8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．其中，正确的命题个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列说法正确的是(　　) A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 3．设a是直线，α是平面，则能推出a∥α的条件是(　　) A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β D．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β 4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，若过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 5．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 6．(多选)如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SA＝，AC＝2，则下列说法正确的是(　　) A．平面SBC⊥平面SAB B．BC与平面SAB不可能垂直 C．直线SA与平面ABC所成的角为45° D．AS与BC是异面直线 7．如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 8．已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD＝2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 9．(多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G．已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是(　　) A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 B．三棱锥A′－FED的体积有最大值 C．恒有平面A′GF⊥平面BCED D．异面直线A′E与BD不可能互相垂直 二、填空题 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P为线段B1D1上的点，则满足C1P⊥平面BDD1B1的点P的个数为__________． 11．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________． 三、解答题 12．(8分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2，平面ABCD⊥平面PAC．证明：PC⊥AB． 13．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2CD＝2PB＝2，∠PBA＝90°． (1)求证：PB⊥AD； (2)若直线PD与BC所成的角为60°，求四棱锥P－ABCD的体积． 14．(13分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝1，AE＝DE＝． (1)求证：CD∥平面ABFE； (2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF； (3)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？请说明理由． 8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．其中，正确的命题个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　若n∥α，过直线n的平面β与α的交线a满足a∥n，则a⊂α．∵m⊥α，∴m⊥a．∵a∥n，则m⊥n，命题①正确．若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m∥β，或相交但不垂直，或m⊂β，故②错误．根据面面垂直的判断定理可知，若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，命题③正确． 2．下列说法正确的是(　　) A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 解析：A　若一条直线平行于两个相交平面，则由直线与平面平行的性质定理知这条直线与这两个平面的交线平行，故A正确；若三点共线或三点在平面的两侧，则这两个平面不平行，故B错误；若两条直线和同一个平面所成的角相等，根据等角定理可知，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故D错误． 3．设a是直线，α是平面，则能推出a∥α的条件是(　　) A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β D．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β 解析：C　对于A，若a⊂α，可以满足a∥b，b⊂α，此时a∥α不成立，A错误；对于B，若a⊂α，满足b⊥α，也满足a⊥b，此时a∥α不成立，B错误；对于C，由面面平行的性质知：若α∥β，a⊂β，则a∥α，C正确；对于D，若a⊂α，满足α⊥β，且a垂直于α与β的交线，也满足a⊥β，此时a∥α不成立，D错误． 4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，若过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 解析：B　连接AC1(图略)，∵BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B， ∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1， ∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过点C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上，故选B． 5．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 解析：D　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 6．(多选)如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SA＝，AC＝2，则下列说法正确的是(　　) A．平面SBC⊥平面SAB B．BC与平面SAB不可能垂直 C．直线SA与平面ABC所成的角为45° D．AS与BC是异面直线 解析：BCD　对于选项B：若BC⊥平面SAB，且SB⊂平面SAB，则BC⊥SB，则∠SBC＝90°，但SB＝SC，则∠SBC＝∠SCB为锐角，相矛盾，所以BC与平面SAB不可能垂直，故B正确；对选项A：若平面SBC⊥平面SAB，作AD⊥SB，交SB于点D(图略)，易知AD⊥平面SBC，从而AD⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面SAB，可得BC⊥平面SAB，这与选项B相矛盾，故A错误；对于选项C：因为SO⊥平面ABC，可知直线SA与平面ABC所成的角为∠SAO，由题意可得cos ∠SAO＝＝，且∠SAO为锐角，可得∠SAO＝45°，所以直线SA与平面ABC所成的角为45°，故C正确；对于选项D：因为SA⊂平面SAC，BC∩平面SAC＝C，且C∉SA，所以AS与BC是异面直线，故D正确．故选BCD． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　取AF的中点G，连接AC交BD于点O，连接GO，GB，如图所示，则OG∥CF，且OG＝CF，异面直线BD与FC所成的角即直线BD与OG所成的角． 由平面ABCD⊥平面ADEF，AF⊥AD，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AF⊂平面ADEF知，AF⊥平面ABCD，又AC，AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AC，AF⊥AB，由题易知AC＝BD＝2， 所以CF＝＝，则OG＝CF＝，OB＝BD＝1， BG＝＝，则在△OBG中，由余弦定理知， cos ∠BOG＝＝＝－，又两直线夹角的取值范围为，则直线BD与FC所成角的余弦值为． 8．已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD＝2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 解析：C　如图所示，取CD边的中点为M，连接PM，QM，PQ，P是CE的中点，则PM⊥CD，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，PM⊂平面CDEF, 故PM⊥平面ABCD，又QM⊂平面ABCD，故PM⊥QM，在Rt△PMQ中，PM＝ED＝1，PQ＝＝，要使PQ最小，则QM最小，因为当QM⊥BD时，QM最小，所以QM的最小值为BD＝×2＝，所以PQmin＝＝＝． 9．(多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G．已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是(　　) A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 B．三棱锥A′－FED的体积有最大值 C．恒有平面A′GF⊥平面BCED D．异面直线A′E与BD不可能互相垂直 解析：ABC　在正三角形ABC中，AF为中线，DE为中位线，所以AF⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥A′G，DE⊥GF，又A′G∩GF＝G，A′G，GF⊂平面A′GF，所以DE⊥平面A′GF．又DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED，故C正确；过点A′作A′H⊥AF，垂足为点H(图略)，则A′H⊂平面A′GF，又平面A′GF⊥平面BCED，平面A′GF∩平面BCED＝AF，所以A′H⊥平面ABC，故A正确；三棱锥A′－FED的底面△FED的面积是定值，高是点A′到平面FED的距离．易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大，三棱锥A′－FED的体积最大，故B正确；易知BD∥EF，所以∠A′EF(或其补角)是异面直线A′E与BD所成的角．因为正三角形ABC的边长为2a，所以A′E＝a，EF＝a．而0<A′F<AF，所以A′F的长度的取值范围是(0，a)，当A′F＝a时，A′E2＋EF2＝A′F2，所以∠A′EF＝90°，此时直线A′E与BD互相垂直，故D错误． 二、填空题 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P为线段B1D1上的点，则满足C1P⊥平面BDD1B1的点P的个数为__________． 答案：1 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，所以平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，且平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，连接A1C1，交B1D1于点P，则有A1C1⊥B1D1，即C1P⊥B1D1，由面面垂直的性质定理有C1P⊥平面BDD1B1，又在平面A1B1C1D1内过点C1作直线B1D1的垂线有且仅有一条，故垂足点P有且仅有一个． 11．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________． 答案： 解析：取CD的中点G，连接MG，NG．因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝． 因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD， 所以MG⊥平面DCEF， 又NG⊂平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝． 三、解答题 12．(8分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2，平面ABCD⊥平面PAC．证明：PC⊥AB． 证明：取BC的中点N，连接AN，则CN＝AD＝CD＝， 又AD∥CN，BC⊥CD， 所以四边形ANCD为正方形，则∠ANB＝∠ANC＝90°，且∠NAC＝45°， 又在Rt△ANB中，AN＝BN＝，则∠BAN＝45°， 所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC． 又平面ABCD⊥平面APC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AB． 13．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2CD＝2PB＝2，∠PBA＝90°． (1)求证：PB⊥AD； (2)若直线PD与BC所成的角为60°，求四棱锥P－ABCD的体积． (1)证明：由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， ∠PBA＝90°，PB⊂平面PAB，所以PB⊥平面ABCD． 又AD⊂平面ABCD，则PB⊥AD． (2)解　过点D作BC的平行线DE，交AB于点E，连接PE． 由∠ABC＝90°，得AB⊥BC， 由(1)的证明可知PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PB⊥BC． PB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB． 又PE⊂平面PAB，∴BC⊥PE． 又DE∥BC，∴DE⊥PE． 由直线PD与BC所成的角为60°，DE∥BC，则∠PDE＝60°． 由AB＝2CD＝2，BE＝CD＝1，PB＝1， 得PE＝，DE＝BC＝， 则梯形ABCD的面积S＝×(1＋2)×＝． 又PB⊥平面ABCD，PB＝1， 所以四棱锥P－ABCD的体积V＝××1＝． 14．(13分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝1，AE＝DE＝． (1)求证：CD∥平面ABFE； (2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF； (3)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？请说明理由． (1)证明：在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD． 又CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD∥平面ABFE． (2)证明：因为AE＝DE＝，AD＝2， 所以AE2＋DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE． 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD． 因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面ADE． 因为DE⊂平面ADE，所以AB⊥DE． 因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE． 因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF． (3)解　在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE．理由如下： 取CD的中点N，连接FN． 由(1)知，CD∥平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF， 所以CD∥EF．因为EF＝1，ND＝CD＝1，所以EF＝DN． 所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE． 由(2)知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE． 学科网（北京）股份有限公司 $