专题01 四边形及多边形重难点题型专训（4个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了四边形及多边形的4个核心知识点，以表格对比呈现正多边形与一般多边形的区别，按“概念-定理-应用”递进关系构建知识脉络，突出内角和、对角线计算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于13大题型分层设计，如“平面镶嵌”结合生活实例培养应用意识，“多边形截角问题”通过分类讨论发展推理能力，拓展训练与A、B、C分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生几何直观与创新意识。

专题01 四边形及多边形重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 四边形的不稳定性 题型二 多边形的概念与分类 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形内角和问题 题型八 正多边形的内角问题 题型九 多（少）算一个角问题 题型十 多边形截角后的内角和问题 题型十一 多边形外角和的实际应用 题型十二 多边形内角和与外角和综合 题型十三 平面镶嵌 拓展训练一 与正多边形相关的角度问题 拓展训练二 多边形对角线的综合问题 知识点一：多边形及其概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 知识点二：正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即时训练】 1．（2026·云南·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则的度数为__________． 知识点三：多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 2．（2025·江苏苏州·一模）若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 知识点四：多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______，它的内角和为______°． 【经典例题一 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级上·福建莆田·月考）下列图中不具有稳定性是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【经典例题二 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例2】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【经典例题四 多边形的周长】 【例1】 （24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 1．（25-26八年级下·全国·月考）如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【经典例题五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·月考）若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图，下列关于正六边形的说法中，正确的是（    ） A．它的每个内角的度数都为 B．共有9条对角线 C．它有六个外角，外角和为 D．它能与边长相等的正方形进行平面镶嵌 2．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 ____________________条对角线． 3．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【例2】（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 1．（25-26八年级下·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 2．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 3．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【经典例题七 多边形内角和问题】 【例1】（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【例2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 1．（24-25八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，分别为，上一点，，分别是，的平分线． (1)求证： (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【经典例题八 正多边形的内角问题】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正六边形中，连接，过点作，则的度数为______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【经典例题九 多（少）算一个角问题】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 1．（24-25八年级上·山东日照·月考）一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 2．（24-25八年级上·四川德阳·月考）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是________，这个多边形是_______边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【经典例题十 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【例2】 （2025·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【经典例题十一 多边形外角和的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东韶关·月考）如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西钦州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 3．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【经典例题十二 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________． 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【经典例题十三 平面镶嵌】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在边长均为的正多边形是：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中，能与边长为的正三角形进行平面镶嵌的正多边形有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例2】（24-25八年级下·福建漳州·期末）用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 2．（2025·河北邯郸·二模）如图所示，由正方形和正六边形相间围成一圈，则需要正六边形的个数是______． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 【拓展训练一 与正多边形相关的角度问题】 【例1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 【拓展训练二 多边形对角线的综合问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南郴州·月考）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（    ） A．18条 B．14条 C．20条 D．27条 【例2】（24-25八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将四边形分成________个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将五边形分成________个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将六边形分成________个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引________条对角形，将边形分成________个三角形． 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知是正五边形的两条对角线，则______度． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． A基础训练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 2．（24-25八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 3．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 B 提高训练 6．（25-26八年级下·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 7．（2025八年级下·江西·专题练习）如图是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的每个内角的度数为______________． 8．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了______m． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 12．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 13．（24-25八年级上·山东德州·月考）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 14．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形及多边形重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 四边形的不稳定性 题型二 多边形的概念与分类 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形内角和问题 题型八 正多边形的内角问题 题型九 多（少）算一个角问题 题型十 多边形截角后的内角和问题 题型十一 多边形外角和的实际应用 题型十二 多边形内角和与外角和综合 题型十三 平面镶嵌 拓展训练一 与正多边形相关的角度问题 拓展训练二 多边形对角线的综合问题 知识点一：多边形及其概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 知识点二：正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即时训练】 1．（2026·云南·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式解答即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是正多边形的内角，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键．分别求出正五边形和正八边形的每个内角的度数，求差即可． 【详解】解：正五边形的一个内角的度数为， 正八边形的一个内角的度数为， 则的度数为， 故答案为：． 知识点三：多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·一模）若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 知识点四：多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．利用多边形外角和定理直接求解． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，已知每个外角为， 则边数等于外角和除以每个外角的度数，即：边数， 因此，该多边形的边数为12， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______，它的内角和为______°． 【答案】 8 1080 【分析】本题重点考查多边形的外角和公式，并且会熟练地正用和逆用公式是解题的关键． 根据外角和定理，求出多边形的边数，再利用内角和公式，便可求解． 【详解】解：∵多边形的每个外角都是， ∴根据外角和定理，这个多边形的边数为； ∴其内角和为． 故答案为：8；1080． 【经典例题一 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级上·福建莆田·月考）下列图中不具有稳定性是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，根据三角形的稳定性、四边形的不稳定性逐一验证即可得到答案，熟记三角形的稳定性、四边形的不稳定性是解决问题的关键． 【详解】 解：由三角形的稳定性、四边形的不稳定性可知，含有四边形，不具有稳定性， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性与四边形的不稳定性，关键是明确“三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性”的核心知识点，通过分析每个选项的图形结构判断是否具有稳定性： 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 选项A的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项B的图形被对角线分成多个三角形，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项C的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项D的图形是梯形，属于四边形，不具有稳定性，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【答案】四边形具有不稳定性 【分析】本题考查了四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 【详解】由图示知，四边形变形了，其中所蕴含的数学原理四边形具有不稳定性． 故答案为：四边形具有不稳定性． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【经典例题二 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 【例2】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【经典例题四 多边形的周长】 【例1】 （24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 1．（25-26八年级下·全国·月考）如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【经典例题五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·月考）若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形．熟知多边形的对角线条数和边数的关系，是解决问题的关键． 根据n边形的对角线条数是，列方程可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边为n， 根据题意，得， 即， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴这个多边形是八边形． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图，下列关于正六边形的说法中，正确的是（    ） A．它的每个内角的度数都为 B．共有9条对角线 C．它有六个外角，外角和为 D．它能与边长相等的正方形进行平面镶嵌 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和、外角和、对角线以及平面镶嵌的知识，解题的关键是熟练掌握这些知识并进行分析判断． 根据正六边形的内角和、外角和、对角线的计算方法以及平面镶嵌的条件，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、内角和为，每个内角的度数，错误； B、共有条对角线，正确； C、共有12个外角，且外角和为，C错误； D、正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，设用个正六边形和个正方形进行平面镶嵌，则，化简得，解得，只有当时，，但此时没有正方形，所以正六边形不能与边长相等的正方形进行平面镶嵌，D错误。 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 ____________________条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 3．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 【经典例题七 多边形内角和问题】 【例1】（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理； 【详解】解：连接，可得， ∴， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴. 故选：D. 【例2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 1．（24-25八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，分别为，上一点，，分别是，的平分线． (1)求证： (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形内角和为、同位角相等，两直线平行． （1）根据角平分线的性质，得，，由四边形内角和，可证出； （2）根据直角三角形两锐角互余，证出，即可得． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由如下： ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【经典例题八 正多边形的内角问题】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 /24度 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正六边形中，连接，过点作，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用正六边形的内角为和边长相等的性质，求出，再结合平行线的性质求解．首先根据正六边形性质得出，，进而求出，从而得到．然后利用平行线的性质结合即可求出的度数． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， 在中，， ， ， 延长交于点， ， ， ， 在中，． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 【经典例题九 多（少）算一个角问题】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东日照·月考）一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 2．（24-25八年级上·四川德阳·月考）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是________，这个多边形是_______边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 【经典例题十 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 【例2】 （2025·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 【答案】五或六或七 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是， ， 解得：， 包装盒的底面是六边形， 如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形； 如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形； 如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形． 故答案为：五或六或七． 【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【经典例题十一 多边形外角和的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·广东韶关·月考）如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设小林走的正多边形的边数为， 根据题意得，， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可． 2．（24-25八年级上·广西钦州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键． 根据多边形外角和等于求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 3．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 【经典例题十二 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方形的内角度数和每个外角度数． 【详解】解：如图所示： ∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是， ∴， 又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________． 【答案】 【分析】本题考查多边形外角和定理，内角与外角的关系，掌握多边形外角和定理是解题关键． 先求出的外角，再用减去该外角，即可得到． 【详解】解：， 的外角为， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多边形的外角和为360°和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和为360°， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于360°． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式及外角和是，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 【经典例题十三 平面镶嵌】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在边长均为的正多边形是：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中，能与边长为的正三角形进行平面镶嵌的正多边形有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为．正三角形的一个内角为，找到一个顶点处若干个两种图形的内角度数加起来是的正多边形的个数即可． 【详解】解：正三角形的一个内角度数为， ①正方形的一个内角度数为，，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌； ②正五边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； ③正六边形的一个内角度数为，或，可作平面镶嵌； ④正八边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； 能镶嵌的只有2种正多边形． 故选C． 【例2】（24-25八年级下·福建漳州·期末）用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的原理，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形内角之和必须为，并结合正六边形的内角度数进行计算． 先根据多边形内角和公式求出正六边形每个内角的度数，正六边形内角和为，每个内角为其除以6；再用除以正六边形每个内角的度数，得到围绕一顶点拼在一起的正六边形个数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 则每个内角的度数为． 因为围绕一点拼在一起的多边形内角和需为， 所以围绕一顶点拼在一起的正六边形个数为． 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为，正五边形的一个内角为，还剩下，而，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 【详解】解：正五边形一个内角为， 正四边形一个内角为， 正六边形一个内角为， 正十边形一个内角为， 正十二边形一个内角为， 与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为， ， 而， 内角为的是正十边形， 所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图所示，由正方形和正六边形相间围成一圈，则需要正六边形的个数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查正多边形内角和公式的应用，以及正多边形镶嵌（密铺）的知识，即围绕一点拼在一起的多边形内角和为．准确计算出正方形和正六边形的内角度数，理解相间排列时在拼接点处角度和为这个条件，通过合适的角度关系计算正六边形个数．确定正六边形的个数，需先明确正多边形外角和公式是解题的关键． 【详解】解：对于正方形，根据多边形内角和公式（为边数），正方形，则内角和为，每个内角是． 对于正六边形，，内角和为，每个内角是． 设正六边形有个，因为正方形和正六边形相间围成一圈，所以正方形也有个． 它们围绕一圈时，一个正方形内角与一个正六边形内角组合，一组的角度和为， 而围绕一圈是，但是这里我们换个思路，从拼接点处角度考虑，在一个拼接点处，一个正方形内角和一个正六边形内角拼在一起后，剩余角度为．即是多边形的每一个内角为，则该多边形的每个外角都为， ∴ ， ∴正六边形个数是个． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：1200元；任务2：能实现，见解析 【分析】本题考查平面镶嵌问题，掌握正多边形的内角公式是解题的关键． 任务一：由厨房是长方形可得只能用正方形的地砖；任务二：选正三角形与正六边形来铺设地板． 【详解】解：（1）厨房地板是长方形，且要求用同一种正多边形铺设， 只能用正方形． 每块正方形的面积为平方米， 需正方形（块）． 正方形总费用为（元）． （2）能实现，理由如下： ，且正三角形每个内角，正六边形每个内角， 选正三角形与正六边形来铺设地板． 如图所示，用9块正六边形和18块正三角形地砖铺设费用最少． 总费用为（元）． 【拓展训练一 与正多边形相关的角度问题】 【例1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 【答案】/108度 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到，即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的特点、多边形内角和公式、等腰三角形的性质，根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出，再利用等腰三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知，， ， 由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为， 正五边形的一个内角为， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)正三角形和正方形能密铺，理由见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形内角和及平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）根据多边形内角和求解即可； （2）根据多边形内角和求解即可； （3）根据题意，采用正方形和等边三角形进行密铺即可，利用围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案． 【详解】（1）解：正五边形的每个内角的度数为：， ∴， 故答案为：； （2）∵图5是五边形， ∴内角和为：， ∴； （3）正三角形和正方形能密铺，理由如下： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺． 【拓展训练二 多边形对角线的综合问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南郴州·月考）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（    ） A．18条 B．14条 C．20条 D．27条 【答案】D 【分析】先根据从n边形的一个顶点可以画条对角线确定该多边形的边数n，然后再根据一个多边形对角线总共有条解答即可． 【详解】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条， ∴， ∴， ∴则该多边形对角线一共有（条）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数的公式，掌握从n边形的一个顶点可以画条对角线和一个多边形对角线总共有条是解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将四边形分成________个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将五边形分成________个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将六边形分成________个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引________条对角形，将边形分成________个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式求出，然后根据三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：八边形是正八边形， ， 八边形是正八边形 ∴，， ， ∵是的外角 ， 故选：D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知是正五边形的两条对角线，则______度． 【答案】36 【分析】本题考查了正多边形的内角、等边对等角、三角形内角和定理，由正多边形的内角公式得出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． A基础训练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【详解】解：由题可得． 故选D． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 3．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查四边形内角和，圆的面积，根据四边形内角和为360度，可得图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形内角和为360度， 图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆， 图中阴影部分的总面积为：， 故选B． 4．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为， ， 为正n边形的一个内角的度数， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故n的值为3或4或5或6．故选C． B 提高训练 6．（25-26八年级下·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 7．（2025八年级下·江西·专题练习）如图是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的每个内角的度数为______________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 根据题意，先利用多边形外角和公式得到正八边形的内角和，进而求出每一个内角度数即可． 【详解】正八边形的每个内角的度数为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 【答案】8 【分析】本题考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值． 【详解】解：正n边形的一个内角， 则， 解得， 故答案为：8． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了______m． 【答案】120 【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10m即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10m后向左转30°， ∴他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是30°， ∴边数n＝360°÷30°＝12， ∴他第一次回到出发点时，一共走了12×10＝120m． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 【答案】图1中，图2中 【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可． 【详解】解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 12．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 13．（24-25八年级上·山东德州·月考）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 14．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $