第19-21章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 聚焦二次根式、勾股定理及四边形综合，通过折叠问题、准菱形新定义、动态旋转探究等，考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配八年级下册期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次根式化简、勾股定理判定、特殊四边形关系|结合图形辨析，夯实基础概念| |填空题|6题|二次根式意义、中位线、圆柱最短路径|联系生活情境（蚂蚁取蜜），提升空间观念| |解答题|9题|二次根式运算、矩形证明、正方形动态探究|新定义“准菱形”与多问递进（如旋转线段关系），培养创新应用能力|

第19-21章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 4．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（    ） A． B． C． D． 6．已知直角三角形的三边为边向外作三个正方形，作大正方形的面积为，则其余两个正方形和的面积和为（   ）． A． B． C． D．无法知道 7．长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 9．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 12．已知a，b满足，则________． 13．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_______．（杯壁厚度不计） 14．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 15．如图，在中，，平分交于D点，，，点P是线段上的一动点，则的最小值是____________ ． 16．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且，求这个四边形的草地的面积． 19．如图，在中，于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，，且于点，若，，求的面积． 20．已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 21．请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 22．由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题： (1)在图中画出格点，使； (2)在图中画出的角平分线； (3)在图中画出点关于的对称点． 23．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 24．定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出四边形的面积． 25．已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． 问题发现 (1)如图（1），过点作，与交于点，则易发现和之间的数量关系为______，、、之间的数量关系为______． (2)拓展探究 当绕点旋转到如图（2）位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． (3)解决问题 当绕点旋转到如图（3）位置时（点、在直线两侧），若此时，时，______． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第19-21章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D B B C A D D 1．D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1 、被开方数不含分母；2 、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件才是最简二次根式，否则不是，据此判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； B 、，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； C 、，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； D 、，被开方数含有分母，不满足最简二次根式的条件，不是最简二次根式． 2．B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 3．D 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 4．D 【分析】根据同类二次根式合并法则和二次根式乘法法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A．与不是同类二次根式，不能合并，该项错误； 选项B．==≠，该项错误； 选项C．==，运算结果未化为最简二次根式，该项错误； 选项D．==，计算正确，该项正确． 5．B 【分析】根据二次根式的运算法则并结合无理数和有理数的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，为有理数，该选项不符合题意； B、，其结果为无理数，该选项符合题意； C、，为有理数，该选项不符合题意； D、，为有理数，该选项不符合题意． 6．B 【分析】利用勾股定理得出，正方形的面积正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示， 根据题意得：是直角三角形，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为，， ∴正方形的面积正方形的面积． 7．C 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 8．A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 9．D 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据作图步骤得出四边形为菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设直线与交于点， 由作图步骤可知，、， ， 四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 10．D 【分析】由正方形的性质可得，，再证明，即可得出，从而判断①正确；先证明是等腰直角三角形，则，求出的度数，再结合全等三角形的性质即可判断②正确；由勾股定理可得，证明是直角三角形，再结合勾股定理即可判断③正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形的面积公式即可判断④正确；过点作，交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ⑤过点作，交的延长线于点，如图： ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 11． 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得： 12．10 【分析】根据二次根式的被开方数为非负性求得、值即可． 【详解】解：、满足， 且， ， ∴， ． 13． 17 【分析】根据题意将圆柱侧面展开，运用“将军饮马”模型找到最短路径，再求得的长度，最后，由勾股定理即可得到最短路径的长． 【详解】解：如图， 将该圆柱的侧面展开， 由题意，得，，   在中，， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 14．/16米 【分析】先判断是的中位线，再由中位线的性质即可得解． 【详解】解：，是，的中点， 是的中位线， ， ． 15．5 【分析】过点D作于点E，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值是5． 16． 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 17．(1) (2) 【分析】（1）原式先计算二次根式的除法和化简二次根式，再合并即可； （2）原式根据平方差公式将括号展开，化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．36 【分析】如图：连接，运用勾股定理可求得，再利用勾股定理逆定理可证明是直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明得出，，进而得出，即可证明四边形是平行四边形，结合已知，即可得证； （2）设，勾股定理分别求得，在中，建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：中 ，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形 （2）解：， ， ， ， 在中， 设，则，， 在中， 在中， 解得， ． 20．(1) (2)20 【分析】（1）根据题意求出和的值，再根据计算求解即可； （2）根据正方形的面积公式求出阴影正方形的边长，进而求出阴影长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ， ∴ ； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，将含根式的分式转化为两个根式的差，归纳出通项公式； （2）先利用（1）的结论，将每一项裂成两个根式的差，抵消中间项后，最后计算首尾两项的差得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用网格图中全等三角形可得点； （2）延长到点，连接交格点于点，连接交于点，则是的角平分线； （3）连接并延长交于点，点是点关于的对称点． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作， （2）解：如图，延长到点，连接交格点于点，连接交于点，则即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴平分， 即是的角平分线； （3）解：如图，连接并延长交于点，点即为所求； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴点是点关于的对称点． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 24．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； ②取的中点， 连接、、，再根据然后求出，即可判断出是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出、的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形的面积即可. 【详解】（1）解：如图2所示，四边形即为所求； （2）证明：①∵，， ∴垂直平分 ∴，， ∵， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图，取的中点，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴菱形中，， ∴菱形的面积为：． 25．(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点C作交于点E，证明，根据等腰直角三角形的性质进行求解； （2）过点C作交于点E，证明，根据等腰直角三角形的性质进行求解； （3）过点C作交于点E，过点D作，交的反向延长线于点，证明，得出直角三角形，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图1，过点C作交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点C作交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点C作交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点D作，交的反向延长线于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $