精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年度第二学期高一期中考试数学试题

普集高中2025—2026学年度第二学期高一年级期中考试 （数学）试题（卷） 命题人：王彦朋 审题人：徐忠峰 总分值：150分试题 范围：必修第二册第六章至第八章8.4节 考试时间：120分钟 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 8. 小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 为纯虚数 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是虚数单位，若，，则________． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． （1）请用和表示； （2）求． 16. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 17. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. （1）求正三棱锥的表面积； （2）求正三棱锥的体积. 18. 在△ABC中，已知 （1）求角A； （2）若求的面积． 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2025—2026学年度第二学期高一年级期中考试 （数学）试题（卷） 命题人：王彦朋 审题人：徐忠峰 总分值：150分试题 范围：必修第二册第六章至第八章8.4节 考试时间：120分钟 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的乘法运算可得到结果. 【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限. 故选：A. 【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题． 2. 已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，且，应用向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，又，且，，三点共线， 所以，则. 故选：D 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 5. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，， 解得， 则圆锥的高为， 因此该圆锥的体积， 故选：D 7. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意在中可求，在中利用正弦定理求，再在中可直接求MN. 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 8. 小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案. 【详解】馒头的体积为， 火腿的体积为. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 为纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【详解】化简. 选项A：，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，为纯虚数，D正确. 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，则 ， 所以 ，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D；利用余弦定理判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，由及由正弦定理，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理，得为锐角，但无法判断角A和角B是否为锐角， 因此无法判断是否为锐角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得，即， 由，得，则或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，C正确； 对于D，由三角形有两解，得，即，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是虚数单位，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算列方程，化简求得的值. 【详解】由，得 所以，∴． 故答案为： 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． （1）请用和表示； （2）求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分别得解. 【小问1详解】 由已知， 即， 所以； 【小问2详解】 为线段的中点， ， 又，, , 又， 所以， 即. 16. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解； （3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则，解得， 所以当时，z是纯虚数. 【小问2详解】 若，则， 所以. 【小问3详解】 因为复数，对应的点为， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数m的取值范围为. 17. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. （1）求正三棱锥的表面积； （2）求正三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解. 【详解】（1）取的中点D，连接， 在中，可得. ∴. ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥的侧面积是. ∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴. 则正三棱锥的表面积为； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面. 且. 在中，. ∴正三棱锥的体积为. 【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题. 18. 在△ABC中，已知 （1）求角A； （2）若求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，再根据余弦定理求出角； （2）已知、和角，先根据余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式求出面积. 【小问1详解】 根据正弦定理将边角互化， 得到. 化简可得， 即. 再根据余弦定理， 因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 根据余弦定理，可得. 即，整理得. 解得或（边长不能为负舍去）. 最后根据三角形面积公式， 可得. 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $