期中复习易错十八考点60题 2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（新教材人教版）

期中复习易错十八考点60题 目录 考点1 算术平方根（共5小题） 1 考点2 立方根（共2小题） 3 考点3 无理数（共1小题） 4 考点4 实数与数轴（共1小题） 5 考点5 估算无理数的大小（共5小题） 5 考点6 二元一次方程的解（共2小题） 9 考点7 二元一次方程组的解（共5小题） 10 考点8 解二元一次方程组（共2小题） 14 考点9 二元一次方程组的应用（共5小题） 16 考点10 三元一次方程组的应用（共1小题） 22 考点11 点的坐标（共5小题） 24 考点12 坐标与图形性质（共2小题） 27 考点13 点到直线的距离（共2小题） 29 考点14 同位角、内错角、同旁内角（共2小题） 31 考点15 平行线的判定（共2小题） 32 考点16 平行线的性质（共10小题） 33 考点17 平行线的判定与性质（共5小题） 45 考点18 生活中的平移现象（共3小题） 52 考点1 算术平方根（共5小题） 1．下列说法正确的是（   ） A．表示5的算术平方根 B．表示3的算术平方根 C．2的算术平方根为 D．36是6的算术平方根 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、表示5的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B、表示3的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； C、2的算术平方根为，故本选项错误，不符合题意； D、6是36的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； 2．已知，那么的值约为_____（精确到）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 3．若，则_______． 【答案】 【详解】解：，，，且， ，，， 解得，，， 将，，代入得 ． 4．已知的平方根是，的算术平方根为4， (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，． (2)2 【分析】（1）根据平方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义可求出b的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根为4 ∴， ∴ 解得； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为2． 5．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 考点2 立方根（共2小题） 6．的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴的立方根是. 7．已知一个正数的平方根是与，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）根据（1）的结论，算出，再计算平方根，即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数的平方根是与， ， ， 的立方根是2， ， ， ． （2）解：， ， 的平方根是． 考点3 无理数（共1小题） 8．在实数，，，，（相邻两个之间的个数依次加1），中，无理数有（  ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断所给实数的类型，统计无理数个数即可得到结果． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数； 是有限小数，是分数，都属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无理数，因此也是无理数； ，相邻两个之间的个数依次加，是无限不循环小数，属于无理数； ∴无理数共有个． 考点4 实数与数轴（共1小题） 9．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与正半轴的交点为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义求出正方形的边长，再根据作图求解即可． 【详解】解：正方形的面积为5， ， 点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与正半轴的交点为， 点表示的数为． 考点5 估算无理数的大小（共5小题） 10．在数轴上表示的点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】先估算在哪两个整数之间，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， 即， 则数轴中点C符合题意． 11．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 12．将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为， ，，， ， 估计与这个大正方形的边长最接近的整数是． 13．设、是实数，且，，整数______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求得x、y，再根据立方根的定义估算的范围，进而可求得n值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，则， ∵，，， ∴，又， ∴． 14．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）仿照例题证明即可求解； （2）根据材料提示，分别求出整数部分和小数部分，即可求解； （3）分别求出，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是5的倍数， 也是5的倍数， 是5的倍数． 设（是正整数），则，即， 也是5的倍数． 都是5的倍数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数； （2）解：∵， ∴，即的整数部分，小数部分， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 考点6 二元一次方程的解（共2小题） 15．若是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程得到m，n的关系式，再通过整体变形计算出目标代数式的值． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的解． ∴ 将 代入方程得 整理得 等式两边同乘2得 ∵ ∴ ． 16．若是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】将代入进行求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 考点7 二元一次方程组的解（共5小题） 17．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 18．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 19．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 20．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 21．若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 【答案】(1)该方程组是“美好方程组”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：该方程组是“美好方程组”，理由如下： ， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解：∵是“美好方程组”， ∴，得， ∴， 解得； （3）解：， 得， 解得； 得， 解得； ∵是“美好方程组”， ∴， 整理得， ∵为正整数， ∴． 考点8 解二元一次方程组（共2小题） 22．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用加减法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得到，，解得， 把代入①得到，， 解得 ∴ （2）解： 得到，，解得 把代入①得到，解得 ∴ 23．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 考点9 二元一次方程组的应用（共5小题） 24．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 【答案】(1)甲，乙两公司各有220人，240人 (2)共有2种方案，①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 【分析】（1）根据人数和钱数分别列出方程得到方程组，解方程组即可； （2）根据设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套，根据总钱数得到，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲公司有人，乙公司有人， 根据已知题意，得， 解得，   答：甲，乙两公司各有220人，240人； （2）解：设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套， 根据题意，得， 即， 整理得， ∵，且都是整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 答：共有2种方案：①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 25．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 26．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 27．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 28．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 考点10 三元一次方程组的应用（共1小题） 29．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 考点11 点的坐标（共5小题） 30．如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的坐标的几何意义和第二象限点的坐标特征求解，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴点的横坐标小于，纵坐标大于 由题意可知，点到轴距离为，到轴距离为 ∵点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值 ∴点的横坐标绝对值为，纵坐标绝对值为 结合横纵坐标的符号可得，点的坐标为． 31．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴点位于第二象限． 32．若点在y轴上，则______． 【答案】1 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵点在y轴上 ∴点A的横坐标为0，即 解得． 33．如图，已知点坐标为，点坐标为，点，在格点上． (1)在平面直角坐标系中描出两点的位置，并写出点的坐标； (2)连结、、，将三角形平移，使点平移到点，画出三角形以及平移后所得的三角形，并写出一种平移的路径． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，先将向右平移3个单位，再向下平移1个单位 【分析】（1）根据点的坐标 画出点，，再根据点的位置写出坐标； （2）画出，再将向右平移3个单位，再向下平移1个单位即可． 【详解】（1）解：如图，点A，C即为所求，． （2）解：如图，，即为所求． 先将向右平移3个单位，再向下平移1个单位． 34．在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0，求出a的值，再计算点P的纵坐标即可得到点P坐标； （2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，求出a的值，再计算点P的横坐标即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：，点在轴上，y轴上的点横坐标为 解得 将代入得： 点P的坐标为． （2）解：点Q坐标为，直线轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等， 解得 将代入得： 点P的坐标为． 考点12 坐标与图形性质（共2小题） 35．如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)16 (3)存在，P点坐标是或 【分析】（1）根据平方数和算术平方根的非负性，可得，，即得答案； （2）由（1）知，，，可得，，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，则，再利用面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：由（1）知，，， ，， 轴， ， ，， 三角形的面积为． （3）解：存在，点或 设，则， 若三角形和三角形的面积相等， 则， 解得或， 点P坐标是或． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 考点13 点到直线的距离（共2小题） 37．如图，在中，，于点，于点，则点到的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断即可． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义知：线段的长度为点到的距离． 38．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 考点14 同位角、内错角、同旁内角（共2小题） 39．如图，下列各组角中是同位角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同侧的角，据此定义判断即可． 【详解】解：A、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项A不符合题意； B、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项B不符合题意； C、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项C不符合题意；   D、观察图形可知，和有公共边，即它们有截线，且满足这两个角都在截线的右侧，都在被截直线的上方，因此和是同位角，故选项D符合题意． 40．如图，直线m，n被直线l所截，所形成的一对内错角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解： 直线，被所截， 内错角应在被截线，之间，在截线两侧， 与互为内错角，与互为内错角， 故选项C符合题意． 考点15 平行线的判定（共2小题） 41．如图，下列能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，，故本选项不符合题意； 、由得不到，故本选项不符合题意； 、，，故本选项不符合题意； 、，，故本选项符合题意； 42．如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行判定； 由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，不能判定； 由，可以根据同位角相等，两直线平行判定； 由，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定； ∴能判定的是①③④． 考点16 平行线的性质（共10小题） 43．如图，，，，则的度数是（    ） A．45° B．62° C．63° D．72° 【答案】A 【详解】解：如图， ， ， ． 44．如图①，在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓，正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，图②是其简易示意图，若在某一时刻，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．一副三角板按如图所示放置，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角板中，，，结合平行线的性质可得，最后作差即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∵， ∴， ∴． 46．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．如图，某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可得：，从而可得，然后利用平行的性质求出，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ． 47．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合对顶角的性质计算出的度数． 【详解】解：∵水面与底面平行， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴， ∴． 48．如图，已知，，，则______． 【答案】 25 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 49．某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，如图所示．已知，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．如果灯发出的光束先转动20秒，灯发出的光束才开始转动，在灯发出的光束到达之前，当两灯发出的光束互相平行时，灯转动的时间是______秒． 【答案】10 或 85 【分析】设灯A转动秒时，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，，，，再根据平行线的性质建立方程并求解即可． 【详解】解：设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行， 当A光束与重合时：秒， 当A光束返回与重合时：秒， 当B光束与重合时：秒， 当时，灯A射线转动至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意， 综上所述，灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 50．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 51．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，． 【操作发现】 (1)如图①，若 求的度数； (2)如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． (3)【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)开拓小组的结论正确，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质进行解答即可； （3）根据平行线的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵ 直线， ∴ ， ∵ ， ∴ （2）解：． 理由：如图②，过点 B 作， ∵， ∵ ∴ ∴ （3）解：开拓小组的结论正确． 理由：如图③所示，过点 A 作， ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴开拓小组的结论正确． 52．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则________，________． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 【答案】(1)15，150 (2) (3)2或6或8 【分析】（1）如图1，过点作，证明，可得结论； （2）同法可证，利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分三种情形：当时，当时，当时，分别求出的度数，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，， ． ，． ． ， ． ， ． （2）解：同法可证， ， ． ． ， ． ，分别平分，， ，． ． （3）如图3-1，当时，设与交于点， ． ． ． ， ∴． ． ． 如图3-2，当时， 此时， ． ． 如图3-3，当时，过点作， ． ，． ． ． 综上所述，满足条件的t的值为2或6或8． 考点17 平行线的判定与性质（共5小题） 53．如图，在四边形中．点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，求证：． （请补全证明）证明：（   ）， （已知）， ______________________（等量代换）， （   ） ___________（两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， ______________________（同旁内角互补，两直线平行）， （   ）． 【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等 【分析】利用平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等． 54．如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，结合，推出，即可推出， （2）先证明，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ∴． 55．光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． (1)当平面镜与平行时，与是否平行？ (2)在（1）的结论下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及等式的性质进行推导； （2）利用平角定义和反射原理进行计算． 【详解】（1）解：， 理由：∵平面镜与平行， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 56．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质可得，结合已知等量代换得出，即可得证； （2）过点作，可得，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，得到，即可得证； （3）过的顶点作平行线，即过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解； （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作， ， 工作篮底部与支撑平台平行，即， ， ， ， ； （4）解：如图所示，过点作， ， ， ， 底部支架与吊线平行，即， ， ， ． 57．问题探究： 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图①，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系：已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明．然后思路就卡壳了，不知道怎么证明 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，帮助她继续完成证明：（可继续添加辅助线） 问题迁移： (3)如图④，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点平分平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定及性质证明即可； （2）过点作，交于点F，则，，由得到，因此； （3）由角平分线的定义得到，过点H作，则，进而得到，由平行线的判定得到，因此，再根据平分得到，从而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过点作，交于点F，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 过点H作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 考点18 生活中的平移现象（共3小题） 58．如图，将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 59．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 60．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习易错十八考点60题 目录 考点1 算术平方根（共5小题） 1 考点2 立方根（共2小题） 2 考点3 无理数（共1小题） 2 考点4 实数与数轴（共1小题） 2 考点5 估算无理数的大小（共5小题） 2 考点6 二元一次方程的解（共2小题） 4 考点7 二元一次方程组的解（共5小题） 4 考点8 解二元一次方程组（共2小题） 5 考点9 二元一次方程组的应用（共5小题） 5 考点10 三元一次方程组的应用（共1小题） 8 考点11 点的坐标（共5小题） 8 考点12 坐标与图形性质（共2小题） 9 考点13 点到直线的距离（共2小题） 9 考点14 同位角、内错角、同旁内角（共2小题） 10 考点15 平行线的判定（共2小题） 10 考点16 平行线的性质（共10小题） 11 考点17 平行线的判定与性质（共5小题） 14 考点18 生活中的平移现象（共3小题） 17 考点1 算术平方根（共5小题） 1．下列说法正确的是（   ） A．表示5的算术平方根 B．表示3的算术平方根 C．2的算术平方根为 D．36是6的算术平方根 2．已知，那么的值约为_____（精确到）． 3．若，则_______． 4．已知的平方根是，的算术平方根为4， (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 5．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 考点2 立方根（共2小题） 6．的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 7．已知一个正数的平方根是与，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 考点3 无理数（共1小题） 8．在实数，，，，（相邻两个之间的个数依次加1），中，无理数有（  ）个 A． B． C． D． 考点4 实数与数轴（共1小题） 9．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与正半轴的交点为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 考点5 估算无理数的大小（共5小题） 10．在数轴上表示的点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 11．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 12．将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．设、是实数，且，，整数______． 14．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 考点6 二元一次方程的解（共2小题） 15．若是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 16．若是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 考点7 二元一次方程组的解（共5小题） 17．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 18．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 19．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 20．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 21．若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 考点8 解二元一次方程组（共2小题） 22．解下列方程组： (1) (2) 23．解方程组： (1)； (2)． 考点9 二元一次方程组的应用（共5小题） 24．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 25．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 26．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 27．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 28．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 考点10 三元一次方程组的应用（共1小题） 29．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 考点11 点的坐标（共5小题） 30．如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 31．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．若点在y轴上，则______． 33．如图，已知点坐标为，点坐标为，点，在格点上． (1)在平面直角坐标系中描出两点的位置，并写出点的坐标； (2)连结、、，将三角形平移，使点平移到点，画出三角形以及平移后所得的三角形，并写出一种平移的路径． 34．在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 考点12 坐标与图形性质（共2小题） 35．如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 考点13 点到直线的距离（共2小题） 37．如图，在中，，于点，于点，则点到的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 38．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 考点14 同位角、内错角、同旁内角（共2小题） 39．如图，下列各组角中是同位角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 40．如图，直线m，n被直线l所截，所形成的一对内错角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点15 平行线的判定（共2小题） 41．如图，下列能判断的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 考点16 平行线的性质（共10小题） 43．如图，，，，则的度数是（    ） A．45° B．62° C．63° D．72° 44．如图①，在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓，正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，图②是其简易示意图，若在某一时刻，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．一副三角板按如图所示放置，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 46．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．如图，某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证为（   ） A． B． C． D． 47．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，已知，，，则______． 49．某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，如图所示．已知，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．如果灯发出的光束先转动20秒，灯发出的光束才开始转动，在灯发出的光束到达之前，当两灯发出的光束互相平行时，灯转动的时间是______秒． 50．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 51．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，． 【操作发现】 (1)如图①，若 求的度数； (2)如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． (3)【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由． 52．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则________，________． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 考点17 平行线的判定与性质（共5小题） 53．如图，在四边形中．点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，求证：． （请补全证明）证明：（   ）， （已知）， ______________________（等量代换）， （   ） ___________（两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， ______________________（同旁内角互补，两直线平行）， （   ）． 54．如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 55．光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． (1)当平面镜与平行时，与是否平行？ (2)在（1）的结论下，若，求的度数． 56．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 57．问题探究： 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图①，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系：已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明．然后思路就卡壳了，不知道怎么证明 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，帮助她继续完成证明：（可继续添加辅助线） 问题迁移： (3)如图④，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点平分平分，求的度数． 考点18 生活中的平移现象（共3小题） 58．如图，将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 59．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 60．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $