专题08平移与轴对称复习讲义(知识梳理+12大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题08平移与轴对称复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握平移、轴对称的定义、构成要素与核心性质。 2.熟练识记平面直角坐标系中，平移、轴对称的坐标变化法则。 3.清晰区分两种图形变换的联系与区别，理解其全等变换的本质。 1.具备规范作图能力，可独立完成图形平移、轴对称的绘制。 2.灵活运用变换性质，解决线段、角度、周长等几何计算问题。 3.培养几何直观与数形结合思维，提升图形分析和逻辑推理能力。 1.具备规范作图能力，可独立完成图形平移、轴对称的绘制。 2.灵活运用变换性质，解决线段、角度、周长等几何计算问题。 3.培养几何直观与数形结合思维，提升图形分析和逻辑推理能力。 题型01.坐标系中的平移 题型02.坐标系中的动点问题 题型03.求点沿x轴y轴平移后的坐标 题型04.由平移方式确定点的坐标 题型05.由平移前后坐标判平移方式 题型06.由图形平移求点坐标 题型07.由平移后坐标求原坐标 题型08.坐标系中的对称 题型09.轴对称坐标变换问题 题型10.求原点对称点坐标 题型11.原点对称求参数 题型12.判断原点对称点 解答题7题 知识点01:平移 1.定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换，简称平移。 要素：方向、距离。 特征：只改变位置，形状、大小不变（全等变换）。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 3.坐标规律（平面直角坐标系） 4.平移作图 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02:轴对称 1.定义 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合的图形，这条直线叫对称轴。 两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠后能与另一个图形重合，直线为对称轴重合点为对称点。 左图轴对称图形 右图轴对称 2.性质 对称轴是对应点连线的垂直平分线。 对应线段相等，对应角相等；成轴对称的两图形全等。 3. 坐标规律（平面直角坐标系） 4.轴对称作图 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 知识点03:平移与轴对称的核心对比 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 ·区别：平移是 “平行移动”（无对称轴）；轴对称是 “翻折”（有对称轴）。 ·联系: 均为全等变换（形状、大小不变）；均可通过坐标变化描述；作图关键均为找关键点并变换。 题型01.坐标系中的平移 【典例】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 【跟踪专练1】线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，由A，D横坐标相同，可得轴，进而可得轴，结合即可求解． 【详解】解：， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：． 【跟踪专练3】题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】通过题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 有2个整点， 图1有3个整点， 图2有4个整点， 图3有6个整点， ∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B． 题型02.坐标系中的动点问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【跟踪专练1】如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】分情况讨论，由平行四边形的性质，直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：当P在边上时，，只有，作于点，如图： ， ， ，， ， ， ∴P的坐标是， 当P在边上时，，只有，如图： ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴P的坐标是； 当P在CD上时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 是钝角三角形． ∴P的坐标是或． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 题型03.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点先向右移动再向上移动，则可能移动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系中点的平移规则，左减右加，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：∵点先向右移动再向上移动， ∴点A的横坐标和纵坐标都增加， ∴可能移动到点． 【跟踪专练1】 中，，现将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点的坐标分别为___________． 【答案】，， 【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，即可得到结论． 【详解】解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴， 即， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【跟踪专练2】点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出m、n的值，再相加计算即可得解． 【详解】解：∵点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点， ∴，， 解得m=1，n=3， 所以，m+n=1+3=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 题型04.由平移方式确定点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据点的平移规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，计算平移后点的坐标即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为，即． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，掌握平移时点的坐标变化规律即可求解，规律为：向上平移时纵坐标增加，横坐标不变；向左平移时横坐标减小，纵坐标不变． 【详解】解：∵ 将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加， ∴ 第一次平移后点的坐标为， ∵ 再向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减， ∴ 点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可求解． 【详解】解：∵原坐标为，先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度， ∴横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴得到的对应点的坐标为 ． 【跟踪专练3】如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点在直线l：y＝kx＋8上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度后，点B恰好落在直线l上．则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：作，，再证，，从而求出点B坐标（0,4），向左平移m个单位后坐标为（-m,4），最后代入直线l的解析式即可． 【详解】解：如图：作，， ∵ ∴OM=6,DM=2 将点代入y＝kx＋8,解得：k=1 ∴直线解析式为： ∵四边形形ABCD为正方形 ∴AD=AB=CD=BC ∵， ∴ ∴ ∴OA=DM=2，AM=OB=4， 同理可证 ∴BN=AO=2，CN=OB=4 ∴点B坐标为（0,4） 将点B向左平移m个单位后坐标为（-m，4） 将（-m,4）代入，得：4=-m+8，解得：m=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、点的平移以及点坐标与直线图像的关系等知识点，构造全等三角形求得求点B坐标是解题的关键． 题型05.由平移前后坐标判平移方式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段可以看作是线段经过平移得到的，写出一种由线段得到线段的过程：______． 【答案】线段向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段（答案不唯一） 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据对应点的坐标，写出平移规则即可． 【详解】解：由图可知：， ∵点的对应点为， ∴点先向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到点， ∴线段向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段； 故答案为：线段向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段（答案不唯一） 【跟踪专练1】的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可得点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位，进行求解即可． 【详解】解：∵点平移到， ∴点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位， ∵点， ∴平移后点C的坐标为． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的． 首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出、 、的值， 设点的坐标为， 点点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. 题型06.由图形平移求点坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可． 【详解】解：点B的坐标为，点的坐标为； 横坐标增加了；纵坐标增加了； ∵上点P的坐标为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，勾股定理，含30度角的直角三角形，先根据含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，求出点坐标，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵顶点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将该三角板向右平移使点A与点O重合， ∴三角板向右平移了个单位， ∴点B的对应点的坐标为； 故答案为：． 题型07.由平移后坐标求原坐标 【典例】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练1】将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【答案】2 【分析】平面直角坐标系中，点的平移遵循规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．据此列方程组解答． 【详解】解：，先向下平移4个单位（纵坐标减4），再向右平移3个单位（横坐标加3），得到，因此可得方程组： 横坐标：，解得； 纵坐标：，解得； 因此． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【详解】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 题型08.坐标系中的对称 【典例】已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，依据该特征即可求出x的值． 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 又点与关于y轴对称， ． 【跟踪专练1】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 【跟踪专练2】如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 题型09.轴对称坐标变换问题 【典例】点和点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得，， ∴． 【跟踪专练1】已知点和点关于轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了关于轴对称的点的坐标，代数式求值，根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵ 点和点关于轴对称， ∴ 根据坐标性质可得：，， 解得：， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【分析】关于轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∵点Q关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q的坐标为． 【跟踪专练3】如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（     ） . A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形. 再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明，得出，由为定点，为定值，即说明当在直线 上运动时，点也在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短，结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出 ，即的最小值为． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点， 由，令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∵为定点，为定值， ∴当在直线上运动时，点也在定直线上运动， ∴当点与点重合时，最短， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求的最小值． 题型10.求原点对称点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标性质求解，即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标分别互为相反数，点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 【跟踪专练1】如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：4． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律； 本题关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：由平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，可知点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 题型11.原点对称求参数 【典例】已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标性质，求出和的值，再计算得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， ∴，， 则， ∴． 【跟踪专练2】已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案． 【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称， 根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数， 得到， 故选B． 【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 题型12.判断原点对称点 【典例】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 【跟踪专练2】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 【解答题】 1．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出向右平移6个单位长度得到的图形； (3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称的性质，平移的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，画出即可； （2）根据平移的规则画出即可； （3）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及点的平移规则左减右加，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：由题意，点经过上述两次变换，对应的点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得轴，得到，结合，即可证明结论； （2）设，则，，根据勾股定理可得到，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点，的纵坐标相同， ∴轴， ∴． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． （2）解：∵点，的横坐标相同， ∴轴． ∴． 设，则，． ∵在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 6．（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示， 图书馆，宿舍楼，实验楼； （2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的， ，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的． 7．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)秒或秒 【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； （2）先确定出的面积，进而求出的面积，利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，由重叠面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度，， ， 解得； （2）解：存在， ，， ， ， ， 当点在轴上时， 设， ， ， ， 或； （3）解：设经过秒后长方形与长方形重叠面积为， 由题意可得，后，点，，， ①当长方形与长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为， 底为， ， ， ②当长方形与长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为， 底为， ，. 综上所述：运动时间为或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平移与轴对称复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握平移、轴对称的定义、构成要素与核心性质。 2.熟练识记平面直角坐标系中，平移、轴对称的坐标变化法则。 3.清晰区分两种图形变换的联系与区别，理解其全等变换的本质。 1.具备规范作图能力，可独立完成图形平移、轴对称的绘制。 2.灵活运用变换性质，解决线段、角度、周长等几何计算问题。 3.培养几何直观与数形结合思维，提升图形分析和逻辑推理能力。 1.具备规范作图能力，可独立完成图形平移、轴对称的绘制。 2.灵活运用变换性质，解决线段、角度、周长等几何计算问题。 3.培养几何直观与数形结合思维，提升图形分析和逻辑推理能力。 题型01.坐标系中的平移 题型02.坐标系中的动点问题 题型03.求点沿x轴y轴平移后的坐标 题型04.由平移方式确定点的坐标 题型05.由平移前后坐标判平移方式 题型06.由图形平移求点坐标 题型07.由平移后坐标求原坐标 题型08.坐标系中的对称 题型09.轴对称坐标变换问题 题型10.求原点对称点坐标 题型11.原点对称求参数 题型12.判断原点对称点 解答题7题 知识点01:平移 1.定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换，简称平移。 要素：方向、距离。 特征：只改变位置，形状、大小不变（全等变换）。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 3.坐标规律（平面直角坐标系） 4.平移作图 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02:轴对称 1.定义 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合的图形，这条直线叫对称轴。 两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠后能与另一个图形重合，直线为对称轴重合点为对称点。 2.性质 对称轴是对应点连线的垂直平分线。 对应线段相等，对应角相等；成轴对称的两图形全等。 3. 坐标规律（平面直角坐标系） 4.轴对称作图 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 知识点03:平移与轴对称的核心对比 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 ·区别：平移是 “平行移动”（无对称轴）；轴对称是 “翻折”（有对称轴）。 ·联系: 均为全等变换（形状、大小不变）；均可通过坐标变化描述；作图关键均为找关键点并变换。 题型01.坐标系中的平移 【典例】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【跟踪专练2】长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 【跟踪专练3】题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型02.坐标系中的动点问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型03.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点先向右移动再向上移动，则可能移动到点（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】 中，，现将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点的坐标分别为___________． 【跟踪专练2】点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型04.由平移方式确定点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的对应点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点在直线l：y＝kx＋8上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度后，点B恰好落在直线l上．则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型05.由平移前后坐标判平移方式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段可以看作是线段经过平移得到的，写出一种由线段得到线段的过程：______． 【跟踪专练1】的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是______． 题型06.由图形平移求点坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为________． 题型07.由平移后坐标求原坐标 【典例】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 【跟踪专练1】将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型08.坐标系中的对称 【典例】已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练1】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【跟踪专练2】如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型09.轴对称坐标变换问题 【典例】点和点关于轴对称，则的值为______． 【跟踪专练1】已知点和点关于轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 【跟踪专练3】如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（     ） . A． B． C． D． 题型10.求原点对称点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型11.原点对称求参数 【典例】已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【跟踪专练2】已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 题型12.判断原点对称点 【典例】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【跟踪专练2】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【解答题】 1．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出向右平移6个单位长度得到的图形； (3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 7．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $