标为，即． ③∵点A的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为18， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：的面积是定值，且定值为， 如图：过E作， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴E点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形，点B的坐标为，，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$