专练：余弦定理、正弦定理的综合应用 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：余弦定理、正弦定理的综合应用 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于（　　） A.5 B. C.2 D.1 2.在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于（　　） A.4 B. C. D.2 3.在△ABC中，已知4S△ABC＝a2＋b2－c2，则角C的度数为（　　） A.135° B.45° C.60° D.120° 4.如图所示，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为（　　） A.4 B.4 C.8 D.4 5.（2024·河南濮阳高一期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsinA，则B等于（　　） A. B. C. D. 6.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝，且B为钝角，则sinA＋sinC的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sinAsinC，则（　　） A.B＝ B.ac＝ C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为＋1 9.（多选）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＋sinB＝2，c＝2，则△ABC面积的值可以是（　　） A. B.1 C. D.2 二、填空题 10.已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝ . 11.在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 . 12.（2025·杭州二中高一期中）已知△ABC满足3·＋4·＝5·，则cos A的最小值是 . 13.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0，则A＝；若b＝2，c＝1，＝，t∈[0，1]，则－·的取值范围是 . 三、解答题 14.如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1， CD＝3，cosB＝. （1）求△ACD的面积； （2）若BC＝2，求AB的长. 15.（2024·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 16.（2024·天津卷）在△ABC中，cos B＝，b＝5，＝.求： （1）a的值； （2）sin A； （3）cos（B－2A）. 参 考 答 案 一、选择题 1.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于（　B　） A.5 B. C.2 D.1 解析： 由三角形面积公式，得S＝AB·BC·sin B＝.又AB＝1，BC＝， ∴sin B＝.∵B∈（0，π），∴B＝，或B＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，当B＝时，得AC＝1，不符合△ABC为钝角三角形的要求，舍去；当B＝时，得AC＝（满足题意）. 2.在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于（　A　） A.4 B. C. D.2 解析： ∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.在△ABC中， 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4. 3.在△ABC中，已知4S△ABC＝a2＋b2－c2，则角C的度数为（　B　） A.135° B.45° C.60° D.120° 解析： 由4S△ABC＝a2＋b2－c2，得4×absin C＝2abcos C，解得tan C＝1.又角C为△ABC的内角，∴C＝45°. 4.如图所示，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为（　D　） A.4 B.4 C.8 D.4 解析： ∵DC＝5，DA＝7，AC＝8，∴cos∠ADC＝＝，∴cos∠ADB＝－，∴sin∠ADB＝，又B＝45°，DA＝7，由正弦定理，可得＝，∴AB＝＝＝4. 5.（2024·河南濮阳高一期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsinA，则B等于（　C　） A. B. C. D. 解析： 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsin A，∴2accos B＋2ac＝2bcsin A，∴acos B＋a＝bsin A，由正弦定理可得sin Acos B＋sin A＝sin Bsin A，又A∈（0，π），∴sin A＞0，∴cos B＋1＝sin B，又sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝0，或cos B＝－1，又B∈（0，π），∴cos B∈（－1，1），∴cos B＝0，∴B＝. 6.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为（　C　） A.4 B.6 C.8 D.10 解析： 如图所示，连接BD， 由余弦定理，得在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，∵A＋C＝180°，∴20－16cos A＝52＋48cos A，解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8. 7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝，且B为钝角，则sinA＋sinC的取值范围是（　A　） A. B. C. D. 解析： 由tan A＝以及正弦定理得＝＝，∴sin B＝cos A，即sin B＝sin，又B为钝角，∴＋A∈，故B＝＋A，C＝π－（A＋B）＝－ 2A＞0⇒A∈，于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝ －2sin2A＋sin A＋1＝－2＋，∵A∈，∴0＜sin A＜， 因此＜－2＋≤，即sin A＋sin C的取值范围是. 8.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sinAsinC，则（　ABD　） A.B＝ B.ac＝ C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为＋1 解析： 由a2＋c2－b2＝ac，有cos B＝＝，得B＝，A正确；∵sin2B＝3sin Asin C，由正弦定理有b2＝3ac，b＝1，得ac＝，B正确；△ABC的面积为acsin B＝××＝，C错误；∵a2＋c2－b2＝ac，∴b2＝1＝a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac，解得a＋c＝，∴△ABC的周长为＋1，D正确. 9.（多选）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＋sinB＝2，c＝2，则△ABC面积的值可以是（　BC　） A. B.1 C. D.2 解析： ∵cos B＋sin B＝2，∴sin＝1，又B为锐角，∴B＝，∴A＋C＝.根据正弦定理＝，得a＝＝，∴S△ABC＝ac·sin B＝a＝·＝＝＝.∵∴＜A＜，∴tan A＞，∴0＜＜，＜＋＜2，∴＜＜2，∴△ABC面积的取值范围是. 二、填空题 10.已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝　2　. 解析： S△ABC＝·｜｜·｜｜·sin A，即＝·｜｜·｜｜·， ∴｜｜·｜｜＝4，于是·＝｜｜·｜｜·cos A＝4×＝2. 11.在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是　（， 3）　. 解析： ∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，则由余弦定理的推论得cos C＝＜0，于是得c2＞a2＋b2＝12＋22＝5，c＞0，解得c＞，而有c＜a＋b＝3，即＜c＜3，∴最大边c的取值范围是（， 3）. 12.（2025·杭州二中高一期中）已知△ABC满足3·＋4·＝5·，则cos A的最小值是　　. 解析： 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由3·＋4·＝5·，得3×ab×＋4×ac×＝5bc×，即a2＝b2＋c2，则cos A＝＝≥＝，当且仅当b2＝c2时取等号，即cos A的最小值是. 13.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0，则A＝　　；若b＝2，c＝1，＝，t∈[0，1]，则－·的取值范围是　[－5，9]　. 解析： 由sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0及正弦定理，得b2＋c2－a2＋bc＝0，由余弦定理可知cosA＝＝－，又A∈（0， π），∴A＝.∵b＝2，c＝1，∴由余弦定理得a＝，cosB＝＝，∴与的夹角的余弦值为 －.又＝，∴＝（1－t），·＝（＋）·＝·＋＝7t－2，∴P－·＝7（1－t）2－（7t－2）＝7t2－21t＋9，t∈[0，1]，∴－·∈[－5，9]. 三、解答题 14.如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1， CD＝3，cosB＝. （1）求△ACD的面积； 解：（1）∵∠D＝2∠B，cos B＝，∴cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.∵D∈（0，π），∴sin D＝＝.∵AD＝1，CD＝3，∴△ACD的面积为S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. （2）若BC＝2，求AB的长. 解：（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，∴AC＝2.∵BC＝2，＝， ∴＝＝＝，∴AB＝4. 15.（2024·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； 解：（1）由sin A＋cos A＝2得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，由A∈（0，π）⇒A＋∈，∴A＋＝，解得A＝. （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：（2）由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B⇔sin B·sin C＝ 2sin Csin Bcos B，又B，C∈（0， π），则sin Bsin C≠0，进而cos B＝， 得到B＝，于是C＝π－A－B＝， Sin C＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin B·cos A＝，由正弦定理可得，＝＝， 即＝＝，解得b＝2，c＝＋， ∴△ABC的周长为2＋＋3. 16.（2024·天津卷）在△ABC中，cos B＝，b＝5，＝.求： （1）a的值； 解：（1）设a＝2t，c＝3t，t＞0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×，解得t＝2（负值已舍去）；则a＝4，c＝6. （2）sin A； 解：（2）方法一 ∵B为三角形的一个内角， ∴sin B＝＝＝， 由正弦定理得＝，即＝，解得sin A＝. 方法二 由余弦定理得cos A＝＝＝， ∵A∈（0， π），则sin A＝＝. （3）cos（B－2A）. 解：（3）∵cos B＝＞0，且B∈（0， π），∴B∈， 由（2）方法一知sin B＝， ∵a＜b，则A＜B，∴cos A＝＝， 则sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝，cos（B－2A）＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝.　 学科网（北京）股份有限公司 $