精品解析：山西太原市山西大学附属中学校2025～2026学年下学期七年级期中学业诊断 数学

2025~2026学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，任何非0数的零次幂都等于1． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、单项式除法、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误； ∵ 对选项B，，计算正确，∴B正确； ∵ 对选项C，，∴C错误； ∵ 对选项D，，∴D错误． 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是1 B. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 C. 从一副扑克牌中抽一张牌是大王 D. 山西男篮球员罚球一次命中 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件的定义判断各选项即可，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件． 【详解】解：A选项，掷均匀骰子，朝上点数可能是1到6中任意数，朝上点数是1属于随机事件，不符合要求． B选项，花生油密度小于水，花生油滴入水中一定浮在水面，属于必然事件，符合要求. C选项，从一副扑克牌中抽一张，抽到大王是随机事件，不符合要求． D选项，球员罚球一次命中是随机事件，不符合要求． 5. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式结构为，要求两个相乘的二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：，两项都完全相同，属于完全平方公式，不能用平方差公式，不符合要求； 中没有完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式，不符合要求； ，其中相同项为，与互为相反数，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式简便计算，符合要求； ，属于完全平方公式，不能用平方差公式，不符合要求． 6. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为线段，所以是点到直线的垂线段，最短．蕴含的数学道理是垂线段最短． 7. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】大于0而小于1的数用科学记数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数． 【详解】解：2.5μm=， 故选：C． 8. 以下说法正确的是（ ） A. 在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B. 在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C. 在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D. 在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 9. 一只圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为，高为．又知另一个长方体形容器的底面长为，宽为a．如果把这只圆柱形桶中的水全部倒入这个长方体形容器中（水不溢出），那么水面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用水的体积不变求解，先根据圆柱体积公式计算水的体积，再用体积除以长方体底面积得到水面高度； 【详解】解：∵ 圆柱形桶底面直径为 ∴ 底面半径为 水的体积等于圆柱容积，即 ∵ 长方体容器底面长为 宽为 ∴ 长方体容器底面积 设倒入后水面高度为 则 ∴ 因此答案选D． 10. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点的位置，的延长线交于点G，若，则（ ）（用的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据平行线的性质，折叠的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴． ∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在题中横线上 11. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据负整数指数幂的运算知识，，进行作答，即可求解； 【详解】解： ， 故答案为：； 12. 某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，由此即可得解． 【详解】解：由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于， ∴估计黄豆发芽的概率是， 故答案为：． 13. 如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 14. 已知： 【答案】40. 【解析】 【详解】试题解析：∵am=2， ∴a3m=（am）3=23=8， ∴a3m+n=a3man =8×5 =40 考点：1.幂的乘方与积的乘方；2.同底数幂的乘法． 15. 如图将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，点在边上，连接，，，若线段，且．则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据完全平方公式，正方形的性质，分割法表示图形的面积求解即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， ， 故， 图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题含8个小题，共55分）解答时应写出必要的文字说明演算步骤或推理过程． 16. 计算 （1） （2） （3） （4）利用乘法公式计算： 【答案】（1） （2） （3） （4）4 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘以单项式计算即可； （2）根据多项式除以单项式解答即可； （3）根据多项式乘以多项式，整式的加减运算求解即可； （4）利用完全平方公式求解即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ＝4； 17. 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简 解：原式………………第一步 ……………………第二步 ………………第三步 ……………………第四步 任务一： （1）填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_____． ②第_____开始出现错误，出现错误的原因是_____． 任务二： （2）该整式化简的正确结果_____． 【答案】（1）①　；②二；在计算的过程中，漏写 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据平方差公式求解即可． ②根据完全平方式求解即可． （2）根据公式，正确求解即可． 【小问1详解】 解：①用到的公式为：． ②从第二步开始出现错误，出现错误的原因是在计算的过程中，漏写． 【小问2详解】 解：原式 ； 18. 如图，直线于点． （1）尺规作图：过点作的平行线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据作已知直线的平行线的方法，即可作出直线； （2）根据“两直线平行，同位角相等”，可得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 ，理由如下 ∵， ， ， ， ， ∴． 19. 如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，当它停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指在分界线上，则重新转动转盘）．小颖与小亮进行转盘游戏，游戏规则是：若转出的数是3的倍数则小颖获胜，若不是3的倍数则小亮获胜．请判断此游戏规则是否公平并说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】不公平，转出的数字为奇数，则小颖获胜；转出的数字为偶数，则小亮获胜．（答案不唯一） 【解析】 【分析】先计算各自的获胜概率，再比较解答即可； 【详解】解：游戏规则不公平，理由如下： 转盘停止后，转出的数字共有8种可能的结果：1，2，3，4，5，6，7，8，因为转盘是被平均分成8等分的，所以每种结果出现的可能性相同． 转出的数字是3的倍数的结果有2种：3，6； 转出的数字不是3的倍数的结果有6种：1，2，4，5，7，8， 所以（小颖获胜）， P（小亮获胜）， 因为，所以游戏规则不公平． 游戏规则改为：转出的数字为奇数，则小颖获胜；转出的数字为偶数，则小亮获胜．（答案不唯一） 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， （____________________________） ， _____（垂直的定义）． 即 ________（_________________________） （内错角相等，两直线平行）． 又， （_______________________________）． 【答案】①依据1：两直线平行，内错角相等，② ，③，④依据2：同角的余角相等，⑤依据3：平行于同一条直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质， 【详解】证明：， （依据1：两直线平行，内错角相等） ， （垂直的定义）． 即 （依据2：同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行）． 又， （依据3：平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 21. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）求需要硬化部分的面积（用含，的最简代数式表示）； （2）当，时，求需要硬化的面积． 【答案】（1）平方米 （2）185平方米 【解析】 【分析】（1）根据图形的特点，列代数式求解即可； （2）把，代入（1）中所求代数式即可． 【小问1详解】 解：根据图形的特点，得到需要硬化部分的面积为： ， 平方米； 【小问2详解】 解：由（1）可知，需要硬化部分的面积为， 当，时， （平方米）． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A.统计思想 B.数形结合 C.方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： （1）补全初步感知中的内容； （2）写出方法应用的求解过程： （3）请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； （4）根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 【答案】（1），，B （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，利用面积的性质，数形结合思想求解即可． （2）根据题意，构造正方形计算即可． （3）根据多项式乘以多项式，计算即可． （4）根据公式直接计算即可． 【小问1详解】 根据题意，得大正方形的边长为，其面积为， 根据题意，得，用到数形结合思想， 故选：B． 【小问2详解】 解：构造正方形如下，大正方形的边长为，其面积为， 图形的面积为 ， 根据题意，得； ． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ． 【小问4详解】 解： ． 23. 问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1，直线分别交直线于点．若．试判断直线和的位置关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）作的平分线，交于点，点是射线上不与，重合的一点，过点作的垂线，交直线于点，交所在直线于点． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数，小豪过点作，请根据他的思路求解； ②连接，当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定证明即可； ①根据平行线的判定和性质，垂直的定义，角的和求解即可； ②根据平行线的性质，分类求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ； 【小问2详解】 ①解：过点作， ， ， ， ， ， 是的平分线，且， ， ， ， ； ②解：连接，设， 当点M在上方时， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ； ， ； 当点M在下方时， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ； ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是1 B. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 C. 从一副扑克牌中抽一张牌是大王 D. 山西男篮球员罚球一次命中 5. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 7. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 以下说法正确的是（ ） A. 在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B. 在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C. 在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D. 在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 9. 一只圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为，高为．又知另一个长方体形容器的底面长为，宽为a．如果把这只圆柱形桶中的水全部倒入这个长方体形容器中（水不溢出），那么水面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点的位置，的延长线交于点G，若，则（ ）（用的代数式表示） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在题中横线上 11. 计算的结果是___________． 12. 某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 13. 如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 14. 已知： 15. 如图将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，点在边上，连接，，，若线段，且．则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（本大题含8个小题，共55分）解答时应写出必要的文字说明演算步骤或推理过程． 16. 计算 （1） （2） （3） （4）利用乘法公式计算： 17. 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简 解：原式………………第一步 ……………………第二步 ………………第三步 ……………………第四步 任务一： （1）填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_____． ②第_____开始出现错误，出现错误的原因是_____． 任务二： （2）该整式化简的正确结果_____． 18. 如图，直线于点． （1）尺规作图：过点作的平行线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 19. 如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，当它停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指在分界线上，则重新转动转盘）．小颖与小亮进行转盘游戏，游戏规则是：若转出的数是3的倍数则小颖获胜，若不是3的倍数则小亮获胜．请判断此游戏规则是否公平并说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， （____________________________） ， _____（垂直的定义）． 即 ________（_________________________） （内错角相等，两直线平行）． 又， （_______________________________）． 21. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）求需要硬化部分的面积（用含，的最简代数式表示）； （2）当，时，求需要硬化的面积． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A.统计思想 B.数形结合 C.方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： （1）补全初步感知中的内容； （2）写出方法应用的求解过程： （3）请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； （4）根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 23. 问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1，直线分别交直线于点．若．试判断直线和的位置关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）作的平分线，交于点，点是射线上不与，重合的一点，过点作的垂线，交直线于点，交所在直线于点． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数，小豪过点作，请根据他的思路求解； ②连接，当时，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $