精品解析：广东中山市迪茵公学2025-2026学年高一上学期第三次数学月考试题（创新班）

2025-2026学年广东中山市迪茵公学高一上第三次数学月考（创新班） 一、单选题 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 故选：A 2. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理直接判断. 【详解】函数的定义域为，且连续. 因为在单增，在单增， 所以在单增. ，， . 所以函数零点所在区间为. 故选：B 3. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解. 【详解】由题意是两个单位向量，且， 所以，解得， 由，所以. 故选：C. 4. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 5. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可得解． 【详解】如图，设，， 由弧长公式可得， 解得，， 设扇形，扇形的面积分别为，， 则该壁画的扇面面积约为． 故选：A 6. 若，，且，的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】，， 于是， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和一次函数性质列不等式组求参数范围，注意界点处的函数值的大小关系. 【详解】由在上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知： ，解得. 故选：D 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集. 【详解】 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上是减函数， 又，则， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 二、多选题 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与的图象关于对称 C. 为奇函数 D. 函数单调递增区间为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可； 【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误； 函数与互为反函数， 故其图象关于对称，故B正确； 因为，可求得定义域为关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故C正确； 因为， 所以函数的单调递增区间为，和，故D正确． 故选：BCD． 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则解的个数为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形内角的特征、诱导公式、三角函数的性质、和差化积、二倍角公式及正弦定理一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以，且， 而正弦函数在锐角范围内单调递增，所以，故A正确； 对于B，若，可知或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由 ， 易知，所以 根据余弦函数的性质可知： 若，则， 若（舍去）， 若，则，所以都能得出为直角三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理可知，显然C不存在，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知复数z满足，则的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解. 【详解】设复数，则，且. ， 当时，取到最大值16， 所以. 故答案为：4. 13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解. 【详解】 如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系. 因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,. 因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中. 所以,, 所以. 因为，所以. 故答案为： 14. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用，可将结合正弦定理可得，后由余弦定理可得.后由结合AB边上的中线长为2，可得，后由基本不等式可得，即可得答案. 【详解】因，则 ， 即. 所以，又，所以.设AB边上的中线为CD， 则，则， 所以，当且仅当a＝b时等号成立，所以 故答案为： 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理得的值，进而根据三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形的中线的向量表达形式，结合向量模长公式即可求解 【小问1详解】 ，即． 即,也即 由余弦定理可得，由，故 【小问2详解】 由，，由余弦定理可得： 解得：，所以 【小问3详解】 由余弦定理可得：，解得 又D为BC的中点，则 两边平方可得： 所以AD的长 16. 如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝. （1）求证：BC∥； （2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 【答案】（1）因为BC∥AD，AD⊂平面PAD， BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l. （2）MN∥平面PAD.证明如下： 如图所示，取PD中点E，连结AE，EN. 又∵N为PC的中点，∴ 又∵ ∴ 即四边形AMNE为平行四边形． ∴AE∥MN，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD .∴MN∥平面PAD. 【解析】 【分析】证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也平行．线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元. （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）第4个月开始盈利 （2）方案①较为合算，理由如下： 该设备若干月后，处理方案有两种： ①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出， . 当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大， ∴方案①的利润为：（万元）. ②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出. ， ∴或时，盈利总额最大， ∴方案②的利润为20+16=36（万元）， ∵38>36， ∴方案①较为合算. 【解析】 【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案； （2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案. 【小问1详解】 由题意得 ，即， 解得，∴. ∴该设备从第4个月开始盈利. 【小问2详解】 略 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1） ∵，∴，则是“伪奇函数”． （2） （3） 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 【解析】 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东中山市迪茵公学高一上第三次数学月考（创新班） 一、单选题 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）. A. B. C. D. 2. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 5. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与的图象关于对称 C. 为奇函数 D. 函数单调递增区间为， 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则解的个数为0 三、填空题 12. 已知复数z满足，则的最大值为________． 13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________. 14. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为______ 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，，D为BC的中点，求AD的长． 16. 如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝. （1）求证：BC∥； （2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 17. 目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元. （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $