8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 （ ） A．相交　　B．平行　　C．异面　　D．相交或平行 2．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线 （ ） A．只有一条 B．有无数条 C．是平面内的所有直线 D．不存在 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为 （ ） A．1 B． C．2 D．2 4．已知三棱锥P－ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．如图，平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 （ ） A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH 二、多项选择题 6．已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是 （ ） A．m⊥α，n∥α B．m⊥α，n⊥α C．m⊂α，n⊥α D．m∥α，n∥α 7．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，则 （ ） A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG 三、填空题 8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________． 9．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________． 四、解答题 10．已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图所示． （1）求证：EF⊥PB； （2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，EB＝EC＝ED，CF∥AE，AB＝2，CF＝3. （1）求证：EA⊥平面ABCD； （2）求四面体F－ECB的体积． 能力提升练 12．（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则下列结论正确的是 （ ） A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C B．三棱锥A－DB′C的体积的最大值为 C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为 D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为 13．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为________． 14．中国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC. （1）从三棱锥P－ABC中选择合适的两条棱填在下面的横线处，并给出证明． 若________⊥________，则三棱锥P－ABC为“鳖臑”． （2）已知三棱锥P－ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，点D在△PAC内，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l⊥BD，说明作法，并给出证明． 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 （ ） A．相交　　B．平行　　C．异面　　D．相交或平行 解析：因为这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行． 答案：B 2．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线 （ ） A．只有一条 B．有无数条 C．是平面内的所有直线 D．不存在 解析：当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故选B. 答案：B 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为 （ ） A．1 B． C．2 D．2 解析： 如图，连接AC交BD于点E，由正方体的性质，知四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，且E为AC的中点．∵BB1⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1.∵BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离．∵正方体的棱长为2，∴在Rt△ABC中，AC＝＝2，即CE＝.故选B. 答案：B 4．已知三棱锥P－ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析： 如图，连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，故PA⊥BC，因为PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC.同理BE⊥AC，故O是△ABC的垂心．故选D. 答案：D 5．如图，平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 （ ） A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH 解析：因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG.因为GH⊂平面EFHG，所以PQ⊥GH. 答案：B 二、多项选择题 6．已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是 （ ） A．m⊥α，n∥α B．m⊥α，n⊥α C．m⊂α，n⊥α D．m∥α，n∥α 解析：对选项A，若m⊥α，n∥α，则存在直线b⊂α，且n∥b，因为m⊥α，b⊂α，所以m⊥b，即m⊥n，故正确；对选项B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故错误；对选项C，若m⊂α，n⊥α，则m⊥n，故正确；对选项D，若m∥α，n∥α，则m，n的位置关系为平行、相交或异面，故错误． 答案：AC 7．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，则 （ ） A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG 解析：对于A，因为在折叠前的正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，所以在折叠后的四面体S－EFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG，故正确．对于B，根据A知，SG⊥平面EFG，而SE与SG相交，故SE不可能与平面EFG垂直，故错误．对于C，因为FG2⊥EG2，所以GF⊥EG，又GF⊥SG，SG∩EG＝G，所以GF⊥平面SEG，又SE⊂平面SEG，所以GF⊥SE，故正确．对于D，因为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，故错误． 答案：AC 三、填空题 8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________． 解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. 答案：平行 9．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________． 解析：如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°. 答案：30° 四、解答题 10．已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图所示． （1）求证：EF⊥PB； （2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 因为△ABC为直角三角形， 所以BC⊥AC. 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC. 因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF. 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC. 因为PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB. 又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF. 又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB. （2）由（1）知，PB⊥平面AEF， 而l⊥平面AEF，所以PB∥l. 11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，EB＝EC＝ED，CF∥AE，AB＝2，CF＝3. （1）求证：EA⊥平面ABCD； （2）求四面体F－ECB的体积． 解：（1）证明：菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点M，连接EM，AM，如图所示． 因为M为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AM. 因为EB＝EC，所以BC⊥ME， 又ME∩AM＝M，所以BC⊥平面MAE， 又EA⊂平面MAE，所以BC⊥EA. 同理可得DC⊥EA. 因为BC∩CD＝C， 所以EA⊥平面ABCD. （2）由（1）得EA⊥平面ABCD，因为CF∥EA，所以CF⊥平面ABCD. 因为AM⊂平面ABCD，所以CF⊥AM. 又BC⊥AM，CF∩BC＝C，所以AM⊥平面FCB. 由题意易求得AM＝， 又CF∥AE，CF⊂平面FCB，AE⊄平面FCB， 所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于点A到平面FCB的距离，即AM的长． 故VF－ECB＝VE－FCB＝S△FCB×AM＝××3×2×＝. 能力提升练 12．（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则下列结论正确的是 （ ） A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C B．三棱锥A－DB′C的体积的最大值为 C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为 D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为 解析：因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，DC，DB′⊂平面DB′C，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A－DB′C的体积也最大，最大值为××××＝，故B错误；当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE(图略)，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝＝，故C正确；当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，AD∩DB′＝D，AD，DB′⊂平面ADB′，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，CD＝，故D正确． 答案：ACD 13．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为________． 解析： 如图，连接AC，交BD于O，连接OE， 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点，E为CC1的中点， 所以OE∥AC1，又OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE， 所以AC1∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h， 在三棱锥E－ABD中， VE－ABD＝S△ABD×EC＝××4×4×＝. 在三棱锥A－BDE中，BD＝4，BE＝＝3，DE＝＝3， ∴S△EBD＝×4×＝4. ∴VA－BDE＝×S△EBD×h＝×4×h＝， ∴h＝. 答案： 14．中国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC. （1）从三棱锥P－ABC中选择合适的两条棱填在下面的横线处，并给出证明． 若________⊥________，则三棱锥P－ABC为“鳖臑”． （2）已知三棱锥P－ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，点D在△PAC内，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l⊥BD，说明作法，并给出证明． 解：（1）AB　BC(答案不唯一) 证明如下： 因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 所以△PAB，△PAC均是直角三角形． 当AB⊥BC时，因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB， 所以△PBC是直角三角形，△ABC是直角三角形， 所以三棱锥P－ABC为“鳖臑”． （2）如图，连接CD，BD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线．证明如下： 在△ABC中，由余弦定理可得 BC＝ ＝＝， 所以BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC. 又PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 又l⊂平面PAC，所以l⊥BC. 又l⊥CD，CD∩BC＝C， CD，BC⊂平面BCD， 所以l⊥平面BCD， 因为BD⊂平面BCD，所以l⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $