7.2.2复数的乘、除运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律.(重点) 2.会在复数范围内解方程. 3.了解in的周期性. 【例题精练】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 【例2】设复数，则的共轭复数的虚部是______． 【答案】 【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解. 【详解】因, 所以，因此的共轭复数的虚部是. 故答案为：. 【例3】已知，是虚数单位，若，，则________． 【答案】 【分析】根据复数运算列方程，化简求得的值. 【详解】由，得 所以，∴． 故答案为： 【例4】已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数为纯虚数，所以，. 故答案为：-3. 【例5】复数满足，则______． 【答案】 【分析】由共轭复数的概念结合复数的除法运算即可求解. 【详解】， 则 【A组基础达标】 一、单选题 1．（   ） A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】D 【分析】根据乘方运算的周期性求解. 【详解】. 2．在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算法则，整理计算，结合几何意义，即可得答案. 【详解】由题意， 对应的点坐标为，位于第三象限. 3．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 4．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由，得， 则，所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 5．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数对应点得出复数，再应用乘法及减法运算求解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标为，所以， 则. 6．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题得， 则的虚部为1. 二、多选题 7．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【分析】对A：数形结合求得，再求模长即可；对B：根据复数的除法运算化简，即可判断；对CD：根据复数乘法运算求得，再写出其对应的点，即可判断. 【详解】对A：由图可知，，，因为， 所以，故A正确； 对B：因为，为纯虚数，所以B正确； 对CD：因为，所以在复平面内对应的点为， 其位于第四象限，故C不正确，D正确． 故选：ABD. 8．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求复数z的标准形式，再求共轭复数z，最后逐项验证选项即可. 【详解】因为， 所以， 所以共轭复数， 选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误; 三、填空题 9．已知a，b均为实数，，则___________. 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 10．已知，复数（i是虚数单位），若，则___________，___________. 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，利用求出，利用模长公式求出模长即可. 【详解】， 因为，故，得， 故. 故答案为：；. 四、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【详解】（1） =. （2） ． 12．已知复数，复数z的共轭复数记作. (1)求的值； (2)若（），求m和n的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的除法及共轭复数的意义求解. （2）由（1）结合复数乘法运算及复数相等列式求解. 【详解】（1）复数，则， 所以. （2）由（1）得，整理得， 即，则，所以. 【B组能力提升】 1．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若满足，此时，不为纯虚数， “”不是“复数为纯虚数”的充分条件， ， 若复数为纯虚数，则， ， “”是“复数为纯虚数”的必要条件． “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 2．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】复数，根据题意求得，再计算即可得答案. 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 3．（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 4．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 5．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设μ＝，求证：μ为纯虚数. 【答案】(1)|z|＝1，. (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围； （2）根据复数除法的运算法则求出μ＝，结合（1）问结论即可证明. 【详解】（1）解：因为z是虚数，所以设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)， 则ω＝z＋＝(x＋y)＋＝x＋y＋＝＋， 因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，即x2＋y2＝1， 所以|z|＝，此时ω＝2x， 又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－<x<1， 所以复数z的实部的取值范围是； （2）证明：μ＝＝＝＝， 又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－i， 因为y≠0，所以μ为纯虚数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2　复数的乘、除运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律.(重点) 2.会在复数范围内解方程. 3.了解in的周期性. 【例题精练】 【例1】计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； 【例2】设复数，则的共轭复数的虚部是______． 【例3】已知，是虚数单位，若，，则________． 【例4】已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________． 【例5】复数满足，则______． 【A组基础达标】 一、单选题 1．（   ） A．i B．-i C．1 D．-1 2．在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数，则（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 8．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知a，b均为实数，，则___________. 10．已知，复数（i是虚数单位），若，则___________，___________. 四、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．已知复数，复数z的共轭复数记作. (1)求的值； (2)若（），求m和n的值. 【B组能力提升】 1．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 5．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设μ＝，求证：μ为纯虚数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $