6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＋b＝4，c＝，C＝，则△ABC的面积为 （ ） A． B．2 C．4 D．3 2．在△ABC中，sin2A＝sinB sin C，若A＝，则B＝ （ ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝，且sin A＝2sin C，则的值为 （ ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，△ABC的面积S＝，则C＝ （ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 5．如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为 （ ） A．4 　　　B．4 C．8 　　　 D．4 二、多项选择题 6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 （ ） A． B．1 C． D． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是 （ ） A．a2＝b2＋c2－2bc cos A 　B．a sin B＝b sin A C．a＝b cos C＋c cos B 　 D．a cos B＋b cos C＝c 三、填空题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝c(cos B－cos A)，则△ABC的形状为__________________________． 9．已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的角平分线，则AD＝________． 四、解答题 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B. （1）求B的大小； （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值． 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos C(a cos B＋b cos A)＝c. （1）求cos C的值； （2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 能力提升练 12．（多选）如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos ∠ACB＋c cos ∠CAB)＝2b sin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法中正确的是 （ ） A.△ABC的内角B＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD的面积无最大值 13．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________． 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； （2）求的最小值． 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＋b＝4，c＝，C＝，则△ABC的面积为 （ ） A． B．2 C．4 D．3 解析：因为a＋b＝4，c＝，C＝，由余弦定理得cos C＝＝＝＝，解得ab＝3，则△ABC的面积S＝ab sin C＝×3×＝.故选A. 答案：A 2．在△ABC中，sin2A＝sinB sin C，若A＝，则B＝ （ ） A． B． C． D． 解析：∵在△ABC中，sin2A＝sinB sin C，∴a2＝bc，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，整理得(b－c)2＝0，即b＝c，又A＝，∴△ABC是等边三角形，则B＝.故选C. 答案：C 3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝，且sin A＝2sin C，则的值为 （ ） A． B． C． D． 解析：在△ABC中，B＝，且sin A＝2sin C，所以a＝2c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，整理得b＝c，所以＝.故选A. 答案：A 4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，△ABC的面积S＝，则C＝ （ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C，由三角形面积公式得S＝ab sin C，又S＝，所以ab sin C＝.因为a>0，b>0，所以＝1，即tan C＝1.又0°<C<180°，所以C＝45°.故选C. 答案：C 5．如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为 （ ） A．4 　　　B．4 C．8 　　　 D．4 解析：因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cos ∠ADC＝＝，因此cos ∠ADB＝－，所以sin ∠ADB＝，又B＝45°，DA＝7，由正弦定理，可得＝，所以AB＝＝＝4. 答案：D 二、多项选择题 6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 （ ） A． B．1 C． D． 解析：∵AB＝，AC＝1，B＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1，或BC＝2，由△ABC的面积公式S△ABC＝·AB·BC·sin B得S△ABC＝或S△ABC＝，故选AD. 答案：AD 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是 （ ） A．a2＝b2＋c2－2bc cos A 　B．a sin B＝b sin A C．a＝b cos C＋c cos B 　 D．a cos B＋b cos C＝c 解析：对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故正确；对于B，根据正弦定理边角互化，可得a sin B＝b sin A⇒ab＝ab，故正确；对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B⇒sin A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A，故正确；对于D，根据正弦定理边角互化可得，sin A cos B＋sin B cos C＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B cos C＝cos A sin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故不正确． 答案：ABC 三、填空题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝c(cos B－cos A)，则△ABC的形状为__________________________． 解析：由余弦定理可得cos A＝，cos B＝，代入a－b＝c(cos B－cos A)＝c cos B－c cos A，得a－b＝－，等式两边同乘2ab，得2a2b－2ab2＝a2b＋c2b－b3－ab2－ac2＋a3，移项合并，得a2b－ab2＋(－c2b＋ac2)－(a3－b3)＝0，整理，得ab(a－b)＋c2(a－b)－(a－b)(a2＋ab＋b2)＝0，即(a－b)(c2－a2－b2)＝0，可得a＝b或a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形 9．已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的角平分线，则AD＝________． 解析：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴×3×2×sin 60°＝×3AD×sin 30°＋×2AD×sin 30°，∴AD＝. 答案： 四、解答题 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B. （1）求B的大小； （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值． 解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 故cos B＝，又0°<B<180°，因此B＝45°. （2）sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. 故由正弦定理，得a＝b·＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b·＝2×＝. 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos C(a cos B＋b cos A)＝c. （1）求cos C的值； （2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：（1）因为3cos C(a cos B＋b cos A)＝c， 所以由正弦定理可得3cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C， 且sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C， 所以3sin C cos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝. （2）由（1）可知，cos C＝，C∈(0，π)， 则sin C＝＝， 因为△ABC的面积为S△ABC＝ab sinC＝ab×＝，所以ab＝3， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C， 即8＝(a＋b)2－6－2×3×，解得a＋b＝4(负值舍去)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2. 能力提升练 12．（多选）如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos ∠ACB＋c cos ∠CAB)＝2b sin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法中正确的是 （ ） A.△ABC的内角B＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD的面积无最大值 解析：∵(a cos ∠ACB＋c cos ∠CAB)＝2b sin B，∴由正弦定理可得(sin ∠CAB cos ∠ACB＋sin ∠ACB cos ∠CAB)＝2sin2B，∴sin(∠CAB＋∠ACB)＝2sin2B，∴sinB＝2sin2B.又∵sinB≠0，∴sin B＝.∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝，∴∠ACB＝π－∠CAB－B＝，因此，A、B正确．四边形ABCD的面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1·sin ∠ADC＝＋3sin ≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，因此C正确，D错误．故选ABC. 答案：ABC 13．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________． 解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，∴BC＝3，DC＝2，AC＝＝.在△ABC中，由正弦定理知，sin ∠BAC＝＝＝. 答案：　 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； （2）求的最小值． 解：（1）因为＝＝＝ ，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C，而C＝，则sin B＝－cos C＝，又0<B<，所以B＝. （2）由（1）知sin B＝－cos C>0，所以<C<π，则0<B<.又sin B＝－cos C＝sin ，所以C＝＋B，则A＝－2B.所以＝＝＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时，等号成立．所以的最小值为4－5. 学科网（北京）股份有限公司 $