7.2.2 复数的乘、除运算 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.已知z＝－1－i，则｜z｜等于（　　） A.0 B.1 C. D.2 2.设z＝i，则z·等于（　　） A.－i B.1 C.－1 D.2 3.（2024·北京卷）已知＝i－1，则z等于（　　） A.1－i B.－i C.－1－i D.1 4.已知复数z满足（z－2i）（1－i）＝2，则等于（　　） A.2－3i B.1－3i C.2＋3i D.1＋3i 5.已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y等于（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知－2＋i是关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，其中m，n∈R，则m＋n等于（　　） A.18 B.16 C.9 D.8 7.定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0（i是虚数单位）的复数z在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.（多选）若复数z满足z（1－2i）＝10，则下列说法中，正确的有（　　） A.｜z｜＝2 B.z－2是纯虚数 C.复数z在复平面内对应的点位于第三象限 D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝ 9.（多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素中，属于集合M的有（　　） A.（1－i）（1＋i） B. C. D.（1－i）2 10.已知（cos θ＋isin θ）n＝cos nθ＋isin nθ（i为虚数单位，n∈N*，θ∈R），若复数z满足z·＝2，则｜z｜等于（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.（2024·天津卷）已知i是虚数单位，复数（＋i）·（－2i）＝ . 12.（2025·福建莆田高一阶段检测）若复数z满足（1＋i）z＝｜－i｜，则z的虚部为 . 13.（2024·上海卷）已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m（m∈R），则实数m为 . 三、解答题 14.（2025·安徽淮南高一期中）已知复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i. （1）求z1z2； （2）若复数z满足z1z＝z2，求z. 15.（2024·河南濮阳高一阶段检测）已知复数z1＝4＋mi（m∈R），且·（1－2i）为纯虚数. （1）求复数z1； （2）若z2＝，求复数及｜z2｜. 16.已知复数z1＝（a＋i）2（a∈R），z2＝4－3i，其中i是虚数单位. （1）若z1＝iz2，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋. 参 考 答 案 一、选择题 1.已知z＝－1－i，则｜z｜等于（　C　） A.0 B.1 C. D.2 解析： 若z＝－1－i，则｜z｜＝＝. 2.设z＝i，则z·等于（　D　） A.－i B.1 C.－1 D.2 解析： 依题意得，＝－i，故z·＝－2i2＝2. 3.（2024·北京卷）已知＝i－1，则z等于（　C　） A.1－i B.－i C.－1－i D.1 解析： 由题意得z＝i（i－1）＝－1－i. 4.已知复数z满足（z－2i）（1－i）＝2，则等于（　B　） A.2－3i B.1－3i C.2＋3i D.1＋3i 解析： 由（z－2i）（1－i）＝2，可得z＝＋2i＝＋2i＝1＋i＋2i＝1＋3i，∴＝1－3i. 5.已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y等于（　D　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析： ∵＝＝＝2－i，∴的共轭复数为2＋i，即x＝2，y＝1，∴x＋y＝3. 6.已知－2＋i是关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，其中m，n∈R，则m＋n等于（　A　） A.18 B.16 C.9 D.8 解析： 方法一 由题意得2（－2＋i）2＋m（－2＋i）＋n＝0，化简得－2m＋n＋6＋（m－8）i＝0，∴解得∴m＋n＝18. 方法二 ∵－2＋i是关于x的实系数方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，∴－2－i也是方程2x2＋mx＋n＝0的根，∴由根与系数的关系得－2＋i－2－i＝－，（－2＋i）（－2－i）＝，解得m＝8，n＝10，∴m＋n＝18. 7.定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0（i是虚数单位）的复数z在复平面内对应的点位于（　C　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 由题意知，＝0，则z·2i－（－i）×（1＋i）＝0，可得z＝＝＝－－i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第三象限. 8.（多选）若复数z满足z（1－2i）＝10，则下列说法中，正确的有（　AB　） A.｜z｜＝2 B.z－2是纯虚数 C.复数z在复平面内对应的点位于第三象限 D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝ 解析： ∵z（1－2i）＝10，∴z＝＝2＋4i，｜z｜＝＝2，A正确；对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i是纯虚数，B正确；复数z在复平面内对应的点为（2， 4），在第一象限，C错误；∵复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，∴sin α＝＝，D错误. 9.（多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素中，属于集合M的有（　BC　） A.（1－i）（1＋i） B. C. D.（1－i）2 解析： 根据题意，M＝{m｜m＝in，n∈N*}，当n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i，当 n＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1，当n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i，当n＝4k＋4（k∈N）时，in＝1，∴M＝{－1，1，i，－i}.对于A，（1－i）（1＋i）＝2∉M；对于B，＝＝－i∈M；对于C，＝＝i∈M；对于D，（1－i）2＝－2i∉M. 10.已知（cos θ＋isin θ）n＝cos nθ＋isin nθ（i为虚数单位，n∈N*，θ∈R），若复数z满足z·＝2，则｜z｜等于（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 由题意可得，＝cos＋isin＝－＋i，∴z·＝2，则z＝＝2＝－1－i，∴｜z｜＝＝2. 二、填空题 11.（2024·天津卷）已知i是虚数单位，复数（＋i）·（－2i）＝　7－i　. 解析： （＋i）·（－2i）＝5＋i－2i＋2＝7－i. 12.（2025·福建莆田高一阶段检测）若复数z满足（1＋i）z＝｜－i｜，则z的虚部为　－　. 解析： ∵z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－. 13.（2024·上海卷）已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m（m∈R），则实数m为　2　. 解析： 设z＝1＋bi，b∈R，且b≠0，则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m，∵m∈R，∴解得m＝2. 三、解答题 14.（2025·安徽淮南高一期中）已知复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i. （1）求z1z2； 解：（1）由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i，则z1z2＝（－1＋3i）·（1＋2i）＝－7＋i. （2）若复数z满足z1z＝z2，求z. 解：（2）由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i， ∵复数z满足z1z＝z2， 可得z＝＝＝＝－i 15.（2024·河南濮阳高一阶段检测）已知复数z1＝4＋mi（m∈R），且·（1－2i）为纯虚数. （1）求复数z1； 解：（1）z1＝4＋mi，则＝4－mi，·（1－2i）＝（4－mi）·（1－2i）＝4－2m－（8＋m）i，又z1为纯虚数，故4－2m＝0，8＋m≠0，解得m＝2，故z1＝4＋2i. （2）若z2＝，求复数及｜z2｜. 解：（2）z2＝＝＝＝＝＝－1＋2i， 则｜z2｜＝＝，＝－1－2i. 16.已知复数z1＝（a＋i）2（a∈R），z2＝4－3i，其中i是虚数单位. （1）若z1＝iz2，求实数a的值； 解：（1）∵z1＝（a＋i）2，z2＝4－3i，z1＝iz2，∴（a＋i）2＝a2－1＋2ai＝3＋4i，∴解得a＝2，故实数a的值为2. （2）若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋. 解：（2）依题意得＝＝ ＝， ∵是纯虚数，∴解得a＝2，或a＝－， 又a是正实数，∴a＝2，∴＝i， ∴＋＋＋…＋＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2024＝（i＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋…＋（i2021＋i2022＋i2023＋i2024）＝（i－1－i＋1）＋（i－1－i＋1）＋…＋ （i－1－i＋1）＝0＋0＋…＋0＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $