7.3 复数的三角表示 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3* 复数的三角表示 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.复数1－i的辐角的主值是（　　） A. B. C. D. 2.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式为（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 3.若复数z＝，则z2等于（　　） A.－2i B.1＋i C.1－i D.2i 4.将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 5.设A，B，C是△ABC的内角，z＝（cosA＋isinA）÷（cosB＋isinB）·（cosC＋isinC）是一个实数，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 6.设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为（　　） A.2π－3θ B.3θ－2π C.3θ D.3θ－π 7.等于（　　） A.－1－i B.1＋i C.－－i D.＋i 8.（多选）下列式子中，正确表示复数1＋i的三角形式的有（　　） A. B. C. D. 9.（多选）已知复数z＝cos＋isin，则下列结论中，正确的有（　　） A.｜z｜＝1 B.＝cos＋isin C.复数z是方程x3－1＝0的一个根 D.复数－z的辐角的主值为－ 二、填空题 10.复数1＋i的模是 ，辐角的主值是 ，三角形式为 . 11.复数的三角形式为 （要求辐角为辐角的主值）. 12.在复平面内，已知O为坐标原点，向量对应的复数为－2i，将绕点O按顺时针方向旋转后把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 13.已知a＝＋i，b＝a2023，则a＋b的值为 . 三、解答题 14.设复数z＝（1－i）5，求z的模和辐角的主值. 15.（1）在复平面内画出复数2－2i所对应的向量，并将复数2－2i表示成三角形式； （2）在复平面内画出复数－－i所对应的向量，并将复数－－i表示成三角形式. 16.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].如果z＝r（cos θ＋isin θ），令z1＝z2＝…＝zn＝z，那么能导出复数乘方公式：zn＝rn（cos nθ＋isin nθ）.请用以上知识解决以下问题： 试运用复数乘方公式推导三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ； cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ. 参 考 答 案 一、选择题 1.复数1－i的辐角的主值是（　A　） A. B. C. D. 解析： ∵1－i＝2×＝2，∴1－i的辐角的主值是. 2.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式为（　B　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 解析： （sin 10°＋icos 10°） （sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°. 3.若复数z＝，则z2等于（　D　） A.－2i B.1＋i C.1－i D.2i 解析： z2＝（）2×＝2i. 4.将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　A　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 解析： ∵arg i＝，绕原点O按顺时针方向旋转，得到，则对应的复数的辐角的主值为，∴对应的复数是cos＋isin＝＋i. 5.设A，B，C是△ABC的内角，z＝（cosA＋isinA）÷（cosB＋isinB）·（cosC＋isinC）是一个实数，则△ABC是（　C　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 解析： 由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝. 6.设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为（　B　） A.2π－3θ B.3θ－2π C.3θ D.3θ－π 解析： ＝＝cos 3θ＋isin 3θ.∵π＜θ＜，∴3π＜3θ＜，∴π＜3θ－2π＜. 7.等于（　A　） A.－1－i B.1＋i C.－－i D.＋i 解析： ＝2＝2＝－1－i. 8.（多选）下列式子中，正确表示复数1＋i的三角形式的有（　BD　） A. B. C. D. 解析： 对于A，＝1＋i，但是不满足复数的三角形式，A错误；对于B，＝1＋i，B正确；对于C，＝1＋i，但是不满足复数的三角形式，C错误；对于D，＝1＋i，D正确. 9.（多选）已知复数z＝cos＋isin，则下列结论中，正确的有（　ABC　） A.｜z｜＝1 B.＝cos＋isin C.复数z是方程x3－1＝0的一个根 D.复数－z的辐角的主值为－ 解析： ∵z＝－＋i，∴｜z｜＝＝1，A正确；＝－－i＝cos＋isin，B正确；∵z3＝cos＋isin＝1，∴z3－1＝0，C正确；∵－z＝－i， ∴复数－z的辐角的主值为，D错误. 二、填空题 10.复数1＋i的模是　　，辐角的主值是　　，三角形式为　　. 解析： 复数1＋i的模是＝.∵1＋i对应的点在第一象限，且tan θ＝1，∴arg（1＋i）＝，∴三角形式为. 11.复数的三角形式为　　（要求辐角为辐角的主值）. 解析： ＝＝－－＝（ －－i）＝. 12. 在复平面内，已知O为坐标原点，向量对应的复数为－2i，将绕点O按顺时针方向旋转后把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是－－i. 解析： ∵－2i＝2，∴由题意可得O对应的复数为2··［cos＋isin］＝3［cos＋isin］＝3＝3×＝－－i. 13.已知a＝＋i，b＝a2023，则a＋b的值为　0　. 解析： ∵＝（cos 2θ1＋isin 2θ1），＝z1＝[cos（2θ1＋θ1）＋isin（2θ1＋θ1）]＝（cos 3θ1＋isin 3θ1），…，依次类推可知，对任意的n∈N＋，＝·（cos nθ1＋isin nθ1）.∵a＝＋i＝cos＋isin，∴b＝a2023＝cos＋isin＝cos＋isin＝－cos－isin＝－－i，∴a＋b＝0. 三、解答题 14.设复数z＝（1－i）5，求z的模和辐角的主值. 解：∵（1－i）5＝25＝32＝32＝32，∴复数z的模为32，辐角的主值为. 15.（1）在复平面内画出复数2－2i所对应的向量，并将复数2－2i表示成三角形式； 解：（1）复数2－2i所对应的向量如图①所示，则r＝＝2，cos θ＝. 图① ∵与2－2i对应的点在第四象限，∴arg（2－2i）＝，∴2－2i＝2. （2）在复平面内画出复数－－i所对应的向量，并将复数－－i表示成三角形式. 解：（2）复数－－i所对应的向量如图②所示， 图② 则r＝＝2，cos θ＝－. ∵与－－i对应的点在第三象限，∴arg（－－i）＝，∴－－i＝2. 16.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].如果z＝r（cos θ＋isin θ），令z1＝z2＝…＝zn＝z，那么能导出复数乘方公式：zn＝rn（cos nθ＋isin nθ）.请用以上知识解决以下问题： 试运用复数乘方公式推导三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ； Cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ. 解：设模为1的复数为z＝cos θ＋isin θ， 则z3＝（cos θ＋isin θ）3＝cos3θ＋3（cos2θ）（isin θ）＋3（cos θ）·（isin θ）2＋（isin θ）3＝cos3θ＋i（3cos2θ·sin θ）－3cos θsin2θ－isin3θ＝（cos3θ－3cos θsin2θ）＋i（3cos2θ·sin θ－sin3θ）＝[cos3θ－3cos θ（1－cos2θ）]＋i[3（1－sin2θ）·sin θ－sin3θ]＝（4cos3θ－3cos θ）＋i（3sin θ－4sin3θ），由复数乘方公式可得z3＝cos 3θ＋isin 3θ， 故sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ. 学科网（北京）股份有限公司 $