精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2025-2026学年下学期九年级模拟试题 数 学

2025-2026学年下学期九年级模拟试题数学 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最小的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“负数的绝对值越大，该负数越小”的比较规则，计算比较即可得到结果． 【详解】∵ 负数比较大小的规则为：绝对值越大的负数，数值越小. 计算各选项的绝对值：，，，， ∵ ， ∴ ． 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：U型磁铁示意图的俯视图是． 3. 中国信息通信研究院测算年，中国商用直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：万亿． 4. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，再通过角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴电线杆与山坡所成锐角的度数为， 故选：． 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故 A 符合题意． 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除，积的乘方，幂的乘方的法则，逐一判断选项正确性． 【详解】解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B正确； 对于选项C，， C错误； 对于选项D，， D错误； 综上，正确答案为B． 8. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：用表示祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能得结果，其甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的情况有4种， ∴． 故选D。 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质确定点坐标，进而得出中点坐标，设出点坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解．本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，熟练掌握这些知识并灵活运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ）， ∴， ∵为中点，，， ∴． 设 ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故选：D． 10. 如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意和图可知，当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， 四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 当时，如图作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 令， 解得：； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， 解得，， ∴， 令， ， 解得：，不合题意，舍去， 综上所述：． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质．数形结合并分类讨论求出与之间的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______棵． 【答案】1800 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，根据图形可以发现，频率在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.9， ∴这种树苗成活的概率为0.9， ∵移植这种树苗2000棵， ∴成活的大约有：（棵）， 故答案为：1800． 13. 若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】∵是一元一次不等式组的一个正数解， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是半圆的直径，点，分别是的中点和三等分点，连接，，若半径，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，扇形的面积公式．连接OC，设OD与BC交于点E，过点E作于点F，由题意易得，是等腰直角三角形；设，则．由建立方程求出x的值，即可求得的值，由即可求解． 【详解】连接OC，设OD与BC交于点E，过点E作于点F，如图所示． ∵点C，D分别是的中点和三等分点， ∴，． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 设，则． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及分式的混合运算，熟知运算法则和运算顺序是关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则和零次幂的意义求解即可； （2）根据分式的混合运算先算括号内，再把除法转化为乘法运算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式= ． 17. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为、、、四个等级，其中各等级的得分分别记为10分、8分、6分、4分．现将甲、乙两个班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 7.8 10 乙班 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_______，的值为_______，的值为_______； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； 【答案】（1）7.8，9，8 （2）推荐甲班参加，理由：甲、乙两班的平均数相同，甲班的中位数、众数大于乙班的中位数、众数 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的计算方法进行计算即可得，根据中位数的定义求得，根据众数的定义求得； （2）根据中位数和众数可知，甲班成绩的众数和中位数大于乙班成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：， 甲班人数为：（人）， 甲班的成绩的中位数为第10个和第11个的平均数，即， 根据扇形统计图可得：乙班级的人数最多，即众数， 故答案为：7.8，9，8； 【小问2详解】 解：推荐甲班参加， 理由：甲、乙两班的平均数相同，甲班的中位数、众数大于乙班的中位数、众数． 18. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 19. 小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 【答案】（1） 解：如图1，点P为所求（答案不唯一，正确即可） （2） 解：如图2，线段为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点A、B，连接交于点P，根据矩形的对角线互相平分，即可得出点P为的中点； （2）取格点G、E、H，连接、，交于点F，连接，交于点D，根据勾股定理可得，从而得出，根据矩形性质得出点F为中点，根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了能够更好地进行电路实验学习，某校九年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格的和是12元，同学们决定用60元购买小灯泡，90元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍． （1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格； （2）若九年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计120个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并求出总费用的最小值． 【答案】（1）每个小灯泡价格为元，每个小电动机价格为元 ． （2）最省钱的购买方案是购买个小灯泡，个小电动机，总费用最小值为元 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的解法、一次函数的性质是解题的关键． （1）设出小灯泡价格，根据小电动机与小灯泡价格和表示出小电动机价格，再结合购买数量的倍数关系（小灯泡数量是小电动机数量的2倍 ）列出分式方程求解． （2）设购买小灯泡数量，进而表示出小电动机数量，根据数量关系列出不等式确定取值范围，再根据价格列出总费用函数，利用函数性质求最值． 【小问1详解】 解：设每个小灯泡的价格为元，则每个小电动机的价格为元． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每个小灯泡价格为元，每个小电动机价格为元 ． 【小问2详解】 解：设购买小灯泡个，则购买小电动机个． ∵ 为正整数， ∴ 设总费用为元， ∵ ， ∴ 随的增大而减小． 当时，最小， 此时 ∴最省钱的购买方案是购买个小灯泡，个小电动机，总费用最小值为元 ． 21. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； （3）若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入抛物线解析式求出，即可求解； （2）先将抛物线化为顶点式，可得其顶点为，根据题意可得，则点到轴的距离为，结合二次函数的性质即可求解； （3）由抛物线解析式可知，该抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到二次函数的增减性，结合对于，总有，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析式可得：， 解得：， 当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为； 【小问2详解】 抛物线， 其顶点为， 当点位于轴下方时，， 点到轴的距离为， ， 当时，取得最小值， 即点到轴距离的最小值为； 【小问3详解】 抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 对于，总有， ， 解得：． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）；； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质，，由正弦函数的定义可求得，再根据平行线的性质即可求得；求得，再利用正弦函数的定义可求得，据此求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，即可求得；由（1）得，则设，则，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分当点落在上和上，同（1）或（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，沿折叠，使点D的对应点落在上， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴； 由（1）得， ∴设，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为， ∵E，F，G，H分别为的中点， ∴， 当点落在上时， ∵折叠， ∴， 同理，， ∴，，， ∴； 当点落在上时， ∵折叠， ∴，同理，则， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，正方形与折叠的问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期九年级模拟试题数学 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最小的负数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国信息通信研究院测算年，中国商用直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 6. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______棵． 13. 若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 14. 如图，是半圆的直径，点，分别是的中点和三等分点，连接，，若半径，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为、、、四个等级，其中各等级的得分分别记为10分、8分、6分、4分．现将甲、乙两个班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 7.8 10 乙班 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_______，的值为_______，的值为_______； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； 18. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 19. 小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 20. 为了能够更好地进行电路实验学习，某校九年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格的和是12元，同学们决定用60元购买小灯泡，90元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍． （1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格； （2）若九年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计120个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并求出总费用的最小值． 21. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 22. 已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； （3）若对于，总有，请直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $