5.2向量数量积的坐标表示-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

第二章平面向量及其应用 五维课堂马 随堂。步步夯实 1.下面给出的关系式中正确的个数是 ( 5.在△ABC中，AB⊥AC,CD=(2-1)BC,AC ①0·a=0:②a·b=b·a:③a2=a2; ·AD=42,求|AC. ④la·b≤a·b⑤(a·b)2=a2·b2. A.1 B.2C.3D.4 2.设向量a,b满足|a|=b=1及3a一2b= √7，则a,b的夹角为 () A.B.g C. n.等 3.若a=4,b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,则向 量a与向量b夹角为 () A. B.号 c n.晋 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,点P 在AM上，且满足AP=2PM,则PA·(PB+ ©温馨提店 PC)= 学习至此，请完成配套训练 5.2 向量数量积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 运算 通过推导数量积的坐标运算 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两 及通过求夹角和模，体会逻 点间的距离公式 辑推理素养及数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] “我知道我一直有双隐 [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 形的翅膀，带我飞，飞过绝 象 设而量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= 望，不去想他们拥有美丽的 ,即两个向量的数量积等于它们 太阳，我看见每天的夕阳也 对应坐标的 会有变化，我知道我一直有 若a=(x1,y1),b=(x2y2),0是a与b的夹 双隐形的翅膀，带我飞，给01 角，则 我希望…”，如果能为平面向量的数量积插上 (1)a.b=lalblcos 0=z1x2+y1y2; “翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数 特别地a·a=a2=a2=x+y好， 量积的“翅膀”一坐标表示，它使平面向量的数 量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身 即|a=√x+y. (2)当a,b同向时， 份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究 推向“定量”研究. a·b=a|b=√a2+y1·x吃+y2; 问题在平面直角坐标系中，设i,j分别是x轴 当a,b反向时， 和y轴方向上的单位向量，a=(3,2),b=(2,1), a·b=-a|b|=-a1十y·x克十y吃； 则a·b的值为多少？a·b的值与a,b的坐标有 当a,b垂直时， 怎样的关系？若a=(x1y),b=(x2y2),则a a·b=|al|bcos90°=x1x2+yy2=0. ·b为多少？ (3)a·b≤aIb, 即|a·b|=|x1x2+y1y2|≤+y听 ·x号+y吃 ·83 三h维评堂 数学s·必修第二册 [知识点二]向量模的计算公式 2思考2.a·b<0,能说明向量a·b的夹角0 1.若a=(x,y),则a= 是钝角吗？ 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(1， y).(x22),那么a= 3.两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2,y2), [预习自测] 则|AB= 1.已知a=(0,1),b=(2,一1)，则a·b等于 ?思考1.已知a=(1,1),b=(2.3),如何求a十b? ( A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角 的余弦值为 A器 B器 [知识点三]向量的夹角公式 D器 c0s0= a·b c器 ab 3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若|b=2a,则x 特别a⊥b台x1x2+y1y2=0. 的值为 A.4 B.2 C.±4 D.士2 课堂。互动学案 题型向量数量积的坐标表示 规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用 [例1]已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a -b)·(2a+3b). 公式a·b=x1x2十y1y2求解，其关键是求 出a,b的坐标. [思路点拨]利用数量积的坐标表示可直 (2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终 接求a·b:(a-b)·(2a十3b)可以先展开 点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标， 再求值，也可先分别求a一b及2a十3b的坐 标，再求值 再由向量坐标求得数量积。 ⊙[变式训练] 1.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=20. (1)求向量a的坐标； (2)若c=(2,1),求(b·c)·a. ·84· 第二章平面向量及其应用 五维课堂到 题型二】 苹面向量的模 (1)求使CA·CB取得最小值时的OC: [例2]已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1). (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. (1)求a一2b及其模的大小； 思路点拔了利用夹角公式直接求解. (2)若c=a-(a·b)b,求|c|. [思路点拨]利用求模公式求解， 规律方法 规律方法 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别 (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵 求出两个向量的模，再求出它们的数量积， 活应用公式a2=|a2=x2十y2,求模时， 最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求 勿忘记开方. 出夹角. (2)a·a=a2=|a12或|a|=√a2 ◇[变式训练] √x2十y,此性质可用来求向量的模，可以 3.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1= (1.0),e2=(0,1). 实现实数运算与向量运算的相互转化. (1)试计算a·b及a+b的值； ⊙[变式训练] (2)求向量a与b夹角的余弦值. 2.(1)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b= 5√2，则|b= ( A.5B.10 C.5D.25 (2)已知向量a=(x,y),b=(一1,2)，且a十b =(1,3),则a-2b川= 题型 两向量的夹角 [例3]已知0P=(2,1),OA=(1,7),OB=(5, 1),设C是直线OP上的一点（其中O为坐标 原点) 随堂⊙步步夯实 1.若向量a=(x,2),b=(一1,3)，a·b=3,则x= 4.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a十b2= a2+|b2,则m A.3 B.-3 c号 D-号 5巴知点A2,一》经引则与向量A铜 2.已知a=(一√3，一1)，b=(1,w3),那么a,b的 方向的单位向量是 夹角0= ( A.8 B.C. D A(- 3.已知向量a=(1,√3)，b=(3,m).若向量a,b c() 的夹角为，则实数m= ( @温蓉提西 A25 B.3 C.0 D.-3 学习至此，请完成配套训练 ·85·世五维课堂 数学·必修第二册 ②-①得23b-46a·b=0, 2a·b=b,代入①得a2=b,.a=b, 0=子pcos0= 设向量a,b的夹角为0，则c0s0=ah 又0e[0,].a,b的夫角为号.] ab=b=交 3.B[a=4,b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,∴.b-a 9∈[0，x].0= =3a·b=4-16=-12,故3a·b=-12,得a·b=-4, 31 设向量a与向量b的夹角为0，剩c0s9=a·b一4X2 a·b 一4 “向量a与b的夹角为受 变式训练 一合，时9=要，故选B] 3解(a+b创-（口-小 4.解析：如图，由AM=3, 且AP=2PM,可知AP=2. a+(-2）= M为BC的中点， .PB++PC=2 PM=AP, .PA·(PB+P元)=PA·AP=-AP= :a2=a2=4,b=b°=1， -AP2=-4. 设向量a与b的夹角为日， 答案：一4 4-30asg-是=0os0=2 5.解：：AB⊥AC,A5·AC=0,:CD=(W2-1)BC,BD= 0∈[0，π] √2BC.∴AC·AD=AC·(AB+BD)=AC·BD=2AC· BC=2AC·(AC-AB)=√2AC2=42,∴AC=2. a与b的夹角9为号 5.2向量数量积的坐标表示 [例4][解]由向量2te17e2与e十e:的夹角9为钝角， 课前预习学案情境引入 得cos9=②+7（c+e)<0. 提示：a·b=x十y1 2e,+7ee+e, 知识梳理知识点一 .(2e1+7e)·(e1+e,)<0. x1x,十yy乘积的和 化简得2r+15t+7<0,解得-7<<-立 1 知识点二 1.√+y 当夹角0为r时，也有(2e1十7e)·(e1十e:)<0,但此时夹 角不是纯角。 2.√(x-x)+(为-y刀 设2e1十7e:=λ(e,十e:),a<0, 3.√（x1-x)+(y-y2) ,2t=λ， 11=-/14, [思考] 则7=At, 4故实数t的取值范国是 1提示：a十b=(1,1)十(2,3)=(3,4)， (入0， t=- 2 ∴a+b=√3+4=5. 知识点三 x1十y1y业 变式训练 √+y·√十y 4.解：(1)：a十b+c=0, [思考] .a+b=-c,.a+b=c, 2.提示：不能.因为a·b<0还色括a、b反向，即a,b夹角 .(a+b)2=c,即a+2a·b+b=c2, 是180° a…b=c-a2-6 预习自测 2 1.B2.A3.D =c-a-b12=49-9-25_15 课堂互动学案 2 2 2 [例1][解]a=(1,2),b=(3,4), 又'a·b=a b cos0, .a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, 号-3X5Xm0. (a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b=2a2+a·b-3b =2×(1+2)+11-3×(3+4) ∴cos0=之，脚0=60. =-54. 变式训练 (2)(0十b)(a-2b), L.解：(1)：a与b同向，且b=(1,2), ∴.(a+b)·(a一2b)=0, ,.可设a=b=1(1,2)=(,2以)，且A>0. 1m2-2b-2a·b+a·b=0, 又由a·b=20,可得1×A十2×2入=20， 9g-2×25-0×号+号=0， 解得1=4>0..a=(4,8). (2)b·c=(1,2)·(2,1)=1X2+2×1=4, = 85 ,.(b·c)a=4(4,8)=(16,32). [例2][解](1)：a=(3,5),b=(-2,1), “存在H=一 使得a十6与a-2b套直. ∴.0-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), 随堂步步夯实 ∴.a-2b=√7+3=√58. 1.C[①②③正确，④错误，因为(a·b)=(a bcos6)= (2)",a·b=-6十5=-1， a·bc0s0,⑤错误.故选C.] .c=a+b=(1,6), 2.A[设a与b的夹角为0， ∴.e=√+6=√37. 由题意得(3a-2b)2=7, 变式训练 .9a2+4b2-12a·b=7, 2.解析：(1)a=(2,1),.a=5, 又a=b=1ab=是 又a+b=5W2,.(a+b)2=50,即a2+2a·b+b=50, .5十2×10+b=50,.b=25,.b=5. ·236· 参考答案 五维课堂当 (2)由a+b=(1,3).得a=(2,1),.a-2b=(4,-3) ∴.ka2+2k知·b+b2=3a2-60·b+3k2b2. .a-2b=√/+(-3)=5. ∴.(k-3)a°+8ka·b+(1-3k2)b=0. 答案：(1)C(2)5 :a=√osa+sna=1,b=√osg+sim8=1, [例3][解]I):点C是直线OP上的一点， ∴k2-3+8ka·b+1-3k=0, .向量OC与OP共线， 0·6=2张+2_+1 设OC-t0P(t∈R),则OC-(2,1)=(2t,t). 8k .CA=OA-OC=(1-2,7-t). CB=OB-0元=(5-2t.1-t), ∴.CA.CB=(1-2)(5-2)+(7-t)(1-t)=52-20t+12 由画载的单调性容易得出)一(+专)在(0，上单 =5(t-2)2-8. 调递减，在[1，十∞)上单调遂增. .当1=2时，CA.CB取得最小值此时OC-(4,2). ÷当=1时，)=f1)=子×1+1)=合，即ab的 (2)由(1)知0C=(4,2), ∴CA=(-3,5),CB=(1,-1) 最小值为立： .CA=√3，CB=2,CA·CB=-3-5=-8 ·cos∠ACB= CA·CB47 北时日与6的夫角9的余孩值c00=日治-子 ,.0=60 CAI CB 17 变式训练 变式训练 1.解：(1)AC=(2sin0-1,cos8). 3.解：(1)a=e1-e=(1,0)-(0,1)=(1,-1) b=4e1+3e=4(1.0)+3(0,1)=(4,3). BC=(2sin 0,cos 0-1), .a·b=4×1+3×(-1)=1, AC=BC a+b=√(4+1)+(3-1)=√25+4=√29. ∴.√/(2sim0-1)+c0s日 (2)设(a,b)=0,由a·b=a bcos0, =√(2sing)+(cos8-1), m9=吕治=尼k店号 1 化腾得2sn0=c0s0∴0m0=子 随堂步步夯实 (2)0A+2OB=(1,2). 1.A[a·b=-x十6=3，故x=3.] 2D[80=-二级5=-号又周为9∈[0，小，所以0 OC=(2sin 0,cos 0), 2×2 .'.(OA+2 OB).OC=2sin 0+2cos 0=1, sin0叶cos0=2 3.B[,a·b=(1W5)·(3,m)=3十√5m, [例2][解](1)因为a1b,所以a·b=0, 即1×(2x十3)十xX(-x)=0,解得x=-1或x=3. a=2,b=√/0+m (2)因为a∥b,所以1×(-x)-x(2x十3)=0， 音身或高世异 解得x=0或x=一2. 若x=0,则a=(1,0),b=(3,0),a-b=(一2,0)， 4.解析：a十b=(十1,3)， 此时a一b=2. 又a+b2=a2+b1 若x=-2,则a=(1,-2),b=(-1,2),0-b=(2,-4), ∴(m+1)十3=m2+1十5， 此时a-b=√2+(-4)F-=2√5，所以a-b=2或25. 解得m=一2. 变式训练 答案：一2 2.解：(1)设c=(x,y), 因为a∥c,a=(1,2),所以2x-y=0, 5.C[与向量A丽=（-受2)网方向的单位向量是 AB 所以y=2x,因为c=35,所以√+y=3√5， 所以x2+y2=45,即x十4x=45, 所以{红=3或{=3所以c=3,6)成c=(-3,-6. √+4 y=6,y=-6. (2)因为(a+2b)(a-b), 5.3利用数量积计算长度与角度 所以(a+2b)·(a-b)=0, 课前预习学案情境引入 所以a十a·b-2b=0,即a十a·b-2b=0, 提示：a⊥b=a·b=0=x1x十yy=0 又因为a=5,b2=2,所以a·b=-1, 知识梳理知识点一 设向量a与b的夹角为日， √+y a·b -1 则cosB= /10 a·b5·2 10 所以a与b的夹角 知识点二 x1x2+y1y2=0 [思考] 的会孩值为一巴 提示：若a∥b=x1y=x2y,即1为一x1y=0.若a⊥b曰 [例3][证明]建立如图所示的平面 西x三一少，即工1x十y为=0.两个分题不能混清，可以 直角坐标系，设AB=2, 对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反， 则A(0,0),B(2,0),C(2,2), 预习自测 E(1,2),F(0,1). 1.A2.A3.√1o (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1. 课堂互动学案 :B配·CF=(-1)×(-2)+2× [例1][解](1)由加十b=5a一b,得(ka十b) (-1)=0, =3(a-b), BE⊥CF,即BE⊥CF ·237·