22.2 函数的表示 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

22.2 函数的表示 一、图像及画法 探究： 在直角坐标系中画出的图象（x＞0） （1）怎样获得组成曲线的点？（先确定点的坐标） （2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？（取一些自变量的值，计算出相应的函数值） （3）自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？（是） （4）填写下表： （5） 在直角坐标系中，描出这些点， 然后连接这些点． （6）这样我们就得到了反映x与S关系的曲线图，曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示当x＝2时，S＝4． 总结归纳 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．如上图中的曲线就叫函数（x＞0）的图象． （2）函数图象上任意一点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （3）满足函数解析式的任意一对（x，y）所对应的点一定在函数的图象上． 例题精析 1、如下左图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下右图反映了这个过程中，小明离他家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？ （3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ （4）小明读报用了多少时间？ （5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：（1）由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8 min． （2）由横坐标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17 min． （3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，即食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3 min． （4）由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30 min． （5）由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，小明从图书馆回家用了10 min，由此算出平均速度为0.08 km/min． 2、下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． 画出这些函数的图象：（1）；（2）（x＞0）； 解：（1）从式子可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数． 列表： 根据表中数值描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． 图象由左向右上升， 即当x由小变大时，随之增大． （2）仿照上述方法画函数（x＞0）的图象． 列表： 根据表中数值描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． 图象由左向右下降，即当x由小变大时，（x＞0）随之减小． 归纳描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；（注意：自变量的值满足取值范围，并选取适当的值） （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）． 练习1 1．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（ ）． 2．甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）． A．甲、乙两人的速度相等 B．甲先到达终点 C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多 3. 八（5）班从学校出发去某景点旅游，全班分成甲、乙两组．甲组乘坐大客车，乙组乘坐小轿车．已知甲组比乙组先出发，汽车行驶的路程s（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，以下说法正确的有（ ）． （1）学校到景点的路程为55 km； （2）甲组在途中停留了5 min； （3）甲、乙两组同时到达景点； （4）相遇后，乙组的速度小于甲组的速度． 检测1 1．星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，下图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（ ）． A．小亮家到同学家的路程是3千米 B．小亮在同学家停留的时间是1小时 C．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路 D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少 2．甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的路程为20 km，他们行进的路程s km与甲出发后的时间t h之间的函数图象如图所示，则下列判段错误的是（ ）． A．乙比甲晚出发1 h B．甲比乙晚到B地2 h C．甲的速度是5 km/h D．乙的速度是10 km/h 3．下图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家．如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a、b的值分别为（ ）． A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8 作业1 1．如图，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量x（件）的取值范围是________． 2． 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90 km的过程中，行驶的路程y与经过的时间x之间的函数关系式．请根据图象填空： ______出发的早，早了______小时， _____先到达，先到_____小时， 电动自行车的速度为_____km/h， 汽车的速度为_____km/h． 3．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）自变量的取值范围是多少？ （2）求当x＝－4，－2，4时y的值是多少？ （3）求当y＝0，4时x的值是多少？ （4）当x取何值时y的值最大？当x取何值时y的值最小？ （5）当x的值在什么范围内时y随x的增大而增大？ 当x的值在什么范围内时y随x的增大而减小？ 2、 函数的表示方法 举例： 1．已知三角形的第一边长为a厘米，第二边长为第一边的2倍，第三边长为8厘米，周长为C厘米，请找出周长C与边长a的函数关系式． 得出：C＝3a＋8（a＞0）． 解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法． 2．下表是某种股票一周内周一至周五的收盘价． 列表法：用表格的形式表示两个变量之间的关系． 3．如下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T随时间t变化而变化的规律． 图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系． 例题解析 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律？ （2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？ （3）据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米？ 解：（1）如下图，描出表中数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上．再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t＝2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的． （2）由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数．开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0．3m．函数y＝0.3t＋3（0≤t≤5）是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位上升0.3tm，即水位y为（0.3t＋3）m．其图象是上图中点A（0，3）和点B（5，4.5）之间的线段AB． 如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3（0≤t≤5）就精确地表示了这种变化规律．即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律． （3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t＝5＋2＝7（h）时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1（m）． 把上图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t＝7所对应的位置，得到下图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m． 练习2 1、某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元． （1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数解析式； （2）画出函数的图象； （3）求5年后的年产值． 2、如图，一个面积为12的矩形菜地，该菜地的一边长为xm，周长为ym． （1）变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围； （2）能求出这个问题的函数解析式吗？ （3）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系； （4）能画出函数的图象吗？ 检测2 1．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其数量x（米）与售价y（元）如下表： 数量x（米） 1 2 3 4 … 售价y（元） 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 … 下列用数量x（米）表示售价y（元）的关系式中，正确的是（ ）． A．y＝8x＋0.3 B． C．y＝8＋0.3x D．y＝8＋0.3＋x 2．某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量（x克） 0 50 100 150 200 250 275 300 400 500 弹簧的长度（y厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 7.5 （1）求出y与x的函数关系式； （2）y关于x的函数图象是（ ）． 作业2 1．一根弹簧原长12cm，它所挂物体的质量不超过10kg，并且每挂重物1kg就伸长1.5cm，挂重物后弹簧长度y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式是（ ）． A．y＝1.5（x＋12）（0≤x≤10） B．y＝1.5x＋12（0≤x≤10） C．y＝1.5x＋10（x≥0） D．y＝1.5（x－12）（0≤x≤10） 2．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）他们在进行_____米的长跑训练，在0＜x＜15的时段内，速度较快的人是______； （2）甲的速度是多少米/分？写出甲距终点的路程y(米)和跑步时间x(分)之间的函数关系式； （3）当x＝15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差． 答案 练习1： 1 C、 2 B、 3、（1）（2）正确 检测1： 1、C．2、D．3、D． 作业1： 1．x＞4．2．甲（或电动自行车）；2；乙（或汽车）；2；18；90． 3．（1）自变量的取值范围是－4≤x≤4．（2）y的值分别是2，－2，0． （3）当y＝0时，x的值是－3，－1或4；当y＝4时，x＝1.5． （4）当x＝1.5时，y的值最大，值为4；当x＝－2时，y的值最小，值为－2． （5）当－2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大；当－4≤x≤－2或1.5≤x≤4时，y随x的增大而减小． 练习2： 1、解：（1）函数解析式为y＝15＋2x（x≥0）． （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 … y＝15＋2x 15 17 19 21 23 25 27 … 描点、连线，所画函数的图象如下图所示． （3）当x＝5时，y＝15＋2×5＝25．所以5年后的年产值是25万元． 2、（1）y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0． （2）这个问题的函数解析式是． （3） （4） 检测2： 1、B． 2、解：（1）通过表中数据发现在0～275克范围内，砝码质量每增加50克，弹簧长度都相应地增长1厘米，故x在这个范围内时，y与x的函数关系式为；当x≥275时，弹簧长度保持不变，即x在这个范围内时，y的值为7.5． 综上所述，y与x的函数关系式为 （2）D． 作业2： 1．B． 解析：所挂重物为xkg时，弹簧伸长1.5xcm，挂重物后弹簧长度y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式是y＝1.5x＋12（0≤x≤10）．故应选B． 2．解：（1）5000；甲． （2）甲的速度为(米/分)．y＝5000－250x(0≤x≤20)． （3）当x＝15时，5000－250×15＝1250(米)，即甲距终点1250米，而此时，乙距终点2000米，所以此时两人相距2000－1250＝750(米)．在15＜x＜20的时段内，两人的速度差为750÷(20－15)＝150(米/分)． 学科网（北京）股份有限公司 $