2.5.1 向量的数量积 导学案-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.5.1 向量的数量积 1、回顾向量的坐标运算； 2、阅读课本P107—P109内容，自主探究向量的数量积，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 1．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任意一个向量，存在唯一一对实数，使得_________，有序数对________叫做向量的坐标，记作. 2．点的坐标与向量坐标的关系：若，则____________. 3．向量加法的坐标运算：设，则. 4．向量减法的坐标运算：设，则. 5．向量数乘的坐标运算：设为实数，则. 6．向量坐标与起点终点关系：向量的坐标等于坐标减去坐标. 7．向量共线的坐标表示：设，其中与共线的充要条件是. 8．相等向量的坐标关系：若，则且. 9．零向量的坐标：. 1．向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积），记作，即. 2．规定：零向量与任一向量的数量积为. 3．数量积的结果是一个，不是向量. 4．向量在方向上的投影向量：；投影数量：. 5．数量积的几何意义：等于的长度与的乘积. 6．数量积的性质（设为非零向量）： （1）； （2）当与同向时，；反向时，； （3），即_______； （4）（填，＝）. 7．数量积的运算律： （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 8．若为与的夹角，则. 1.已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为，则( ) A.1 B. C. D. 2.如图，在中，D，E是BC上的两个三等分点，，，，则的值为( ) A.50 B.80 C.86 D.110 3.若向量a，b满足，，a与b的夹角为，则的值为__________. 4.已知单位向量a，b的夹角为，与a垂直，则__________. 5.若向量、满足，，，则__________. 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1． 2． 3． 4． 5． 6．终点；起点 7． 8． 9． 知新——课本研习梳理 1． 2． 3．实数（数量） 4．； 5．在方向上的投影数量 6．（1）（2）（3）（4） 7．（1）（2）（3） 8． 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：由题意，a在b上的投影向量为，则， 因为a，b是单位向量，即，所以，， 则.故选B. 2.答案：B 解析：因为在中，D，E是BC上的两个三等分点，，，， 所以， 所以 故选B. 3.答案： 解析：因为，，a与b的夹角为， 所以，故答案为：. 4.答案： 解析：由题意得，又单位向量a，b的夹角为，所以，即. 5.答案： 解析：因为，，， 则，所以，， 所以，因此，. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $