精品解析：广东仲元中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试题

广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学试题 命题：邹传庆 审题：霍子伟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为的正三角形中，的值为 A. B. C. D. 5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则（　　） A. B. C. D. 10. 在中，内角所对的边分别为且，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆的半径为 D. 为钝角三角形 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. i表示虚数单位，则______． 13. 已知，则的值是______. 14. 如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． (1)求； (2)求满足的实数m，n； (3)若，求实数k. 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 17. 已知向量，函数 （1）求函数的最大值及最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域． 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 19. 如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，. （1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围； （2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学试题 命题：邹传庆 审题：霍子伟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值． 【详解】由诱导公式可得，． 故选：B． 2. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解. 【详解】由题意， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断，再根据商的关系结合平方关系求解即可. 【详解】 由， 解得， 故选：D. 4. 在边长为的正三角形中，的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案. 【详解】以、为邻边作菱形，则， 由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍， 即，因此，，故选：D. 【点睛】本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：C. 6. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以． 所以与的夹角为． 故选：A． 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先解方程组求得，根据向量平行与垂直的坐标表示、向量模长和夹角的坐标运算依次验证各个选项即可. 【详解】由得： 对于A，，，即与不平行，A错误； 对于B，，，，B正确； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，即，D正确. 故选：BCD. 10. 在中，内角所对的边分别为且，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆的半径为 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：由余弦定理可得：，故 A错误； 选项B：由，可得， 所以三角形的面积为： ，故B正确； 选项C：由正弦定理可得：，故C正确； 选项D：因为，，所以为钝角，是钝角三角形，故 D正确. 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解. 【详解】由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即， 所以，， 又点在函数的图象上，所以， 所以即， 又，所以，， 将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象， 所以， 因为， 所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴， 故A错误，B正确； 当时，， 所以在区间上不单调，故C错误； 若，则、分别为函数的最大值、最小值； 由函数的最小正周期为可得的最小值为， 故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. i表示虚数单位，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算性质求解出原式的结果. 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：虚数单位的常见运算性质： （1）； （2）. 13. 已知，则的值是______. 【答案】 【解析】 【详解】解：，则. 14. 如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得 ，再结合三点共线的性质得求解即可. 【详解】解：由题意得 因为三点共线， 所以 所以 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． (1)求； (2)求满足的实数m，n； (3)若，求实数k. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标； (2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,. (3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k. 【详解】（1） （2）∵， ∴． ∴ 解得 （3）∵． ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题. 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值； （Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，）， ∵，， ∴sinα，cos（α﹣β）， ∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα ， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β） ， 又∵，∴β． 【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键. 17. 已知向量，函数 （1）求函数的最大值及最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） 最大值为,最小正周期为；（2） 【解析】 【分析】(1)由已知化简可得,可得最大值，利用周期公式可求的最小正周期; (2)由图象变换得到,从而求函数的值域. 【详解】(1) . 所以函数的最大值为,最小正周期为 (2)由(1)得. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象. 因此，又， 所以，. 故在上的值域为. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得，进而根据三角函数性质求解. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 19. 如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，. （1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围； （2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2）存在最大值2，， 【解析】 【分析】（1）法一：先计算出，再把用表示出来，再按照数量积运算即可； 法二：建立直角坐标系，表示出，按照数量积的坐标运算计算即可. （2）先通过得到，再换元后利用双勾函数的内容求出最值即可. 【小问1详解】 法一：由等腰梯形的性质可知， 即，又， 则. 由F，F分别为线段，上动点，故，. 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，易得，，，， ， 则. 由E，F分别为线段，上动点，故，. 【小问2详解】 由可得，则， 又解得，. 故，令，则，即， 显然函数在上单调递增，故当即且时，取得最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $