8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 2.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（　　） A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　） A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 4.已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（　　） A.异面 B.相交但不垂直 C.平行 D.相交且垂直 5.已知平面α，β，γ，则下列命题中，正确的是（　　） A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B.若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C.若α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b D.若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α 6.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在（　　） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部（不包括边界） 7.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　） A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 8.（多选）若平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，则下列说法中，正确的有（　　） A.过点P且垂直于l的平面垂直于β B.过点P且垂直于l的直线垂直于β C.过点P且垂直于α的直线平行于β D.过点P且垂直于β的直线在α内 9.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则下列结论中，正确的有（　　） A.PB∥平面CDD1C1 B.BC⊥AP C.C1D⊥平面A1D1P D.平面PB1C1与平面A1AP不垂直 二、填空题 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是 . 11.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为 . 12.在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上一动点，则 PM的最小值是 . 13.三棱锥P－ABC的高为PH，若其三个侧面两两垂直，则H为△ABC的 心. 三、解答题 14.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.证明： （1）AB⊥平面BCD；（2）平面ACD⊥平面ABD. 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点. （1）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置； （2）证明：平面PAB⊥平面PCD. 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，∠BAP＝∠CDP＝90°，△PAD是正三角形，且PA＝AB. （1）当点M在线段PA上的什么位置时，有DM⊥平面PAB？ （2）在（1）的条件下，点N在线段PB上的什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？ 参 考 答 案 一、选择题 1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　C　） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 解析： ∵α∩β＝l，∴l⊂β，又n⊥β，∴n⊥l. 2.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（　B　） A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 解析： 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β. 3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　B　） A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析： ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC. 4.已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（　C　） A.异面 B.相交但不垂直 C.平行 D.相交且垂直 解析： ∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n. 5.已知平面α，β，γ，则下列命题中，正确的是（　B　） A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B.若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C.若α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b D.若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α 解析： A中α，γ可以相交；C中如图所示，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能据此判定b⊥α. 6.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在（　A　） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部（不包括边界） 解析： 连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上. 7.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　D　） A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 解析： ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°， ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆（除去A和B两点）. 8.（多选）若平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，则下列说法中，正确的有（　ACD　） A.过点P且垂直于l的平面垂直于β B.过点P且垂直于l的直线垂直于β C.过点P且垂直于α的直线平行于β D.过点P且垂直于β的直线在α内 解析： 易知A正确；对于B，当过点P且垂直于l的直线不在α内时，该直线不与β垂直，B错误；对于C，由平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，在β内作直线m⊥l，由面面垂直的性质定理得m⊥α，设过点P且垂直于α的直线为n，即n⊥α，则m∥n，由线面平行的判定定理可知n∥β，C正确；对于D，由面面垂直的性质定理可知D正确. 9.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则下列结论中，正确的有（　ABC　） A.PB∥平面CDD1C1 B.BC⊥AP C.C1D⊥平面A1D1P D.平面PB1C1与平面A1AP不垂直 解析： ∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，A正确；∵BC⊥平面ABB1A1，AP⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AP，B正确；∵四边形CDD1C1是正方形，∴C1D⊥CD1，∵A1D1⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C1，∴C1D⊥A1D1，A1B∥CD1，∴平面A1D1P即为平面A1D1CB，A1D1∩CD1＝D1，A1D1，CD1⊂平面A1D1P，∴C1D⊥平面A1D1P，C正确；∵B1C1⊥平面A1AP，B1C1⊂平面PB1C1，∴平面PB1C1⊥平面A1AP，D错误. 二、填空题 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是　平行　. 解析： ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF. 11.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为　3　. 解析： ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，共3对. 12.在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上一动点，则PM的最小值是　2　. 解析： 如图所示，连接CM， 则由题意知PC⊥平面ABC，∵CM⊂平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝.要求PM的最小值，只需求出CM的最小值即可.在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，∴PM的最小值是2. 13.三棱锥P－ABC的高为PH，若其三个侧面两两垂直，则H为△ABC的　垂　心. 解析： 连接AH，BH，CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，易得PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC，PC⊥平面PAB，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB.由BC⊥PA，PH⊥BC，PA∩PH＝P，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH，CA⊥BH，∴H为△ABC的垂心. 三、解答题 14.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.证明： （1）AB⊥平面BCD； 　 证明：（1）在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD. （2）平面ACD⊥平面ABD. 　 证明：（2）∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD. 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点. （1）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置； （1）解：∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形.则BC＝OD，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即O是线段AD上靠近点D的一个三等分点. （2）证明：平面PAB⊥平面PCD. （2）证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD. 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，∠BAP＝∠CDP＝90°，△PAD是正三角形，且PA＝AB. （1）当点M在线段PA上的什么位置时，有DM⊥平面PAB？ 解：（1）当点M为线段PA的中点时，有DM⊥平面PAB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∠BAP＝∠CDP＝90°，即AB⊥AP，CD⊥DP，∴AB⊥DP，DP⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，PD∩AP＝P，从而AB⊥平面PAD，DM⊂平面PAD.∴AB⊥DM. ∵△PAD是正三角形，PM＝MA，∴DM⊥AP，又AP∩AB＝A，AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB. （2）在（1）的条件下，点N在线段PB上的什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？ 解：（2）在（1）的条件下，点DN⊥PB时，有平面DMN⊥平面PBC，即点N在线段PB的靠近点P的四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC. 在（1）的条件下，DM⊥平面PAB，PB⊂平面PAB.∴DM⊥PB，又DN⊥PB.DN∩DM＝D，DN⊂平面DMN，DM⊂平面DMN，∴PB⊥平面DMN.∵PB⊂平面PBC，∴平面DMN⊥平面PBC.不妨设AB＝2，则PB＝2＝BD，PD＝2.则PD2＝PB2＋BD2－2PB·BDcosB，即22＝（2）2＋（2）2－2×2×2cosB，解得cosB＝，∴BN＝BDcosB＝2×＝，∴＝＝，∴点N在线段PB的靠近点P的四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC. 学科网（北京）股份有限公司 $