2.5 从力的做功到向量的数量积（4知识点+8题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.5 从力的做功到向量的数量积 课程标准 学习目标 （1）理解向量的数量积的概念； （2）了解投影向量与投影数量的概念 （3）理解向量数量积的运算律和运算性质； （4）掌握向量数量积的坐标表示； （5）理解利用数量积计算长度与角度． （1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会计算平面向量数量积； （2）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 （3）掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； （4）能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点01 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景：如图所示，一个物体在力F的作用下发生了一段位移s，就说这个力对物体做了功．那么力对物体做的功为，其中是F与s的夹角． 2、向量的数量积：如图，已知两个非零向量和，作，，向量与的夹角记为或(）．称为和的数量积（或内积），记作，即． 规定零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影 （1）投影向量：如图，已知两个非零向量和，作，，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到在上的投影γ＝，γ称为投影向量． （2）投影数量：称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·，所以投影数量是数量积的特殊情况． 4、向量数量积的几何意义：b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积，或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积． 【即学即练1】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）在边长为1的等边三角形中，的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 由已知可得与的夹角为， 所以.故选：. 【即学即练2】（24-25高一下·云南怒江·月考）已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，满足，，，夹角为，则， 所以在上的投影向量为.故选：B 知识点02 数量积的运算性质 1、数量积的运算律 对于任意的向量，，和实数： （1）交换律：； （2）与数乘的结合律： （3）关于加法的分配律： 2、数量积的性质 （1）若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； （2）若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； （3）a·a＝|a|2，即|a|＝； （4）cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； （5）|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 【即学即练3】（24-25高一下·山东淄博·月考）在等式①；②；③；④若，且，则；⑤非零向量，满足，则．其中正确的命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，，故①错误；对于②，，显然②正确； 对于③，，，故③错误； 对于④，由，则， 由，则，故④错误； 对于⑤，由，则，化简可得，所以，故⑤正确. 故选：B. 【即学即练4】（24-25高一下·广东佛山·月考）（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AD 【解析】对于A，由向量的运算律知，，A正确； 对于B，表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量， 则与不一定相等，B错误； 对于C，当为0向量时，对任意向量，均有，因此不一定相等，C错误； 对于D，若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，， 又，于是或，即与共线，反之也成立， 因此，D正确.故选：AD 知识点03 数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j， 因为i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 【即学即练5】（24-25高一下·山东青岛·月考）已知平面向量，，则（    ） A．6 B．8 C．0 D． 【答案】A 【解析】因为向量，，则.故选：A 【即学即练6】（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，则的值为（    ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为，，则， 所以.故选：B. 知识点04 向量的模和夹角的坐标表示 1、向量模的坐标表示：设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝． 2、两点间的距离公式：如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝||＝． 这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式． 3、向量的夹角公式：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， cos θ＝＝(|a||b|≠0)． 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【即学即练7】（23-24高一下·广州深圳·月考）已知向量，，则= 【答案】5 【解析】因为向量，，所以，所以. 【即学即练8】（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】B 【解析】， 又，，即，解得：.故选：B. 难点：数量积的最值或取值范围问题 与向量数量积有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数，即寻找变量，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值． 【示例1】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为.故选：B. 【示例2】（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得取最大同时在上投影最大， 则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B点是C点上方且紧靠 C 的一点时，最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小， 则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为.故选：C 【题型1：求投影向量及投影数量】 例1．（24-25高三下·天津·模拟测试）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是 . 【答案】-4 【解析】设的夹角为，可得向量在方向上的投影的数量是. 变式1-1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 【答案】 【解析】依题意，向量在向量方向上投影的数量为. 变式1-2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则， 即得到， 所以在上的投影向量是，故选：C. 变式1-3．（24-25高一下·山西晋中·月考）已知外接圆的圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为，所以O是的中点，又外接圆的圆心为，所以， 可得，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 【方法技巧与总结】 求一个向量在另一个向量方向上的投影数量时，要先根据题意确定该向量的模及两向量夹角的大小，再根据公式求解． 【题型2：向量数量积的简单运算】 例2．（24-25高一下·江苏南通·月考）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， ， 所以，.故选：. 变式2-1．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，的夹角为45°，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以， 则.故选：A. 变式2-2．（24-25高三下·北京·月考）已知，，，则（    ） A．4 B．6 C．14 D．18 【答案】C 【解析】因为，， 所以，.故选：C 变式2-3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以.故选：B 【方法技巧与总结】 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算及多项式乘法的相关公式进行化简． 【题型3：几何图形中的数量积求解】 例3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】B 【解析】已知，所以， 因为为的中点，所以 且，则.故选：B. 变式3-1．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，化简可得， 因为，即，可得， 故.故选：C. 变式3-2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，， ，设， 因为，所以，即， 所以，所以，， 所以．故选：A 变式3-3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则 . 【答案】 【解析】将图形适当旋转，以为原点，建立如图平面直角坐标系. 因为是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且， 所以， ，，可设 所以，. 所以. 【方法技巧与总结】 对于以平面图形为背景的项链数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的求解方法有两种：一是先利用平面向量基本定理，将相关向量同一组基表示，再利用向量数量积的运算律将原式展开，最后依据已知条件计算． 【题型4：向量垂直的应用】 例4．（24-25高一下·四川内江·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，且， 所以，解得.故选：C 变式4-1．（24-25高一下·北京·月考）若，，且，则的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 【答案】A 【解析】因为，，且，则则.故选：A. 变式4-2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以，故选：C. 变式4-3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知向量，，若与垂直，则的值为 ． 【答案】 【解析】因向量，，则， 则，解得：. 【方法技巧与总结】 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算． 【题型5：向量的模的计算及应用】 例5．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，与的夹角为，那么（    ） A．2 B．6 C． D．12 【答案】C 【解析】因为|， 所以.故选：C. 变式5-1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）中，D为BC的中点，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 则， 则，即AD的长为.故选：C 变式5-2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 【答案】或7 【解析】由题可设平面向量两两的夹角为， 则或， 则由题 或． 变式5-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意得， ， 所以， 令，得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【方法技巧与总结】 根据数量积的定义，得，把向量的模的运算转化为数量积运算，这就是求模的方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积（一定非负），再求它的算术平方根，即为模。对于复杂的向量也是如此，例如求，可先求，再求其算数平方根，即为． 【题型6：向量的夹角问题及应用】 例6．（24-25高一下·天津·月考）如果向量满足，则与的夹角是 ． 【答案】 【解析】因为，设与的夹角为， 则，得， 因为，所以，即与的夹角是 变式6-1．（24-25高一下·河北保定·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为.故选：C 变式6-2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 变式6-3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是 ． 【答案】 【解析】以为轴正方向上的单位向量建立平面直角坐标系，则， 设 则由， 由， 又由， 所以 ， 则当且仅当时，的最大值为. 【方法技巧与总结】 求两个非零向量的夹角或其余弦值一般采用夹角公式．根据题中条件分别求，和．当已知，时，可直接利用公式求余弦值，进而可求夹角． 【题型7：利用向量判断几何图形形状】 例7．（24-25高一下·湖北汉阳·月考）在中，，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】由， 可知在上的投影向量为， 即点在边上的投影为边的中点， 所以，为等腰三角形．故选：B. 变式7-1．（24-25高一下·湖南长沙·期中）设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】， 即，，， 所以，为等腰三角形.故选：D 变式7-2．（24-25高一下·浙江宁波·月考）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形.故选：. 变式7-3．（24-25高一下·福建泉州·月考）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 如图，取中点，则， 所以，所以， 又，故，即为等腰三角形，故选：C． 【方法技巧与总结】 利用向量数量积判断几何图形形状的方法： 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，移项、平方是常用手段，计算相关数量积及向量的长度等，为得到边垂直、边相等指明方向． 【题型8：向量坐标与三角函数的交汇】 例8．（23-24高一下·甘肃安阳·期中）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 【答案】B 【解析】因为，且， 所以, 则，所以，故选：B． 变式8-1．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，， 又∵， ，∴，解得：， 则向量在上的投影向量为为.故选：D. 变式8-2．（23-24高一下·广东兴宁·期中）已知向量，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ， ， ，.故选：A 变式8-3．（24-25高一下·北京石景山·月考）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点， 为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知若的余弦距离为，则的余弦距离为 . 【答案】 【解析】由题意得， 则， 又， ， ， . 【方法技巧与总结】 解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示）将问题转化为与三角函数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可． 1．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，点在上，，，则（    ） A．12 B．20 C．40 D．48 【答案】D 【解析】设在上的射影为,如图所示. 由已知的,所以，所以, 所以, 所以向量在上的投影为, 所以，故选：D. 2．（24-25高一下·广西·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量，，得， 由，得， 所以.故选：B 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知向量，，若间的夹角为，则 . 【答案】 【解析】向量，，若间的夹角为， 则. 4．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量、满足，，，则与的夹角等于 【答案】 【解析】因为，可得， 因为，故，即与的夹角为. 5．（24-25高一下·山东枣庄·月考）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 【答案】(1)；(2)；(3)-4 【解析】（1）． 为直角三角形，且． ． （2）． （3） 6．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，设，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 所以， 又， 可得．故选：C 7．（24-25高一下·辽宁大连·月考）在中，，若O为的外心，则的值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】连接，设分别是的中点，连接， 因为，所以， 在上的投影为，， 同理在上的投影为，则， ，故选：B． 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为 ． 【答案】 【解析】因为是腰上的两个动点，则，， 所以， 又，则，得到， 所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以， 9．（24-25高一下·山东临沂·月考）已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：.若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为， 而，所以， 所以，故， 因为，所以，即， 所以，， 所以，所以， ，故选：A. 10．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确．故选:BCD. 11．（24-25高一下·山东青岛·月考）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 【答案】(1)或；(2)① 证明见解析；②证明见解析；(3). 【解析】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系， 设，则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 从力的做功到向量的数量积 课程标准 学习目标 （1）理解向量的数量积的概念； （2）了解投影向量与投影数量的概念 （3）理解向量数量积的运算律和运算性质； （4）掌握向量数量积的坐标表示； （5）理解利用数量积计算长度与角度． （1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会计算平面向量数量积； （2）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 （3）掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； （4）能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点01 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景：如图所示，一个物体在力F的作用下发生了一段位移s，就说这个力对物体做了功．那么力对物体做的功为，其中是F与s的夹角． 2、向量的数量积：如图，已知两个非零向量和，作，，向量与的夹角记为或(）．称为和的数量积（或内积），记作，即． 规定零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影 （1）投影向量：如图，已知两个非零向量和，作，，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到在上的投影γ＝，γ称为投影向量． （2）投影数量：称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·，所以投影数量是数量积的特殊情况． 4、向量数量积的几何意义：b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积，或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积． 【即学即练1】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）在边长为1的等边三角形中，的值为（    ） A．1 B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一下·云南怒江·月考）已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点02 数量积的运算性质 1、数量积的运算律 对于任意的向量，，和实数： （1）交换律：； （2）与数乘的结合律： （3）关于加法的分配律： 2、数量积的性质 （1）若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； （2）若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； （3）a·a＝|a|2，即|a|＝； （4）cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； （5）|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 【即学即练3】（24-25高一下·山东淄博·月考）在等式①；②；③；④若，且，则；⑤非零向量，满足，则．其中正确的命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练4】（24-25高一下·广东佛山·月考）（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 知识点03 数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j， 因为i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 【即学即练5】（24-25高一下·山东青岛·月考）已知平面向量，，则（    ） A．6 B．8 C．0 D． 【即学即练6】（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，则的值为（    ） A．3 B．5 C．4 D．6 知识点04 向量的模和夹角的坐标表示 1、向量模的坐标表示：设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝． 2、两点间的距离公式：如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝||＝． 这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式． 3、向量的夹角公式：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， cos θ＝＝(|a||b|≠0)． 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【即学即练7】（23-24高一下·广州深圳·月考）已知向量，，则= 【即学即练8】（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 难点：数量积的最值或取值范围问题 与向量数量积有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数，即寻找变量，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值． 【示例1】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【示例2】（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【题型1：求投影向量及投影数量】 例1．（24-25高三下·天津·模拟测试）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是 . 变式1-1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 变式1-2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高一下·山西晋中·月考）已知外接圆的圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为 ． 【方法技巧与总结】 求一个向量在另一个向量方向上的投影数量时，要先根据题意确定该向量的模及两向量夹角的大小，再根据公式求解． 【题型2：向量数量积的简单运算】 例2．（24-25高一下·江苏南通·月考）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，的夹角为45°，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式2-2．（24-25高三下·北京·月考）已知，，，则（    ） A．4 B．6 C．14 D．18 变式2-3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【方法技巧与总结】 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算及多项式乘法的相关公式进行化简． 【题型3：几何图形中的数量积求解】 例3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 变式3-1．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 变式3-3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则 . 【方法技巧与总结】 对于以平面图形为背景的项链数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的求解方法有两种：一是先利用平面向量基本定理，将相关向量同一组基表示，再利用向量数量积的运算律将原式展开，最后依据已知条件计算． 【题型4：向量垂直的应用】 例4．（24-25高一下·四川内江·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高一下·北京·月考）若，，且，则的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 变式4-2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知向量，，若与垂直，则的值为 ． 【方法技巧与总结】 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算． 【题型5：向量的模的计算及应用】 例5．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，与的夹角为，那么（    ） A．2 B．6 C． D．12 变式5-1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）中，D为BC的中点，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 变式5-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 根据数量积的定义，得，把向量的模的运算转化为数量积运算，这就是求模的方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积（一定非负），再求它的算术平方根，即为模。对于复杂的向量也是如此，例如求，可先求，再求其算数平方根，即为． 【题型6：向量的夹角问题及应用】 例6．（24-25高一下·天津·月考）如果向量满足，则与的夹角是 ． 变式6-1．（24-25高一下·河北保定·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 变式6-3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是 ． 【方法技巧与总结】 求两个非零向量的夹角或其余弦值一般采用夹角公式．根据题中条件分别求，和．当已知，时，可直接利用公式求余弦值，进而可求夹角． 【题型7：利用向量判断几何图形形状】 例7．（24-25高一下·湖北汉阳·月考）在中，，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 变式7-1．（24-25高一下·湖南长沙·期中）设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 变式7-2．（24-25高一下·浙江宁波·月考）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 变式7-3．（24-25高一下·福建泉州·月考）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【方法技巧与总结】 利用向量数量积判断几何图形形状的方法： 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，移项、平方是常用手段，计算相关数量积及向量的长度等，为得到边垂直、边相等指明方向． 【题型8：向量坐标与三角函数的交汇】 例8．（23-24高一下·甘肃安阳·期中）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 变式8-1．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（23-24高一下·广东兴宁·期中）已知向量，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（24-25高一下·北京石景山·月考）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点， 为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知若的余弦距离为，则的余弦距离为 . 【方法技巧与总结】 解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示）将问题转化为与三角函数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可． 1．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，点在上，，，则（    ） A．12 B．20 C．40 D．48 2．（24-25高一下·广西·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知向量，，若间的夹角为，则 . 4．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量、满足，，，则与的夹角等于 5．（24-25高一下·山东枣庄·月考）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 6．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，设，则（    ） A．3 B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁大连·月考）在中，，若O为的外心，则的值为（    ） A．4 B．6 C． D． 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为 ． 9．（24-25高一下·山东临沂·月考）已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：.若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山东青岛·月考）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$