精品解析：湖北武汉中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

武汉中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简的形式，再求出其共轭复数，最后得到它的虚部. 【详解】， 所以，其虚部为． 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为，则由题意可知，， 因为向量的夹角，所以. 故选：B. 3. 如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 底面半径为1，底面圆的周长为，即扇形的弧长，所以圆心角为， 所以展开图如上， ，， 所以最短路径为 4. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数，再利用函数图象变换求出即可. 【详解】观察函数图象，函数的最小正周期，解得， 由，得，又，则， ，将的图象向左平移个单位长度， 得的图象，因此， 所以. 故选：C 6. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 7. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【详解】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 8. 在斜中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以， 由正弦定理得，所以， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设边的中点为，则， 因为，所以， 即为的中点， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正余弦定理进行转化得，再对向量式进行变形处理得，再两边同平方代入数据从而解出，最后再通过三角形面积公式得到答案. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 【答案】BC 【解析】 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D. 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误， 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误. 10. 如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积，向量数量积求夹角的余弦值的计算方法，逐个判断各项正误. 【详解】因为，，， 由余弦定理知， 所以，故A项正确； 因为点在上，且， 所以，故B项正确； 因为为的中点，， 所以，， 则 ，故C项不正确； 由已知，,又，，所以， 又, 则， 所以，故D项正确. 11. 设平面向量，，满足，，．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量和的模的性质判断A，根据列举法判断B，根据条件建立坐标系，利用坐标法求解C，根据向量加减的几何意义，结合向量相减的模的几何意义构造几何图形，再根据向量数量积的几何意义判断D. 【详解】对于A，由三角不等式可得，又．所以．故A正确． 对于B，由，只能说明点C的轨迹是一个以对应点为圆心、为半径的圆，不能推出． 例如取，，，则，， 且，．满足题意，但，故B错误． 对于C，若，不妨取，，． 由条件，得， 即． 设，，．则， 所以． 代入得． 因此， 当时取等号．故．所以C正确． 对于D，作平行四边形OADB，使，，． 则，．由题设， 可知点C的轨迹是以点D为圆心、为半径的圆． 又因为，，所以四边形OADB为菱形． 设，则，． 因为，所以等于在上的投影向量模长的2倍． 如图，过点C向直线OA作垂线，垂足为F． 当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值． 因此 ，当时取等号． 同理，，当时取等号． 所以．故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积以及共线向量即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 13. 中，，D在上，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据的面积等于面积与面积之和即可求解； 方法二：利用直角三角形边与角的关系表示出，再用正弦定理表示出即可求解. 【详解】解法1：的面积等于面积与面积之和， 所以， 即.于是. 解法2：直角中，因为，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理可得， 从而. 所以. 于是. 故答案为：. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知分别是的重心和内心，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，利用两角和的正弦公式得到，利用三角形内角和和诱导公式得到，利用正弦定理得到，从而得到的值，利用得到，由是的重心和内心和得到，从而得到，将其代入得到的值. 【详解】，， ， ，即， 由正弦定理，可得，，， 如图，延长交于点，延长交于点， 过点作于点，过点作于点， 设的内切圆的半径为，边上的高为， ，（*）， 是的重心和内心，且， ，， 将其代入（*），可得， 解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. （1）用向量表示向量； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理结合题设条件化简计算即可； （2）先用向量表示出，再利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【小问1详解】 因点为中点，点在线段上，满足 ，， 故； 【小问2详解】 由题意，则， ， 所以 ， 所以. 16. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，，解得， ，则； 【小问2详解】 ， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 17. 记的角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以 ， 整理得，， 又，所以， 所以，解得， 又，所以． 【小问2详解】 因为，且的周长为，所以， 由余弦定理得，， 整理得，， 由得，，解得， 所以． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. 【小问3详解】 设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）设点为的费马点，若，求的面积； （2）设点为的费马点，，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数性质求出，进而确定费马点，再利用数量积的定义及三角形面积公式求解. （2）设，结合（1）中信息，利用余弦定理及勾股定理建立的关系，再通过基本不等式与二次不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 在中，，由，得，解得， 则的三个内角都小于，由费马点定义得， 令，则， 解得，因此 ， 所以的面积为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，由，得， 由余弦定理得， ， ， 又，则， 整理得，由，得，当且仅当时取等号， 由且，得， 因此，则，即，而，解得， 所以实数t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 6. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 在斜中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10. 如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设平面向量，，满足，，．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 13. 中，，D在上，，，则______. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知分别是的重心和内心，且，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. （1）用向量表示向量； （2）若，求. 16. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17. 记的角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）设点为的费马点，若，求的面积； （2）设点为的费马点，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $