8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（　　） A.倍 B.倍 C.2倍 D.3倍 2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 3.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·云南昆明期末）如图所示，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得圆锥SO1的体积为（　　） A.16π B.18π C.20π D.24π 5.（2025·江苏盐城阶段练习）如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体的体积为（　　） A.立方米 B.2π立方米 C.立方米 D.立方米 6.一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，形成的几何体的体积为（　　） A. B. C. D. 7.（2024·山东济宁高一期中）如图所示，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体.若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（　　） A.10π B.20π C.100π D.200π 8.（多选）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开得到的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（　　） A.母线长为20 B.表面积为1 100π C.高为10 D.体积为 9.（多选）已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为（　　） A.1 B.3 C.4 D.7 图① 　图② 二、填空题 10.（2025·湖南开学考试）已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝ . 11.圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为 cm2. 12.（2025·甘肃武威模拟）如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而成的，其侧面可看成圆柱侧面的一部分.已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短为40 cm，最长为60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为 cm2. 13.（2024·全国甲卷）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2（r2－r1）和3（r2－r1），则两个圆台的体积之比＝ . 三、解答题 14.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积. 15.如图所示，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱. （1）试用x表示圆柱的侧面积； （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 16.（2025·山东省实验中学高一期中）如图所示，圆锥的顶点为P，PA，PB为母线，cos∠APB＝，轴截面是顶角为90°的等腰三角形PAC，若△PAB的面积为2，求： （1）该圆锥的侧面积； （2）该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值. 参 考 答 案 一、选择题 1.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（　B　） A.倍 B.倍 C.2倍 D.3倍 解析： 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝. 2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　B　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析： 设圆锥的母线长为l，则2π×＝πl，解得l＝2. 3.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（　D　） A. B. C. D. 解析： 设圆柱的底面半径为a，∵轴截面为正方形，∴圆柱的高为2a，则S＝4πa2，解得a＝，可得圆柱的体积V＝πa2·2a＝2π××＝. 4.（2025·云南昆明期末）如图所示，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得圆锥SO1的体积为（　B　） A.16π B.18π C.20π D.24π 解析： 设圆锥SO1的高为h，则＝，解得h＝6，因此圆锥SO1的体积为π×32×6＝18π. 5.（2025·江苏盐城阶段练习）如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体的体积为（　D　） A.立方米 B.2π立方米 C.立方米 D.立方米 解析： 圆柱的体积为π×12×2＝2π（立方米），圆锥的体积为×π×12×0.5＝（立方米），∴该组合体的体积为2π＋＝（立方米）. 6.一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，形成的几何体的体积为（　B　） A. B. C. D. 解析： 将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，所得几何体为一个圆锥的.由题意得圆锥的底面半径为2，高为2，∴形成的几何体的体积为××π×22×2＝. 7.（2024·山东济宁高一期中）如图所示，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体.若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（　A　） A.10π B.20π C.100π D.200π 解析： 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，2rh＝10，圆柱的侧面积为2πrh＝10π. 8.（多选）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开得到的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（　ABD　） A.母线长为20 B.表面积为1 100π C.高为10 D.体积为 解析： 如图所示，设圆台的上底面周长为C，∵扇环所对的圆心角为180°，∴C＝π·SA，又C＝10×2π，∴SA＝20，同理SB＝40，圆台的母线AB＝SB－ SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×（102＋10×20＋202）＝，表面积S＝π（10＋20）×20＋100π＋400π＝1 100π. 9.（多选）已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为（　AD　） A.1 B.3 C.4 D.7 图①　图② 解析： 若两个平行截面在球心同侧，如图①所示，则两个截面间的距离为－＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②所示，则两个截面间的距离为＋＝7. 二、填空题 10.（2025·湖南开学考试）已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝　8　. 解析： ∵该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，∴π（r＋4r）×10＝100π，解得r＝2，则R＝8. 11.圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为　100π　cm2. 解析： 设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π cm2. 12.（2025·甘肃武威模拟）如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而成的，其侧面可看成圆柱侧面的一部分.已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短为40 cm，最长为60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为　1 500π　cm2. 解析： 将相同的两个几何体对接成圆柱，则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，则所求侧面积为×2π×15×（40＋60）＝1 500 cm2. 13.（2024·全国甲卷）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2（r2－r1）和3（r2－r1），则两个圆台的体积之比＝　　. 解析： 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝＝（r2－r1），h乙＝＝2（r2－r1），∴＝＝＝＝. 三、解答题 14.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积. 解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积 V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 15.如图所示，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱. （1）试用x表示圆柱的侧面积； 解：（1）S圆柱侧＝2πrx＝2πx＝4πx－x2，x∈（0，6）. （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解：（2）由（1）知当x＝－＝3时，这个二次函数有最大值6π，∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大，为6π cm2. 16.（2025·山东省实验中学高一期中）如图所示，圆锥的顶点为P，PA，PB为母线，cos∠APB＝，轴截面是顶角为90°的等腰三角形PAC，若△PAB的面积为2，求： （1）该圆锥的侧面积； 解：（1）设圆锥的母线长、底面半径分别为l（l＞0），r（r＞0）， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，得l2＋l2＝（2r）2，可得l＝r. ∵cos∠APB＝，∴sin∠APB＝＝＝. ∵△PAB的面积为2，∴S△PAB＝PA·PB·sin∠APB＝l2×＝2， 可得l＝4， 又l＝r，∴r＝2，∴圆锥的侧面积S＝×2πr×l＝π×2×4＝8π. （2）该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值. 解：（2）由（1）知圆锥的高h0＝r＝l＝2，作出轴截面，如图所示.作PO⊥AC，垂足为O，交HG于点O1. 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则HG＝a，PO1＝h0－h，由＝得＝，∴a＝（2－h）， ∴正四棱柱的侧面积S侧＝4ah＝4（2－h）h≤4·＝8，当且仅当2－h＝h，即h＝时，等号成立，∴该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值是8. 学科网（北京）股份有限公司 $