精品解析：广东省中山市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次段考数学试卷

中山市第一中学2025级高一第一学期第二次段考 数学 命题人：徐宗震 审题人：孙要强 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项) 1. 命题“都有”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定. 【详解】由全称命题的否定为特称命题， ∴原命题的否定为：存在. 故选：B 2. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系 【详解】若，则，故，所以“”能推出“”. 取，则成立，但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 4. 若幂函数的图象不过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解. 【详解】对于幂函数， 有，解得或， 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 综上，或. 故选：C. 5. 已知函数．则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】用换元法，设，解得代入后可得函数式，再计算函数值． 【详解】设，，则，所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查求函数的解析式，解题方法是换元法．属于基础题． 6. 函数的减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 【答案】C 【解析】 【分析】先通过第一个冷却场景求出常数，再将其代入第二个冷却场景的公式中，求解冷却时间. 【详解】对于75℃物体冷却的情况，代入公式， 得，即，化简得. 取自然对数得，解得. 对于68℃物体冷却的情况，代入公式得， 即，化简得. 取自然对数得，解得. 故选：C 8. 已知函数，关于方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用图象可得知，关于的二次方程的两根、，然后利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，解出即可. 【详解】令，由，得， 设关于的二次方程的两根分别为、， 如下图所示： 由于关于的方程有8个不等的实数根， 则，，设， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对部分得分，只要有选错的得0分，共18分) 9. 如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数 则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， 有最大值 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、最值、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，解得，所以的定义域是. ，所以是偶函数， 图象关于轴对称，A选项正确. 当时，， 所以在上单调递减，B选项正确. 当时，， 所以在上单调递增， . 当时， 所以在上单调递减， 所以当时， 有最大值，C选项正确. 由上述分析可知，当或时，， 而是偶函数，所以当或时，也成立， 所以的值域不是，D选项错误. 故选：ABC 11. 定义在上的函数满足 ，且当时，， 则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值法和函数奇偶性、单调性的定义，逐一分析每个选项的正确性. 【详解】选项A：令，代入， 得，即，A正确. 选项B：令，，代入得. 由，得，即为奇函数，B正确. 选项C：任取且，则. 因，，且； 又时（奇函数性质），故， 即为增函数，非减函数，C错误. 选项D：令，，利用奇函数得， 则，即. 因是增函数，，故， 即，D正确. 故选：ABD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据对数的运算计算得出结果； 【详解】原式； 故答案为：10. 13. 偶函数在上满足，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 当且仅当等号成立，取时可满足等号成立， 可知的最小值为， 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）求集合； （2）求，. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求得集合； （2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合. 【小问1详解】 解：因为函数的定义域为集合， 则. 【小问2详解】 解：因为或，， 所以，，或， 则或. 16. 已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【小问1详解】 时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； 【小问2详解】 ， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 17. 已知函数. （1）求的定义域和值域； （2）判定函数的单调性，并用定义证明； （3）若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域；值域 （2）函数在R上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域； （2），利用函数的单调性的定义证明即可； （3）根据函数在R上单调递增，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，则，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 对于函数，因为，所以恒成立， 所以函数定义域； ，因为，所以，所以， 所以，即函数的值域； 【小问2详解】 函数在R上单调递增，证明如下： ，任取，且， 则， 因为，所以，因为，所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递增； 【小问3详解】 对，，且，不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由（2）知函数在R上单调递增，因为即， 所以， 因为，所以， 即，所以， 即，解得， 故实数的取值范围为. 18. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 【答案】（1）， （2）对称中心为，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； 【小问2详解】 对称中心，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； 【小问3详解】 设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、， 又、、， 若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而就对称中心分类讨论即可 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为 的“2重覆盖函数”?请说明理由； （2）若为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. （3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如.若， 为 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义进行判断； （2）分情况讨论分段函数的解的个数，结合二次函数性质求解； （3）先求出再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 当时，，方程仅有一个解， 不满足“重覆盖函数”要求，故不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 函数在上单调递增，其值域为. 中的部分单调递增，对任意，该部分方程仅有一个解. 因此需保证对任意，方程在时仅有一个解. 当时，（）单调递减，对， 方程的解，仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向上，对称轴为. 若，则在时单调递减，. 当时，，对，方程在时仅有一个解； 当时，（）单调递减，对，方程在时仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向下，，对， 方程在时无或两个解，不符合条件. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分）， 如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市第一中学2025级高一第一学期第二次段考 数学 命题人：徐宗震 审题人：孙要强 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项) 1. 命题“都有”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的 2. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 4. 若幂函数的图象不过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知函数．则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 函数的减区间为（ ） A B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 8. 已知函数，关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对部分得分，只要有选错的得0分，共18分) 9. 如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为 10. 已知函数 则下列说法正确是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， 有最大值 D. 的值域为 11. 定义在上的函数满足 ，且当时，， 则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算______． 13. 偶函数在上满足，则当时，______． 14. 已知，且，则的最小值是_________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）求集合； （2）求，. 16. 已知函数，且常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）求的定义域和值域； （2）判定函数的单调性，并用定义证明； （3）若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 19. 已知函数和定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为 “2重覆盖函数”?请说明理由； （2）若为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. （3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如.若， 为 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $